王 建 莉

(包头师范学院 数学科学学院，内蒙古 包头 014030)

1 引言

不等式是数学分析的基本内容之一，它是研究许多数学分支的重要工具。在数学领域中占有重要的地位，也是各个时期的数学教材的重要组成部分，在各种考试和竞赛中都有举足轻重的地位。本文介绍的三种证明不等式的方法、拉格朗日中值定理法、柯西中值定理法和定积分理论法。希望通过对这三种方法的学习，我们可以很好的认识数学的一些特点，从而开拓一下我们的数学视野，深化一下我们对不等式证明方法的认识，以便于可以站在更高的角度来研究数学不等式。

2 用拉格朗日中值定理证明不等式法

2.1 定理内容

2.2 证明思路

(1)确定函数f(x)施用拉格朗日中值定理的区间[a,b]；

(2)对f(x)在[a,b]上施用拉格朗日中值定理；

(3)利用ξ与a,b的关系，由拉格朗日中值公式得到所要证明的不等式。

2.3 适用范围

当所证的不等式中含有函数值的差或区间端点值的差，可用拉格朗日中值定理来证明。

2.4 例题分析

例1:设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可微，f′(x)在(a,b)内单调递增。

证明：对任意x1，x2∈[a,b]及λ∈[0,1]，有

f[λx1+(1-λ)x2]≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)

(1)

证明：显然当λ=0或λ=1时，(1)式显然成立，因此只讨论λ∈(0,1)即可。

∀x1，x2∈[a,b]，不失一般性，设x1

由拉格朗日中值定理，知∃ξ∈(x,x)，∃η∈(x,x2)，使得

λ[f(x)-f(x1)]+(1-λ)[f(x)-f(x2)]=λf′(ξ)(x-x1)+(1-λ)f′(η)(x-x2)

(2)

根据

x-x1=[λx1+(1-λ)x2]-x2=(1-λ)(x2-x1)

(3)

x-x2=[λx1+(1-λ)x2]-x2=λ(x1-x2)

(4)

将(3) (4)代入(2)有

λ[f(x)-f(x1)]+(1-λ)[f(x)-f(x2)]=λf′(ξ)((1-λ)(x2-x1)+(1-λ)f′(η)λ(x1-x2)

=λ(1-λ)(x2-x1)[f′(ξ)-f′(η)]

(5)

由已知f′(x)在(a,b)内单调递增 ，根据x1<ξ

f′(ξ)-f′(η)≤0 。

由(5)得

λ[f(x)-f(x1)]+(1-λ)[f(x)-f(x2)]≤0。

即：

f(x)≤λf(x1) + (1-λ)f(x2)。

f[λx1+(1-λ)x2]≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)。

3 用柯西中值定理证明不等式法

3.1 定理内容

3.2 证明思路

(1)构造两个辅助函数f(x)和g(x)，并确定它们施用柯西中值定理的区间[a,b]；

(2)对f(x)与g(x)在[a,b]上施用柯西中值定理；

(3)利用ξ与a,b的关系，对柯西公式进行加强不等式。

3.3 适用范围

当不等式含有两个函数的函数值及其一阶导数，或两个函数的函数增量及其一阶导数时，可用柯西中值定理证明。……