葛晓莉,邵翠,徐龙封,

（安徽工业大学a.数理学院;b.工商学院安徽马鞍山243032）

一类总量依赖型竹林发展系统的古典解

葛晓莉a,邵翠b,徐龙封a,b

（安徽工业大学a.数理学院;b.工商学院安徽马鞍山243032）

针对竹林发展系统边界不满足通常的三类条件的问题，采用在“竹龄-直径”存在区域内引进一类特殊的曲线族的方法，以避开边界条件问题；通过对竹子直径尺度量纲的适当选择，提出了一类总量依赖型二维竹林发展系统模型，并综合作特征线、先验估计、构造初始状态积分方程、迭代等手段证明了该系统整体古典解的存在唯一性。

二维竹林发展系统；特征线；古典解；积分方程

对普通的森林纯林发展系统，已经有不少研究结果。如文献[1]讨论了多个一维纯林系统模型。文献[2]讨论了一个二维纯林系统模型。文献[3]提出了一般多维纯林系统模型概念。文献[4]对一般多维纯林系统模型进行了初步分析。文献[5]研究了一类典型的一维纯林系统解的存在唯一性。竹林是一种特殊的森林，普通的森林主要靠人工造林更新，而竹林基本上靠自主发笋更新。因此描述竹林发展系统的模型与普通的森林发展系统模型的边界条件是不同的。吴汉兵等提出了一类非线性竹林发展系统的古典解[6]，曹倩等[7]研究了一维竹林系统解的存在唯一性。但对二维竹林系统的研究少见报道。

1 总量依赖型二维竹林系统模型

总量依赖型二维竹林纯林系统：设p(x,y,t)称为纯林面积的竹龄分布密度函数；定义相对采消率为μ(x,y,t,N(t)), p0(x,y,0)表示初始状态；β(t)表示在时刻t保留的竹笋面积与采消的面积之比(1≥β(t)≥β0＞0); g(x,y,t)表示在时刻t林龄为x直径为y的竹子发笋率。总量依赖型纯林的林龄和直径密度结构发展过程可用下列模型描述。

φ1(x,y),φ2(x,y)分别表示竹龄和直径的生长速度。因此且为叙述简单起见，不妨设适当选择y的计量单位，使d=k2(l)=l。设常数0≤ε＜l,记ϕ2(x,y)=ϕ(x,y), y=k1(x),y=k2(x),x=l-ε围成的曲边三角形区域为（见图1）。

图1系统的二维存在区域Fig.1 Two-dimension presence region of system

从而式(1)可化为：

同时要求满足边界相容条件

参考图1对系统再作如下合理假设。

H1：记待定。x充分大接近l时，存在常数a0,a1,a2＞0,以及充分小的正数ε0和函数且对任意t∈[0,T],l-x＜ε0时，μ(x,y,t,N(t))=a(x,y,t)/

H2：对任意点(x0,y0)∈Ωˉ,存在唯一的光滑曲线且满足另外，易算出沿着此曲线

H3：存在一个很小的正数δ,当x∈[0,δ]时，k1(x)=k2(x)=kx,其中k是正的常数。对任意是常数。

2 定理及其证明

本文致力于讨论问题(2)解的存在唯一性，主要结论如下：

定理设且存在常数M使得则

2.1 存在性证明

引理1对任意(x,y,t)∈QT∩{x≥t},记动点对任意取定的N͂(t)∈Σ,设则存在常数C0,使得μ(x,y,t,N(t))Φ(x,y,t)≤C0以及μ(x,y,t,N(t)

证明由假设H1-H3，若x≤l-ε0,结论显然成立；考虑x＞l-ε0,且不妨设α＞1,有

其中μ1(P(s),N(s)),μ2(P(s),N(s))分别表示μ(P(s),N(s))对点P(s)第一、第二坐标求导，

引理20＜T＜l-ε0，对任意给定的N͂(t)∈Σ,下列的式(2a')和式(2b)-(2c)有唯一非负解且存在仅依赖于的常数M1，使得

证明对任意点B(x,y,t)∈QˉT，当t≥x时，由假设H2，存在过点B沿t轴反方向引的特征线与t轴交于点A(0, 0,t-x)，在式(2a’)两边同乘以并沿此特征线从A到B积分，得到非负函数同样，当t≤x时，有首先，由引理1和假设H2，易知式(4)确定的是式(2a’),(2b),(2c)在上的唯一非负解。且仅依赖于再将式(3)和式(4)代入式(2b),并记得积分方程

注意到式(5)是一个第二型Volterra积分方程，t-τ＜l-ε0。由假设存在常数C1使得再由引理1可以看出让C1适当的大，还有由文献[9]中定理4.1.1，方程(5)有唯一非负连续解u(t),且由式(6)和H1-H3不难推得仅依赖于从而，式(3)能确定唯一的作为(2a’)和(2b)-(2c)的非负解，且仅依赖于和a2,C0。由边界相容性条件，不难推出：当t=x时，式(3)和式(4)确定的都相等。引理2得证。

