一.选择题

( )

A．2 014 B．2 013 C．1 007 D．1 006

( )

( )

A．-55 B．-45 C．-35 D．-25

( )

5．正数M=1！×2！×3！×…×10!的正因数中共有完全立方数

( )

A．468个 B．684个 C．846个 D．648个

6．若n为正整数，则方程nx=xn的实数解个数的所有可能值之和是

( )

A．5 B．6 C．7 D．8

( )

( )

9．若对任意的△ABC，只要p>0,q>0，就有psin2A+qsin2B>pqsin2C，则p+q的最大值为

( )

10．一名摄影师在一次聚会中给8个人拍了一些照片，任意2个人恰出现在一张照片中，每张照片可以是2个人合影，也可以是3个人合影，则摄影师至少要拍照片的张数是

( )

A．12 B．11 C．10 D．3

二、填空题

11．若2a+2b=2a+b,2a+2b+2c=2a+b+c，则2c的最大值为______.

12．称4个面均为直角三角形的三棱锥为“四直角三棱锥”.若在四直角三棱锥S-ABC中，∠SAB=∠SAC=∠SBC=90°，则另一个面的直角是______.

14．已知关于x的方程x3-4x2+5x+a=0(a∈R)有3个实数根x1,x2,x3，则min{x1,x2,x3}取最小值时,a的值为______.

三．解答题

16．设a≥0,b≥0,c≥0，且a+b+c=1，求a2b+b2c+c2a+abc的最大值.

17．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为M,过l上一点P作抛物线C的2条切线，切点分别为A,B.

(1)证明：|PF|2=|AF|·|BF|；

参考答案

1．B 2．D 3．C 4．D 5．A 6．B 7．C

8．C 9．B 10．A

16．解当a>0,b>0,c>0时，不妨设a≤b≤c，则c(b-a)(b-c)≤0,从而

b2c+c2a≤abc+c2b,

即

a2b+b2c+c2a=abc≤a2b+c2b+2abc=

b(a+c)2=b(1-b)2≤

当a,b,c中有一个为0时，不妨设a=0，则b+c=1，从而

a2b+b2c+c2a+abc=b2c=(1-c)2c≤

a2b+b2c+c2a+abc=0.

17．(1)证明易知抛物线的焦点F(1，0)，准线l：x=-1.设P(-1,t)，A(x1,y1),B(x2,y2),则过点A的切线方程为

y1y=2(x+x1)；

过点B的切线方程为

y2y=2(x+x2).

代入点P的坐标，得

从而直线AB的方程为

ty=2(x-1).

得

从而

社科院金融研究所法与金融研究室副主任尹振涛称，设立理财子公司，在为打破刚性兑付困局提供制度保障的同时，也为商业银行今后开展理财业务提供了更多的优势。“无论是允许理财子公司发行的公募产品可以直接投资股票市场，还是扩大理财代销和合作机构的范围，都让理财子公司这张牌照价值提升，更具竞争力。”

x2-(2+t2)x+1=0.

由韦达定理知x1+x2=2+t2，x1x2=1，

故PA⊥PB.

当t=0时，点M与点P重合，此时△PAB为等腰直角三角形，也有PF⊥AB,PA⊥PB.

综上所述，PF是Rt△PAB斜边AB上的高，故|PF|2=|AF|·|BF|成立.

从而

解得t=2.此时P(-1，2)，直线AB的方程为y=x……