纪 宏 伟，吴 国 磊

(江苏教育学院 如皋分院,江苏 如皋 226500)

柯西不等式常见的变形形式有：

通常将以上变形公式称作为分式型柯西不等式，用来处理分式不等式时，常常是一种有力的工具，甚至起到一招制胜之效。

1 证明不等式

点评：本题直接利用变形公式显然得不出结果，但是改变多项式的形态结构，将求证式左边的每一项的分子变形为平方关系，便可看清其内在的结构特征，使得问题一望即解。

例2:已知a1,a2,…,an为互不相等的正整数，求证：对于任意的正整数n，有不等式

由排序不等式易知

故原不等式成立。

证明:由柯西不等式得

(1)

又由柯西不等式得

(2)

由⑴⑵得

点评：本题两次用到柯西不等式，在使用时必须把握住问题的结构特点，选择最佳的切入点和突破口，如本例元素的选取恰到好处，值得我们细细回味。

2 求最值(值域)

2.1 求多字母式子的最值

例4:求实数x、y的值，使得(y-1)2+(x+y-3)2+(2x+y-6)2达到最小值。

解:引入待定参数a,b,c，由柯西不等式

(a2+b2+c2)(y-1)2+(x+y-3)2+(2x+y-6)2≥[a(y-1)+b(x+y-3)+c(2x+y-6)]2=[(b+2c)x+(a+b+c)y-a-3b-6c]2，

点评：本题展开后求解比较繁杂，但是引入参数构造出柯西不等式的情境，将最小值取值条件归结为不等式右侧能否获得定值，使原题原“形”毕露，可谓神来之笔。

解:由柯西不等式，得

点评：本题不具备直接运用柯西不等式的条件，但通过改变表达式的形式，转化为符合柯西不等式的基本形式，体现了转化与化归思想。

2.2 求含约束条件式子的最值

例7:已知实数x,y,z满足x+y+2z=1，求x2+y2+2z2的最小值。

点评：本题从柯西不等式结构特征出发，通过正确配凑系数，使得变化后的式子内在结构满足柯西不等式取等号的条件，解题过程一气呵成。……