商高高，朱晨阳

(江苏大学汽车与交通工程学院，江苏镇江 212013)

基于双重卡尔曼滤波器电池荷电状态的估计

商高高，朱晨阳

(江苏大学汽车与交通工程学院，江苏镇江 212013)

为了有效估计车用蓄电池的荷电状态(SOC)，建立了包含迟滞因素和松弛因素的锂电池的精确模型，以自适应无迹卡尔曼滤波器算法为基础，设计了能够实现模型参数和状态同时在线估计的双重卡尔曼滤波器。通过实验和仿真结果的比较表明:该方法能够有效抑制噪声的干扰，快速修正SOC的误差，取得精确的SOC估计值，同时通过时变参数的估计为判断蓄电池的健康状态提供依据。

荷电状态;卡尔曼滤波器;自适应

电池的荷电状态(state of charge，SOC)是蓄电池的重要性能指标。它表示蓄电池可充放电的能力，其准确估计对于电动汽车能量的合理分配和再生利用有着重大意义。

目前，普遍使用的SOC估计方法有安时计量(Ah)结合开路电压(OCV)的方法［1］、支持向量机法［2］和卡尔曼滤波法［3，4］。其中，安时法易受SOC初始误差的影响而产生累积误差;开路电压法不能满足汽车行驶工况的实时性要求;支持向量机法对硬件的要求较高且受训练数据的影响较大;传统的卡尔曼滤波法无法保证在整个电池寿命期间SOC的估计精度。本文在建立精确的电池模型的基础上，设计了能够同时在线估计电池模型参数和SOC的双重卡尔曼滤波器，从而在电池整个寿命期间均能稳定、精确地估计电池SOC。

1 蓄电池模型的建立

卡尔曼滤波器是以状态空间方程为基础，通过递推算法实现状态的最小方差估计。因此，建立一个精确的电池模型是实现卡尔曼滤波器在线估计电池SOC的前提。该模型要求既能反映电池的各种特性，又能兼顾处理器的运算速度。

目前，常用的电池建模方法有电化学模型、电阻抗模型、等效电路模型。每种方法都有自身的适用范围。由于本文是针对电池在电动汽车的特殊环境下的SOC估计，所以必须满足一些特殊的要求，主要包括:较高的充放电电流、较大的电流变化速率、温度变化范围大(从-30℃到+50℃)、充放电交替出现的可能等。另外，在电动汽车中，能够直接测量的电池信号很少，只有电流、电压、温度等，并且电池的性能受电池的电化学结构的限制。综合考虑，本文最终使用基于等效电路的模型，但不同的是，文中将SOC作为系统状态而不是开路电压(OCV)，然后通过合理设计卡尔曼滤波器直接得到SOC的估计值［5］。电池模型如式(1)所示。

式(1)中的fk为低通滤波器，用来表示电池中的松弛因素。松弛因素是指如果一个电池经历的是脉冲电流，那么只有在一定时间后它才会收敛到稳定状态的点，并且这些时间常数可以通过电流ik的低通滤波器表示出来;Δt为采样时间间隔;α为低通滤波器的极点;diag(α)为低通滤波器极点组成的对角线矩阵;ik为kΔt时刻电流(放电时为正，充电时为负);hk为电池的迟滞因素，迟滞是指输入信号周期性变化的时候，输出为非周期变化，在电池中的表现为利用极小的电流对电池进行充放电时电池的端电压并不能完全重合;η为电池库仑效率;r为正数，用来调整衰减的速率; Cn为电池的标称容量;zk为kΔt时刻的SOC值;wk为系统过程噪声;yk为电池端电压;OCV(zk)为电池开路电压;R为电池欧姆内阻;M为由迟滞引起的最大极化值;G表示低通滤波器的输出矩阵;vk为系统的测量噪声;zzk为SOC的粗略估计值，它可以通过测量电池的电压、电流和估计得到内阻，利用OCV-SOC曲线，通过查表的方式得到。为了保证在SOC估计过程中所有的参数具有真实的物理意义，zk表达式为

