谢毅

【摘 要】一元函数极值的判定及求法是导数应用的一个重要体现，掌握一元函数极值的判定及求法是了解函数局部性质，描绘函数图像的重要手段，也是二元函数极值问题的基础。本文通过分析一元函数极值的求法，从三种情形阐述极值判定的第二充分条件的局限性。

【关键词】极大值 极小值 驻点 不可导点

一、了解求函数极值的间接要素

1 极值的定义：设函数在点的某个邻域内有定义，如果对于其去心邻域内的任意一点，有（或），那么称是函数的一个极大值（或极小值），并且把称为函数的一个极大值点（或极小值点）。

2 求函数极值的间接要素：根据极值的定义，函数的极值是极值点所对应的函数值，所以求函数的极值实际上就是求函数的极值点。函数的极值点包含两种点，一种是驻点，即把使得的点叫做函数的驻点；另一种是不可导点，即使得不存在的点。故求函数的极值无非就是从这两种点中确定谁是极值点，从而求出极值。那么如何从可能极值点中找到函数的极值点呢？

二、利用极值判定的第一和第二充分条件求函数的极值

1 定理1（极值判定的第一充分条件）：设函数在点处连续，且在的某去心邻域内可导。

（1）若当时， >0，而当时， <0，则函数在处取得极大值；

（2）若当时， <0，而当时， >0，则函数在处取得极小值；

（3）若当时，的符号保持不变，则函数在处没有极值。

2 定理2（极值判定的第二充分条件）：设函数在点处存在二阶导数，且，。

若，则函数在点处取得极小值；

若，则函数在点处取得极大值。