刘建忠

(江苏理工学院 数理学院，江苏 常州 213001)

0 引言

矩阵及算子不等式理论在自然科学、工程技术及社会科学各领域具有广泛应用，通过对矩阵不等式的研究，可以深刻揭示数量之间的内在关系，而且其理论本身富有技巧性和创造性，在学术上是深刻有趣的.由于研究方法灵活多样，应用背景涉及众多学科领域，有关矩阵不等式的结果散见在各种刊物和著作中，近年来的一种趋势是利用一些一般的理论模式给出各种矩阵不等式的统一形式，例如通过控制不等式理论统一研究有关矩阵特征值、奇异值及酉不变范数的不等式[1]，利用矩阵空间上线性映射的理论统一处理有关矩阵二次型、迹、行列式、积和式等不等式[1－2]。

本文利用矩阵张量积的一些基本性质及矩阵分块技巧，得到了矩阵空间上正线性映射的一个不等式.在所得结果的基础上，通过选取适当的辅助函数，可统一导出一些经典的矩阵不等式，并可在此基础上得到一些新的矩阵不等式.有关结论容易推广到Hilbert空间上紧算子所构成的空间上，为避免细节上的繁琐，本文的论证仅在矩阵空间上展开。

1 记号及引理

Mn表示n阶复方阵所成的线性空间，对于A∈Mn，A＞0，A≥0分别表示A为正定、半正定Herimitian阵，A*表示A的共轭转置，σ(A)表示A的谱，即A的特征值所成的集合。若映射Φ:Mn→Mk满足:

(i)Φ(A+B)=Φ(A)+Φ(B)，A，B∈Mn;

(ii)Φ(c A)=cΦ(A)，A∈Mn，c为复数;

(iii)当A≥0时，Φ(A)≥0。

则称Φ为Mn上的正线性映射;若进一步满足当A＞0时，Φ(A)＞0，则称Φ为Mn上的严格正线性映射;若Φ(In)=Ik，其中In为n阶单位矩阵，则称其为Mn上的单位映射。……