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(诸暨中学 浙江诸暨 311800)

所谓构造的思想方法，是指在对问题进行透彻分析、对其实质进行深刻了解的基础上，借助于逻辑分析或长期积累的经验，发挥高度的想象力和创造性，将问题从原来的模式转化为更能反映其本质特征的新模式的思想方法．构造思想是一种很活跃的创造性思想方法，它能沟通数学各个不同的分支，实现跨度极大的问题转化．应用构造思想解题的关键有2个：一是要有明确的方向，即构造的目的；二是要弄清条件的本质特点，以便重新进行逻辑组合．构造的方法有很多，其中以构造函数、方程、图形、模型、算法等最为常见．本文试通过案例叙述构造法在数学竞赛中的应用．

1 构造方程，多元问题主元化

方程是解数学题的一个重要工具，根据数学题设中量的关系，构造出方程，使原来复杂的数学问题变得直观合理、简洁易解．数学题中的有些问题表面上看似乎与方程无关，但通过分析题中各个量之间的关系就可以构造出方程，然后通过方程来巧解数学问题．

例1求方程x3+y3-x2y2-(x+y)z=0的所有解(x∈N*,y∈N*,z∈N)．

(2013年全国高中数学联赛吉林省预赛试题)

分析原方程无论是看作关于x的方程还是关于y的方程，都是三次方程，不易分解，难以下手，但注意到

x3+y3= (x+y)(x2-xy+y2)=

(x+y)3-3xy(x+y)，

若记a=x+y,b=xy,则原方程可看作关于b为主元的二次方程，即

b2+3ab-a2(a-z)=0．

考虑到x,y,z都是整数，从而

Δ=9a2+4a2(a-z)=a2(4a+9-4z)

为完全平方数．又4a+9-4z是奇数，故可设

4a+9-4z=(2t+1)2，

则

a=t2+t+z-2，b=a(t-1) (t≥2).

因为(x-y)2=(x+y)2-4xy=a2-4a(t-1),且

[a-2(t-1)-2]2≤a2-4a(t-1)<

[a-2(t-1)]2,

显然[a-2(t-1)-1]2≠a2-4a(t-1),所以

[a-2(t-1)-2]2=a2-4a(t-1)，

从而t=2,z=0，即x=y=2,z=0.

本题通过换元，不断地转换原方程的形式，构造出结构更为简……