杜 鹏， 段彩霞， 廖新元

(南华大学 数理学院, 湖南 衡阳 421001)

0 引言

用常微分方程来分析、研究传染病的扩散与控制在理论和实践中都有广泛应用.在1932年Kermack和McKendrick针对康复后仍不具有免疫力的传染病提出了SIS模型[1]后，很多学者在此基础上建立了传染病模型[2-10]，并研究了人口总数变化的SIS模型[2]. 针对长时间流行的传染病种群数量在不断变化这一事实，本文提出具logistic出生率的SIS模型[11-15]，即：

(1)

其中S(t)、I(t)分别表示易感染者、感染者在t时刻的总数，K>0为种群的最大容量，λ>0为种群的内禀增长率，β≥0为传染率，γ>0为恢复率，μ>0为自然死亡率.

对系统(1)作变换dt=K(S+I)dw,仍然记dw为dt，得到系统(2):

(2)

基于系统的生物意义，在区域G={(S,I)|S≥0,I≥0}中研究问题.

1 平衡点的存在性

定理1系统(2)在G上总存在无病平衡点E0(0,0),E1(K,0)；当

2 解的有界性

对于系统(2)的解的有界性方面我们有下列结论.

定理2系统(2)的所有正解最终有界.

证明：令V(t)=S(t)+I(t)则沿着系统(1)的全导数为：

3 无病平衡点的稳定性

定理3[11]当β<γ+μ时，无病平衡点E1(K,0)局部渐近稳定.

证明：系统(2)在平衡点E1(K,0)处的雅可比矩阵为

所以特征方程为：

|aE-J1|=(a+K2λ)(a-K2(β-γ-μ))=0

故特征根为a1=-K2λ,a2=K2(β-γ-μ). 当β<γ+μ时，a1<0，a2<0，因此无病平衡点E1(K,0)局部渐近稳定.

4 地方病平衡点的稳定性

证明:系统(2)在E2(S*,I*)处的雅可比矩阵为，

a22=KS*(γ+μ-β)

则相应的特征方程为

|aE-J2|=

a2-(a11+a22)a+a11a22-a21a12=

a2+pa+q=0

其中

3βμ+λβ+2μ2)=

(γ+μ)2+3γ(γ+μ)+β(β-5γ-2μ))>

所以两个特征根均为负值，故平衡点E2(S*,I*)局部稳定.

5 零平衡点的稳定性

在E0(0,0)处系统(2)的雅可比矩阵为零，上述方法无法判定其稳定性，故用特殊方向和法域来判定E0(0,0)领域内的轨线结构.

作极坐标变换S=Rcosθ,I=Rsinθ，系统(2)变为：

其中

H(θ)=K(λcosθ(sinθ+cosθ)2+γsinθcosθ(sinθ+cosθ)+βsinθcosθ(sinθ-cosθ)-(γ+μ)sin2θ(sinθ+cosθ)),

G(θ)=Ksinθ(sinθ+cosθ)((β-λ-γ-μ)cosθ-(γ+λ)sinθ).

(1)当β<γ+μ时，((β-λ-γ-μ)cosθ-(γ+λ)sinθ)≠0,sinθ+cosθ≠0示性方程G(θ)=0有唯一解θ=0，H(0)=λK≠0,故θ=0为特殊方向.在θ逆时针经过θ=0时，H(0)G(θ)由正变负，故角域N1={(R,θ)|0≤R≪1,|θ|≪ε}为第Ⅱ型法域，且

则在N1={(R,θ)|0≤R≪1,|θ|≪ε}内轨线的走向如图1所示.

图1 轨线的走向

H(θ2)=Kcos3θ2(λ(tanθ2+1)2+βtanθ2(tanθ2-1)+γtanθ2(tanθ2+1)-(γ+μ)tan2θ2(tanθ2+1))=Kcos3θ2(-(γ+μ)tan3θ2+(λ+β+γ)tan2θ2+(2λ-β-μ)tanθ2+λ)

设x=tanθ,f(x)=-(γ+μ)x3+(λ+β+γ)x2+(2λ-β-μ)x+λ,则f′(x)=-3(γ+μ)x2+2(λ+β+γ)x+(2λ-β-μ),

轨线在角域N2的走向如图3所示.

轨线在角域N2的走向如图3所示.

图2 轨线的走向

图3 轨线的走向

6 闭轨的不存在性

Bendixson-Dulac判别法[3]：若在单连通域G内存在函数B(x,y)∈C1(G)使

且不在G的任意子区域内恒为零，则原系统不存在全部位于G内的闭轨线和具有有限个奇点的奇异闭轨线.

定理6系统(2)不存在全部位于G={(S,I)|S≥0，I≥0}内的闭轨线和具有有限个奇点的奇异闭轨线.

证明：在G内取Dulac函数

恒负，由Bendixson-Dulac判别法知，系统(2)不存在全部位于G内的闭轨线和具有有限个奇点的奇异闭轨线.

7 结论

8 数值模拟

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