高 娜，仇春生， 杨 冬

(1.天津科技大学 机械学院，天津 300457； 2.卓轮(天津)机械有限公司，天津 300457；3.河北工业大学 机械学院，天津 300401)

基于空间坐标系的齿轮建模方法与应用研究*

高 娜1，仇春生2， 杨 冬3

(1.天津科技大学 机械学院，天津 300457； 2.卓轮(天津)机械有限公司，天津 300457；3.河北工业大学 机械学院，天津 300401)

给出利用空间坐标系创建齿轮模型的一种方法，即用坐标系方程计算出齿轮轮廓曲面和齿根过渡曲面的三维坐标值，然后利用Pro/E的曲面命令把这些坐标值上的点啮合成轮廓曲面模型，利用曲面模型对齿坯模型进行实体化操作，即可实现齿轮的快速精确建模。通过实验表明，在Pro/E设计环境下，基于空间坐标系的齿轮三维建模方法，建模精度高，速度快，是一种高效的齿轮建模方法。

空间坐标系；齿轮；三维建模；Pro/E

1 引 言

齿轮传动是最重要的机械传动方式之一，随着数字化技术的发展，为满足有限元分析、机构运动分析、动力学分析等的需要，需精确绘制出渐开线齿轮的三维实体模型。齿轮造型精确度将直接影响有限元分析结果的准确性和齿轮产品的制造精度。笔者从齿轮加工原理出发，应用三维空间坐标系法建立了齿廓渐开线及齿根过渡曲线的数学模型，精确实现齿轮三维模型的建立，并提高了建模的效率[1]。

2 齿轮轮廓曲面的坐标表达式

齿轮齿廓曲线是由渐开线和齿根过渡曲线连接而成，渐开线的起始点和齿根过渡曲线与齿轮的加工方法和加工刀具密切相关。以斜齿轮为例，斜齿轮的轮廓曲面是由与基圆柱相切平面上的一条斜直线通过绕基圆柱做螺旋运动而产生的[2-7]。设斜齿轮的齿数为z0，加工斜齿轮的刀具模数为mn，压力角为αn，固定斜齿轮基圆轴的螺旋角为βb。

斜齿轮基圆半径的表达式为：

rb=0.5z0mncosαn/cosβb

(1)

设斜齿轮中心轴对应的直角坐标为Z，则斜齿轮上各点可以用直角坐标系X=(X,Y,Z)T来表示，如图1所示。

图1 斜齿轮啮合面示意图

即:

(2)

式中：ψ为通过齿面上点X=(X,Y,Z)T作基圆的切线切点相对X轴的夹角，以绕Z轴逆时针旋转为正；θ为通过齿面上点X=(X,Y,Z)T的螺旋线与基圆的交点相对X轴的夹角，以绕Z轴逆时针旋转为正。

若设齿面上点X=(X,Y,Z)T的单位法线向量为N=(NX,NY,NZ)T，则:

(3)

相应地，第j个齿面上的点Xj，及其单位法线向量Nj，通过坐标旋转方式可表示为:

(4)

式中：φj为绕Z轴逆时针旋转角度，φj=2π(j-1)/Z0，如图2所示，C(φj)为旋转矩阵：

(5)

图2 第j个齿面相对基准齿面转角的关系

另外，在βb左旋的情况下，用-βb替换βb。同时，另一侧齿面的X′和N′及相应各齿面的Xj′和Nj′可表示为:

(6)

式中：x=π/Z0+4xntanαn/Z0+2invαt

sinαt=sinαn/cosβb

3 齿根过渡曲面数学模型

齿轮齿廓曲线是由渐开线和齿根过渡曲线连接而成，渐开线的起始点和齿根过渡曲线与齿轮的加工方法和加工刀具密切相关[3-4]。以常用的齿条刀具展成法加工为例，顶部为两个圆角的齿条型刀具(如滚刀)如图3所示。其参数间具有如下所示的关系：

(7)

图3 齿条型刀具

展成法加工中，刀具加工节线与齿轮分度圆相切纯滚动。齿根过渡曲线由刀具的圆角部分切出，刀具的圆心cρ将形成延伸渐开线，因此齿根过渡曲线是该延伸渐开线的等距曲线，建立如图 4 所示的齿根过渡曲线直角坐标系。该过渡曲线的参数方程如下：

(8)

考虑沿Z向的螺旋轨迹Z(θ)=rbθcosβb，便可得出齿根过渡曲面的空间坐标。

刀具的圆角部分与其连接的两段直线相切，因此刀具圆角与齿根过渡曲线开始接触时，n-n垂直刀具的齿侧直线，此时n-n和啮合线重合，α′ 等于压力角α，当齿条转动到α′ 等于 π/2时，齿条形刀具顶部直线与齿根过渡曲线末端接触，然后由该段直线切出齿根圆弧。

图4 齿根过渡曲线

4 基于Pro/E的齿轮造型实例

根据空间坐标系法创建齿轮模型的理论，利用Excel VBA工具开发了齿轮曲面自动化工具，如图5所示；DATA IMPORT按钮可从计算单中自动读取齿轮主要参数；FILE MAKE按钮可根据上述理论自动计算齿廓曲面上的空间坐标值，并保存为Pro/E可识别的IBL格式文件，如图6所示；CREAT MODEL按钮可自动调用Pro/E中的“插入-高级-从文件混合-曲面”命令，从而在Pro/E 3D环境下生成齿廓曲面，然后返回到模型树的第一步创建外径大于齿顶圆的齿坯，如图7所示；最后利用Pro/E的“编辑-实体化”命令去除齿坯中多余的材料，如图8所示。

图5 工具界面

图6 齿廓上点的空间坐标值文件

图7 齿坯与齿廓曲面的生成

图8 曲面实体化与齿轮模型的生成

5 结 语

基于空间坐标系理论的齿轮建模方法是一种先进的3D建模技术，不仅提高了建模速度，而且把加工仿真学应用到实体建模上，最大程度的提高了模型的精确度，为模型以后的有限元分析和动力学仿真等打下基础，具有较好的实用价值。

[1] 何幸保，高英武，汤楚宙，等.齿轮的参数化设计与三维建模的方法研究[J].机械设计与制造，2010(8)：30-32.

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Gear Modeling Method and Application Research Based on Space Coordinates System

GAO Na1，QIU Chun-sheng2，YANG Dong3

(1．CollegeofMechanicalEngineering,TianjinUniversityofScience&Technology，Tianjin300457,China；2.Zollern(TianJin)MechanicalCompany，Tianjin300457,China；3.CollegeofMechanicalEngineering,HebeiUniversityofTechnology,Tianjin300457,China)

A method was given to create gear model with space coordinates system, three dimensional coordinate values of gear teeth profile and gear teeth root were calculated with coordinate system equation, then Pro/E curve surface command was used to make teeth profile curve surface model which covers these coordinate points, the curve surface model was used to do solid operation with gear raw material, then gear model was done quickly and accurately. The test result showed that, in the Pro/E design environment, the gear modeling method based on space coordinates system is high efficient method which has high modeling precision and high modeling speed.

space coordinate system; gear; 3D modeling; Pro/E

2013-11-28

高 娜(1981-)，女，河北辛集人，讲师，研究方向：机械设计与制造。

TH122；TP39

A

1007-4414(2014)01-0001-03