现在开始证明定理的存在性，取Banach空间B=C([0,T])，Σ是B的紧凸集。定义Σ→Σ的映射E: N͂(t)=N(t)，由Σ是紧的，再注意到系统(2a’)和式(2b)-(2c)对给定N(t)解是唯一的，于是映射E是连续的，同时也是紧的。由Schauder不动点定理，E必有不动点。因此对应地有为系统(2)的解。当T＜l-ε0时，存在性证毕。

在引理2 中记T=T0，则系统(2)有非负解且存在一个仅依赖于的常数M2，使得类似的，系统(2)有非负解且存在一个仅依赖于的常数M3，使得设有自然数n满足0＜T≤nT0，则系统(2)有非负解且存在一个仅依赖于的常数Mn，使得并注意到t=T0,t=2T0,…,t=(n-1)T0时，p(x,y,t)也都满足式(2a)，从而p(x,y,t)∈O1(QˉT)。至此，定理的存在性得证。

2.2 唯一性证明

设式(2)有另一个解p̂(x,y,t),p, p̂≤C1,且N,N̂分别与p,p̂对应，记w=p-p̂，有

由式(4)，当t≤x时，均有w(x,y,t)≡0。

引理3设w(x,y,t)是式(7)的解，p, p̂≤M1,任取点B(ρ,θ,τ)∈QˉT∩{t≥x}。过此点沿t轴相反方向引特征线与t轴交于点A(0, 0,τ-ρ)。则存在不依赖于ρ,θ和τ的正数-M，使得 w2(ρ,θ,τ)≤-M w2(0,0,τ-ρ)。

证明用w(x,y,t)乘式(7a)两边，并沿特征线Γ积分，不妨设T＜l-ε0,由假设H1,0≤μ(x,y,t,N(t))≤a2,且存在常数C͂使得

任取点由引理3，有

注意到0＜β(τ-ρ)≤1,0≤g(x,y,τ-ρ)≤1,x≥τ-ρ时，w(x,y,t)=0并利用Hölder不等式，有

取将式(12)两边关于ρ,θ,τ在QT1上积分，则得到

由于在Ω上均有p0(x,y)＞0,由式(4)可见，对任意0≤t≤T,当t≤x＜l,y＜l时，均有p(x,y,t)＞0。由式(6)可见，对任意t∈[0,T],h(t)＞0,从而式(5)中u(t)=p(0,0,t)＞0。再由式(3)，对任意x∈[0,l),p(x,y,t)＞0。由p(x,y,t)在上的连续性，存在常数δ0＞0,在[0,l-ε0]×[0,T]上，p(x,y,t)≥δ0,使得对任意定理证毕。

[1]陆征一，周义仓.数学生物学进展[M].北京：科学出版社,2006:251-264.

[2]吴汉兵，徐龙封.一个环境依赖型二维纯林发展系统的古典解[J].应用数学，2010,23(4):751-757.

[3]郑治刚.同龄纯林的林龄分布结构变化方程[J].系统工程理论与实践，1996(4):90-98.

[4]李留瑜，付秀山，郑治刚.论森林的数量分布结构[J].系统工程理论与实践，1996(4):82-89.

[5]Wang D J.Zhang Y F.Theproperty of solution of anonstationary forestevolution system[J].SystemsScienceand SystemsEngineeing, 1993,2:281-288.

[6]曹倩，李俊，徐龙封.一个非线性竹林发展系统的自由边界问题[J].安徽工业大学学报:自然科学版，2012,29(3):256-260.

[7]LadyzenskayaOA,Solonniko VA,Uralćeva NN.Linearand quasilinearequationsof parabolic type[M].Providence,R I:American MathematicalSociety,1968.

[8]吴汉兵，梁长龙.一类非线性竹林发展系统的古典解[J].安徽工业大学学报:自然科学版，2011,28(1):85-88.

[9]沈以淡.积分方程[M].北京：北京理工大学出版社，2002:18-22.

责任编辑：丁吉海

ClassicalSolution to a Two-dimensionalDynam ics System of Pure ForestDepending on TotalQuantity

GE Xiaolia,SHAO Cuib,XUE Longfenga,b
(a.SchoolofMathematics&Physics;b.Industrial&CommercialCollege,AnhuiUniversity of Technology,Ma'anshan 243032,China)

For the problems of bamboo developmentsystems,ofwhich boundary cannotsatisfy 3 kinds common conditions,theboundary conditions isavoided by introducing classof specialcurve family into thepresent region of“stand age-diameter”.With the techniqueof selectingmeasure dimension of lumberdiameterproperly,awell-posed two-dimensionalbamboo forestdynam icssystem model isproposed,and theexistenceand uniquenessof theglobal classicalsolution are proved by colligating the technique of pulling characteristic curve,a priorestimate,structuring integralequation of initialstate,iteration.

two-dimensionalbamboo developmentsystems;characteristic line;classicalsolution;integralequation

O175.12；O175.1

A

10.3969/j.issn.1671-7872.2014.02.021

1671-7872(2014)02-0203-06

2013-10-21

国家天元基金项目（2012SQRL039ZD）；安徽省教育厅质量工程项目(2012gxk189)

葛晓莉（1987-），女，安徽亳州市人，硕士生，研究方向为偏微分方程。

徐龙封（1952-），男，安徽安庆市人，教授，研究方向为偏微分方程。