邢家省，贺慧霞，高建全

（1.北京航空航天大学数学与系统科学学院，北京100191；2.数学、信息与行为教育部重点实验室，北京100191；3.平顶山教育学院，河南平顶山467000）

给定边界面积最小的曲面的平均曲率为零的证明方法

邢家省1，2，贺慧霞1，2，高建全3

（1.北京航空航天大学数学与系统科学学院，北京100191；2.数学、信息与行为教育部重点实验室，北京100191；3.平顶山教育学院，河南平顶山467000）

在曲面论几何中，定义平均曲率为零的曲面为极小曲面。而在三维欧氏空间中，给定边界的闭曲面中面积最小的曲面，其平均曲率一定为零，即给定边界的闭曲面中面积最小的曲面为极小曲面。文章用变分理论给出几种新的证明，使证明过程更加直接明了。

极小曲面；正则曲面；平均曲率；变分方法

引言

以空间封闭曲线Γ为边界的曲面中，寻找其面积最小者，这样的问题称为极小曲面问题［1_10］。这涉及到面积最小曲面的存在性、唯一性等问题，人们通过考察面积最小曲面的必要条件，试图寻找到面积最小的曲面［1_10］。现已证明，在固定边界的曲面族中，假若存在面积最小的曲面，则面积最小的曲面的平均曲率为零［1_11］。这个结果已被人们用多种方式给予了证明，文献［1_9］中给出的原始传统证明过于繁琐，有些证明过程也不太全面。本文在文献［1_9］的基础上，给出几种完备的证明过程，便于人们查找确认使用。

1 参数分量表示的面积最小的曲面的平均曲率为零的证明

设Γ是一封闭空间光滑曲线，∑是过Γ的一曲面，且以Γ为边界。

设正则曲面∑的参数表示为：

记

命

曲面的平均曲率［1_6，12_13］：

曲面∑的面积为：

其中

过曲线Γ的曲面∑满足什么条件，使I取到局部极小值。

假若泛函I在某处达到最小值，考查其必要条件。

由变分引理，设D为R2中的开集，f∈C（D），若对任意，都有，则必有f（u， ）=0，（u， ）∈D。

则曲面∑ε的面积为

显然，若I在（x1，x2，x3）处达到最小值，则对任意wi∈W0，i=1，2，3。

在ε=0处达到最小值，所以

经计算，得

利用格林公式，得

对任意wi∈W0，i=1，2，3。于是

由于

从而

利用恒等式［2］

得

利用曲面论中的基本公式［1_6］

得

其中→n=（n1，n2，n3）是曲面上的单位法向量。于是

而

所以有

从而H=0。

定理1对于过空间光滑闭曲线Γ的曲面∑，如果Γ所围的曲面∑的面积最小，则曲面∑的平均曲率恒等于零。

平均曲率为零的曲面，未必是面积最小的曲面。

2 向量表示的面积最小的曲面的平均曲率为零的证明

设Γ是一封闭空间光滑曲线，∑是过Γ的一曲面，且以Γ为边界。

设正则曲面∑的向量参数表示为→r=→r（u， ），（u， ）∈D。则曲面∑的面积为

记

考虑扰动曲面［9］

其中ε∈（-δ，δ），δ＞0充分小，曲面∑ε以Γ为边界，其面积为

若∑是面积最小的曲面，则有

经计算，可知

其中→ν为区域D的边界∂D上的单位外法向量，从而

由于→nu=-a→ru-b→r，→n=-c→ru-d→r，曲面的平均曲率

所以

于是

故有

由→ ∈W0的任意性，得

故对面积达到最小的曲面有H=0。

3 法向量扰动曲面中面积最小的曲面的平均曲率为零的证明

设Γ是一封闭空间光滑曲线，∑是过Γ的一曲面，且以Γ为边界。

设正则曲面∑的参数表示为

则曲面∑的面积为

记W0=｛f（u， ）：f（u， ）∈C20（D）｝，令→ρ=f（u， ）→n，→n是曲面∑上的单位法向量，考虑法向扰动曲面［3，5，6］

其中ε∈（-δ，δ），δ＞0充分小；曲面∑ε以Γ为边界，其面积为：

若∑是面积最小的曲面，则有

易知

将

代入，得

由于

所以

或者利用Lagrange恒等式

得到

于是

所以

从而

由f∈W0的任意性，得H，故对面积达到最小的曲面有H=0。

对显式表示的曲面z=f（x，y），（x，y）∈D，关于固定边界面积最小的曲面的性质研究可见文献［3_4，7，9］。

［1]梅向明，黄敬之.微分几何［M].4版.北京:高等教育出版社，2008.

［2]陈维桓.微分几何［M].北京:北京大学出版社，2006.

［3]彭家贵，陈卿.微分几何［M].北京:高等教育出版社，2002.

［4]马力.简明微分几何［M].北京:清华大学出版社，2004.

［5]王幼宁，刘继志.微分几何讲义［M].北京:北京师范大学出版社，2003.

［6]苏步青，胡和生，沈纯理，等.微分几何［M].北京:人民教育出版社，1980.

［7]陈维桓.极小曲面［M].大连:大连理工大学出版社，2011.

［8]泽维尔，潮小李.现代极小曲面讲义［M].北京:高等教育出版社，2011.

［9]John OPrea.微分几何及其应用［M].陈智奇，李君，译.北京：机械工业出版社，2006.

［10]彭家贵，童占业.极小曲面中的若干问题［J].数学进展，1995，24（1）：1_27.

［11]陈欣高.利用科达齐一迈因纳尔迪公式推导极小曲面的几个性质和性质的应用［J].河南师范大学学报，19S5（3）：100_107.

［12]邢家省，王拥军.曲面上法曲率的最值和最值切方向的性质［J].吉首大学学报：自然科学版，2013，34（1）：6_10.

［13]邢家省.法曲率最值的直接求法［J].吉首大学学报：自然科学版，2012，33（4）：11_15.

New Ways to Prove the Mean Curvature（H≡0）of the Minimal Surfaces Under Prescribed Boundary Condition

XING Jiasheng1，2，HE Huixia1，2，GAO Jianquan3
（1.School of Mathematics and Systems Science，Beihang University，Beijing 100191，China；2.LMIB of the Ministry of Education，Beijing 100191，China；3.Pingdingshan Institute of Education，Pingdingshan 467000，China）

In surface theory，theminimal surfaces are the surfaceswithmean curvatures H=0.It's alsowell known that mean curvatures of the closed surfaceswith minimal area under Prescribed boundary must be zero，itmeans that the closed surfaceswithminimal area under Prescribed boundary areminimal surfaces.By using the variation theory，several new meth_ ods to Prove this conclusion are given.These new waysmake the Process of Proofmore directly and clear.

minimal surface；regular surface；mean curvature；variation method

O1S6.1

A

1673_1549(2014)02_0083_05

10.11863/j.suse.2014.02.18

2013_11_23

国家自然科学基金资助项目（11171013）

邢家省（1964_），男，河南泌阳人，副教授，博士，主要从事偏微分方程、微分几何方面的研究，（E_mail）xjsh@buaa.edu.cn