张海丽

（山西交通职业技术学院，太原030031）

具有非线性边值条件的二阶脉冲积微分方程的解

张海丽

（山西交通职业技术学院，太原030031）

脉冲微分方程在理论方面已取得重大进展，应用极其广泛。文中介绍了上下解的定义、单调迭代方法并给出几个引理。最后用上下解方法和单调迭代技巧讨论了具有非线性边值条件的二阶脉冲积微分方程，得到了最大解和最小解的存在性。

上下解；单调迭代；脉冲；积-微分方程；最大解和最小解

引言

脉冲微分方程反映了微分方程在固定或不固定时刻的瞬时改变，不仅丰富了微分方程理论，而且更真实更广泛地描述了自然规律，近年来，脉冲微分方程在理论方面已取得了重大进展。文献［1-2］讨论了一阶脉冲微分方程，泛函微分方程周期边值问题，反周期边值问题极值解的存在性，文献［3］中给出了二阶脉冲泛函微分方程周期边值问题及线性周期边值问题极值解的存在性。但这些文章大部分都是在边界条件是线性的条件下进行讨论的，研究非线性的文章不多，文献［4］介绍了一阶脉冲积微分方程非线性边值问题解的情况。本文利用上下解方法和单调迭代的技巧讨论了二阶脉冲积微分方程非线性边值问题最大和最小解的存在性。

考虑下列二阶脉冲积微分方程边值问题：

其中，

分别代表u（t）在t=tk处的左右极限，u′（t-k），u′（t+k）分别代表u′（t）在t=tk处的左右极限，

1 预备知识

定义1称α∈PC2（J）是边值问题（1）的一个下解，如果：

称β∈PC2（J）是边值问题（1）的一个上解，如果：

引理1［5］设s∈［0，T），ck≥0，αk，k=1，…，p是常数，设p，q∈PC（J，R），u∈PC1（J，R），若

则对∀t∈［s，T）有

引理2设u∈PC2（J），

其中

且

其中，a=M+2πNk0+2πN1h0，则u（t）≤0，t∈J。

证明假设结论不成立，即u（t）＞0，则有两种情况：

存在¯使得u（¯有u（t）≥0。

（2）使u（t*）＞0，u（t*）＜0。

对于情况（1），由（3）式得u″（t）≤0，∀t≠tk，Δu（tk）≤0，（k=1，2，…p），Δu′（t+k）≤（1-L*k）u′（tk），由引理1有，令t=2π有，当λ=1时，有），可得u′（0）≤0，推出u′（t）≤0。同时u（t+k）≤（1-Lk）u（tk）≤u（tk），因此∀t∈J，u（t）是非增的，有u（2π）≤u（~t）≤u（0），考虑到当λ=1，u（0）≤u（2π）知u（t）≡C，0≤u″（~t）≤-Mu（~t）＜0矛盾。同理当0＜λ＜1时，

同样得出矛盾。

由引理1有

在（5）式中t=2π有

可得

由（5）式和（6）式有

由

若t*＞~t在（7）式中令t=t*，有

因此

与（4）式矛盾，因此u（t）≤0，t∈J。若t*＜~t，不失一般性，令~t∈（tm-1，tm］，t*∈（tq，tq+1］，0≤q≤m-1由引理1有

另一方面

将（9）式代入（S）有

即

与（4）式矛盾，因此u（t）≤0，∀t∈J。对于u∈PC2（J），考虑下列线性边值问题：

其中，ak，bk是常数，M1，M2＞0，且。

引理3［5］若α，β∈PC2（J）分别是（10）式的下解和上解，且α≤β，且（4）式成立，则（10）式在［α，β］上存在一个解。

2 主要结果

定理1假设（4）式成立且满足下列条件：

（H1）α，β分别是（1）式的下解和上解且α≤β。

（H2）f∈C（J×R×R×R→R）满足：

其中，t∈J0，α≤x1≤x2≤β，Kα≤u1≤u2≤Kβ，Sα≤1≤2≤Sβ，M＞0，N，N1≥0。

（H3）Ik∈C（R，R），I*k∈C（R，R）满足：

其中，α（tk）≤y（tk）≤x（tk）≤β（tk），0≤Lk＜1，0≤。

（H4）函数g∈C（R×R，R）满足：

其中，α（0）≤x1≤x2≤β（0），α（2π）≤y1≤y2≤，则存在单调序列｛αn｝，｛βn｝∈PC2（J），其中α0（t）=α（t），β0（t）=β（t），它们在J上分别一致收敛于（1）式在［α，β］中的最小解x*与最大解x*，