为了使得等式在充、放电过程中都能保持稳定，sgn(ik)表达式为

式(3)中，ε指非常小的正实数。

2 双重卡尔曼滤波器的设计

2.1 卡尔曼滤波器简介

1960 年，美籍匈牙利数学家卡尔曼将状态空间分析方法引入到滤波理论中，对状态和噪声进行了统一的描述，得到时域上的递推滤波算法，即卡尔曼滤波，相应的算法称为卡尔曼滤波器［6］。经典的卡尔曼滤波器(KF)在初始化完成后，只需不断重复时间更新和测量更新就能完成状态值的不断更新。图1表示卡尔曼滤波器的工作原理。

图1 卡尔曼滤波器的工作原理

由于在实际应用时，多数情况下需要处理的系统为非线性的(如电池SOC估计模型)，所以卡尔曼滤波器又衍生出了针对非线性系统的算法，主要有扩展卡尔曼滤波器(EKF)和基于统计线性回归的非线性卡尔曼滤波器(SPKF)。

EKF是指将非线性模型在状态估计值附近做一阶泰勒级数展开，从而实现非线性系统的线性化，然后采用KF算法对线性化后的系统进行状态估计。这种方法只能得到一阶近似值，所以仅适合于弱非线性系统，并且在计算过程中需要计算Jacobian矩阵及其幂。

SPKF是依据一种被称为UT变换的方法来实现非线性系统的状态估计。UT变换采用具有确定性的点集——Sigma点来表征输入状态的分布，然后对每个Sigma点分别进行非线性的变换，通过加权计算捕捉到变换后的统计特性。在这个过程中不涉及求导和雅可比矩阵的计算，所以较适用于强非线性系统，计算精度能达到2阶。SPKF有2种比较常用的方法:无迹卡尔曼滤波法(UKF)和中心差分卡尔曼滤波法(CDKF)。这2种方法的差别仅在于权重常数的取值不同，其本质是一样的。

另外，传统的卡尔曼滤波器是将过程和测量噪声当作互不相关的零均值、协方差为常数的高斯白噪声处理的。但在实际应用中需要大量的实验才能确定合适的协方差常数。即使能合理确定该常数，还是会因为这个常数产生的误差对估计结果产生负面的影响。因此，本文在卡尔曼滤波器中增加了自适应过程对系统的过程和测量噪声协方差进行在线的修正［7］。

2.2 基于自适应UKF的双重卡尔曼滤波器

电池中所有的参数大体可分为2类:一类类似电池的SOC，特点是变化较快，在整个充放电期间变化范围为5%～95%，这些参数统称为系统“状态”;另一类类似电池的电阻，特点是变化较为缓慢，在电池整个充放电期间的变化可能都不超过20%，这些参数称为系统的“时变参数”。

传统的做法是先对模型中的参数进行离线辨识，然后利用卡尔曼滤波器进行SOC的在线估计。这种方法的缺点主要有:1)默认了模型中的参数为常数，而电池中的参数并不是常数;2)如果模型参数为非线性的，那么离线参数估计较难实现。双重卡尔曼滤波器通过2个独立的卡尔曼滤波器分别估计系统的状态和时变参数，实现电池的特性参数和SOC同时在线估计，从而提高电池的估计精度。同时，由于UKF适合解决非线性问题，所以该方法能克服非线性参数估计难以实现的缺点。

在双重卡尔曼滤波器设计过程中需要对上述的电池模型做适当的修改，以便能与参数估计模型联系起来。同时，为了叙述方便将电池模型简写为

式(4)中:xk为系统状态向量［fk，hk，zk］T;uk为系统输入电流ik;θk为模型参数向量。有关文献说明，通过增加低通滤波器的阶nf能够有效提高模型的性能，但是当nf大于4后增加的效果不是很明显，而且会增加计算量。因此，本文将采用4阶的模型。另外，根据滤波器的设计特性可知g4是通过下式得到的:

故时变参数向量为

利用卡尔曼滤波器实现时变参数的估计，首先需要建立能够描述系统模型参数θ的动态特性的状态空间方程式。电池中的参数总会缓慢地变化，所以在建模时认为这些参数是具有微小扰动的常数，通过在状态方程中引入一个虚拟的白噪声rk来表示。输出等式必须包含一个可测量的系统参数，这里为电池端电压dk;同时，使参数辨识模型明确包含状态等式的影响。因此，参数估计模型为