［α，β］=｛x∈PC2（J）：α（t）≤x（t）≤β（t），t∈J｝

证明对固定的η∈［α，β］，考察如下问题：

其中

由引理3知（11）式有唯一解x（t）∈［α，β］。

定义算子A：［α，β］→PC2（J），Aη=x，则算子A有下列性质：

首先证明（ⅰ）成立，设m=α0-α1，其中α1= Aα0，由（H2），（H3），（H4）可以得到，

同理可证

同理可证m′（0）≤λm′（2π），由引理2得m（t）≤0，t∈J，即α0≤Aα0，同理可证，Aβ0≤β0，从而（ⅰ）成立。

证明（ⅱ）成立，设u1=Aη1，u2=Aη2，m=u1-u2，与证明（ⅰ）同理，由引理2可得m（t）≤0，t∈J，即Aη1≤Aη2，从而（ⅱ）成立。

假设αn=Aαn-1，βn=Aβn-1，n=1，2，…，从（ⅰ）和（ⅱ）可得α0≤α1≤…≤αn≤…≤βn≤…≤β1≤β0，显然每个αi，βi（i=1，2，…）满足以下关系式，

式的最大解和最小解，任取x∈［α，β］，假设存在正整数n使得αn（t）≤x（t）≤βn（t），∀t∈J，令m（t）= αn+1（t）-x（t），由条件（H2），（H3），（H4）可得，

同理可证

同理，m′（0）≤λm′（2π）由引理2得m′（t）≤0，t∈J，即αn+1同理可证，x（t）≤βn+1所以有x*（t）≤x（t）≤x*（t），∀t∈J。

注：本文定理1将文献［3]中边界条件推广为一般的非线性条件，在文献［4]一阶方程的基础上论证了二阶脉冲积微分方程。

［1]Zhang F Q，Li M L，Yan J R.Periodic boundary value problem for first order impulsive differential equations［J].Computer and Appl Math，2006，51:927_936.

［2]Yang X X，Shen JH.Nonlinear boundary value problems for first order impulsive functional differential equations［J].J.Math.Compt，2007，189:1943_1952.

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［5]Bainow D D，Simenov P S.Impulsive Differential quations:Periodic Solutions and Applications［M].Har_ low:Longman Scientific and Technical，1993.

［6]Tariboon J.Boundary Value Problems for First Order Functional Differential Equationsw ith Impulsive Integral Conditions［J].J.Comput.Appl.Math，2010，234:2411_ 2419.

［7]郭大钧，非线性泛函分析［M].济南:山东科学技术出版社，1985.

［8]郭大钧，孙经先，刘兆理.非线性常微分泛函方法［M].2版.济南:山东科学技术出版社，2005.

Solutions of Second_order Impulsive Integro_differential Equations with Nonlinear Boundary Value Conditions

ZHANG Haili
（Shanxi Traffic Vocational and Technical College，Taiyuan 030031，China）

Agreat Progress in theory of imPulsive differential equations has been made，which are widely aPPlied.The definition of the uPPer and lower solutions and monotone iterative techniques are introduced and several lemmas are given. Finally，through discussing the second order imPulsive integro_differential equation with nonlinear boundary value conditions by its uPPer and lower solutions and monotone iterative techniques，the existence of themaximal and minimal has been got.

uPPer and lower solution；monotone iterative；imPulsive；integro_differential equations；maximal and mini_ mal solutions

O25

A

1673_1549(2014)02_096_05

10.11863/j.suse.2014.02.21

2013_12_12

山西自然科学基金（201001102S）

张海丽（19S3_），女，山西五台人，助教，硕士，主要从事非线性泛函分析方面的研究，（E_mail）1S739S192@qq.com）