式(7)中:ek为测量噪声。

有了上述2个模型就可以利用双重卡尔曼实现同时在线估计系统的状态和时变参数。以自适应的无迹卡尔曼滤波算法为基础设计得到的双重卡尔曼滤波器可简称为ADUKF。算法中用到的各个符号的意义分别为:上标“^”表示对应量的估计值;下标k|k-1表示某个向量k时刻根据上一个采样时间k-1得到的时间更新值;下标k|k-1表示某个向量k时刻的测量更新值;P表示协方差，包含了状态的误差协方差和各种噪声的协方差;上标“～”表示真实值与估计值的差，在卡尔曼滤波器中也被称为“新息”。自适应双重无迹卡尔曼滤波器的原理见图2。

图2 自适应双重无迹卡尔曼滤波器原理

算法的具体过程如下［8，9］:

1)确定无迹卡尔曼滤波器中各个权重的取值方法，如表1所示。

表1 UKF中常数的取值公式

表1中:L为状态向量的维数;α为决定状态向量的平均值周围的sigma点的散播范围的常数，一般取值范围为0.000 1＜α＜ 1;β为包含先验信息的参数，高斯白噪声的取值为 2;λ为第一个标定参数，其计算公式为式(8)中:κ为第2个标定参数，通常取值为3-L或0。但当L＞3时，κ为负数，会导致计算过程中误差协方差矩阵为负定矩阵，不能进行Cholesky分解，所以当L＞3时，通常取κ的值为0。

2)初始化。由于卡尔曼滤波器对初值具有较好的鲁棒性，所以^x0，P~x，0，θ^0，P~θ，0的初值的选取无需很精确。然而，虽然噪声协方差进行了自适应的修正，但实验证明该修正过程只能在一定的范围内有效，所以Pw，Pv，Pr和Pe的初值仍需根据实验结果进行较为精确的估计。

3)时变参数的时间更新。

4)构建状态的sigma点向量χk-1|k-1，并完成状态和sigma点向量的时间更新。

5)构建时变参数的Sigma点向量。

式(16)中:N为时变参数向量的维数。

6)计算时变参数的输出估计。

7)计算状态的输出估计。

8)计算状态的卡尔曼增益。

9)计算时变参数的卡尔曼增益。

10)分别完成状态和时变参数的测量更新。

时变参数的测量更新的计算方法与状态一致，这里不再列出。

11)完成状态和时变参数中噪声的协方差的自适应更新。其中，Un(k)为k时刻的残差。Pr，k-1，Pe，k和Pw，k-1，Pv，k计算方法一致。

3 仿真分析

3.1 实验结果

为了验证双重卡尔曼滤波器算法的有效性，需要先对电池进行实验。本文中主要进行的实验为恒流充放电实验和变电流的脉冲充放电实验。使用的锂电池特性参数为:标称容量为7.5 Ah，标称电压为3.9 V，充电截止电压为4.5 V，放电截止电压为3.4 V。实验结果如下:

1)以极小电流进行恒流充放电实验，可以尽量减小电池中迟滞、电池内阻等动态因素对电池充放电实验的影响，然后求取充放电曲线的平均值，所得到的曲线即为OCV-SOC的关系曲线，如图3所示。

图3 电池端电压与SOC的关系曲线

2)变电流脉冲实验可以检验电池在不同电流大小下的性能，实验结果如图4所示。

图4 充放电电流、SOC与时间的关系

3.2 仿真结果

为了保证滤波器的稳定性，需要使滤波器所有的极点均属于-1～1。所以本文在进行参数估计时不对αj直接进行估计，而是定义βj=tan(π× αj/2)。在进行估计时无论β取何值，得到的αj均属于-1～1。

电池模型的ADUKF算法中需要设定的初始值分别为:设置SOC为精确值，那么状态向量=［f0，1，f0，2，f0，3，f0，4，h0］T=［-77-85-78-80 0.001 0.95］T。其中:f0，i表示4阶的低通滤波器中的各个状态;状态误差协方差为0.02×I(6);状态方程中的噪声协方差分别为Pw，0=0.02×I(6)和Pv，0=0. 001;时变参数=［R，g1，g2，g3，β1，β2，β3，β4，M，r］T=［0.005-0.52-1.3-0.18 0.74 0.70 0.75 0.76 0.005 2］T;时变参数误差协方差=0.02×I(10);时变参数方程中的噪声协方差分别为Pr，0=0.02×I(10)和Pe，0=0. 001;残差序列Un的维数n=10。根据这些初始值计算出的结果见图5。

图5 ADUKF估算的SOC值与实际值的比较

从图5可以看出:双重卡尔曼滤波器的收敛速度很快，估计精度较高。

为了证明ADUKF算法具有很好的对初值的修正作用，这里重新设置状态向量的初值为［-20 -20-20-20 0.001 0.5］T，时变参数向量的初值为=［0.02-0.4-1-.2 0.7 0.7 0.7 0.7 0.002 2］T，其他参数值保持不变，SOC估计结果如图6所示。其中，小图为大图的局部放大。从图6可以看出:大约在35 s内就能消除不同初值导致的估计结果的误差。

图6 不同初值的SOC估计结果的比较

下面以电池内阻为例来说明时变参数的变化情况。电池内阻的在线辨识结果见图7。从图7可以看出:电池内阻是一个变化范围较大的量，而不是一个趋于恒定的量。另外，从图7还可以看出:随着充放电的深入，电池的内阻会随着时间逐渐变大，说明在电池充放电的末端，电池的使用效率会变低。这也是限制电池SOC使用范围的一个原因。

图7 电池内阻R随时间的变化

4 结束语

本文运用自适应的无迹双重卡尔曼滤波算法实现了对锂电池的SOC及其模型参数的同时在线估计，从而保证电池有效期内电池SOC的估计精度。仿真与实验对比的结果表明:该方法能够实现SOC的精确估计，并且能够在较短的时间内有效修正初值误差的影响和噪声干扰。另外，在线估计的电池内阻等参数能为实时判断电池的健康状态提供一定的依据，提高了电池的可监控性，为电动汽车能量的合理分配和再生利用提供准确的蓄电池状态信息。

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［8］Plett G L.Sigma-point Kalman filtering for battery management systems of LiPB-base HEV battery packs Part1: Introduction and state estimation［J］.Journal of power Sources，2006，161:1356-1368.

［9］Plett G L.Sigma-point Kalman filtering for battery management systems of LiPB-base HEV battery packs Part2: Introduction and state estimation［J］.2006，161:1356 -1368.

(责任编辑 刘舸)

States of Charge Estimation of Battery Based on the Dual Kalman Filter

SHANG Gao-gao，ZHU Chen-yang
(School of Automobile and Traffic Engineering，Jiangsu University，Zhenjiang 212013，China)

In order to estimate battery state-of-charge effectively，an accurate battery model was built which contained the hysteresis effect and relaxation effect.Then，on the basis of adaptive unscented Kalman filter，the dual Kalman filter was designed which could estimate the parameter and state online at the same time.Finally，the comparison results between test and simulation show that this method can effectively suppress noise，reduce the SOC estimate error and achieve the precise SOC estimated value.And，the estimated value of parameter can provide evidence for the judging of state-ofhealth of battery.

state of charge;Kalman filter;adaptive

U469.72

A

1674-8425(2014)06-0001-07

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2014.06.001

2013-11-28

商高高(1962—)，男，博士，副教授，主要从事汽车机电一体化技术方面的研究;通信作者朱晨阳(1989—)，男，硕士研究生，主要从事汽车机电一体化技术方面的研究。

商高高，朱晨阳.基于双重卡尔曼滤波器电池荷电状态的估计［J］.重庆理工大学学报:自然科学版，2014 (6):1-7.

format:SHANG Gao-gao，ZHU Chen-yang.States of Charge Estimation of Battery Based on the Dual Kalman Filter［J］.Journal of Chongqing University of Technology:Natural Science，2014(6):1-7.