岩 稳 王新春 祝飞霞 王昆林 司民真

(楚雄师范学院 云南 楚雄 675000)

杨氏模量是表征固体材料性质的重要物理量，是工程技术中机械构件选材时的重要参数，也是理工类大学物理实验的重要内容之一[1].杨氏模量的测定是大学物理实验中的重要实验.在传统镜尺法[2]基础之上，逐步形成了一些新的实验方法[3～6]，但这些新的实验方法普遍存在着实验系统相对复杂，实验成本较高的情况，或者易受外界环境(温度、湿度、电磁)的影响.因此，高等学校实验教材中普遍采用的还是传统的静态拉伸实验方法，但该方法处理实验数据的方法较为陈旧，即实验引入的不确定度的置信概率较低(一般为正态分布的68.3%).为此，用置信率为95%的不确定度对实验数据及其结果进行分析与评定，引入SPSS[7]曲线估计功能分析实验数据，试图减小人为因素和仪器因素带来的偶然误差和系统误差，提高对实验数据及实验结果分析的精度，可得到更为理合理的实验结果.

1 实验仪器及调试

实验装置如图1所示，实验仪器主要由YMC-1型杨氏模量测定仪、JCW-1型尺读望远镜、光杠杆、砝码等组成.旋紧上卡头固定钢丝，调节减震台与下卡头等高，选定钢丝在合适的长度内，将水平仪放置于防震台的不同位置，反复调节支架螺钉使杨氏模量测定仪处于平衡状态，加上本底砝码，调节望远镜与光杠杆镜面使其等高，采用逐步增减砝码的测量方案进行测量，测量时增减砝码要注意轻拿轻放，尽量减少实验过程中的误差.

图1 杨氏模量测定仪器

2 实验原理

2.1 测量原理

(1)

(2)

式(2)表达了金属材料抵抗外力拉伸(或压缩)形变的能力. 由于在外力F作用下金属丝的微小伸长量δ比较小,不容易测准，因而,利用光放大原理对δ进行测量.

图2 光放大原理

如图2所示，b为光杠杆前、后足尖的垂直距离，D为光杠杆平面镜到直尺之间的距离，d为金属丝的直径，设加砝码m金属丝伸长δ，加砝码前(已有本底砝码，目的是使金属丝伸直)望远镜中标尺读数为a0，加砝码后望远镜中标尺的读书为am.am-a0为标尺的刻度变化范围，在2θ很小时，有

tan2θ≈2θtanθ≈θ

而

那么

则

(3)

若负重F=mg，由式(2)、(3)可得

(4)

在式(4)中，令标尺刻度差W=(am-a0)，长度-质量复合量

可简化得

Z=EW

(5)

实验中，用5 m卷钢尺测得L和D，用50分度游标卡尺测得b，螺旋测微器测得d，从而,可得长度-质量复合量(Zi)，用望远镜和光杠杆可读出am和a0，因而可得Wi.应用SPSS的曲线估计功能，试图分析标尺刻度差(Wi)与长度-质量复合量(Zi)的线性相关性，由此标定出钢丝的杨氏模量，并对其不确定度进行估算.

2.2 杨氏模量的不确定度分析[9]

对于直接测量量y，不确定度用A类、B类进行评定.测量平均值的标准偏差为

(6)

对A类，若测量为6次，测量结果服从t分布，当p=0.95时，tp=2.57，即

(7)

(8)

式(8)中的k可分别代表L,D,b,d,am-a0,其合成不确定度为

(9)

对间接测量k=f(y1,y2,…,yi,…,ym)，则y的标准不确定度uc(k)为

(10)

k的相对不确定度ur(k)为

(11)

根据式(5)、(11)，杨氏模量E的合成不确定度ur(E)为

(12)

3 实验数据处理及结果

3.1 数据测量及其结果表示

表1 对D,L,b,d长度的测量结果

表2 不同负重质量对应的标尺刻度值

表3 系统Wi与Zi的实验数据

3.2 用SPSS分析Z-W定标曲线

将表3中Wi,Zi的实验数据输入SPSS中，以Wi为自变量，Zi为因变量，应用曲线估计功能，可得出Z-W曲线方程为

Z=2.018 444 625 805 671×1011W+

5.521 624 104 91×107

(13)

由式(13)，得其特性曲线，如图3所示.

图3 Z-W定标曲线

3.3 对杨氏模量不确定度的估算

根据图3的Z-W特性曲线，在斜线上取样点(W1,Z1)和(W2,Z2)，估算E的不确定度，由曲线方程式(13)可得

u(Zi)=

2.018 444 625 805 671×1011u(Wi)

(14)

由图3斜线上不确定度取样点(W1，Z1)和(W2，Z2)值可得

(15)

由式(15)可得E的不确定度公式为

ur(E)=

(16)

由不确定度取样点(W1,Z1)和(W2,Z2)，结合式(14)、(16)可得杨氏模量实验结果,如表4所示.

表4 杨氏模量实验结果

4 分析与结论

从测量原理所得式(5)可知，只要测量条件具备，理论上有系统长度、质量的复合量(Z)与系统标尺刻度差(W)应该具有线性关系，若能从实验的角度研究出Zi-Wi关系曲线，必然可以标定出钢丝的杨氏模量，这在实验的测量原理上是一个创新.

由表3实验数据，利用SPSS的曲线估计功能得定标方程式(13)及其图3的Z-W定标曲线图.验证了系统长度、质量的复合量(Zi)与系统标尺刻度差(Wi)具有线性关系，实验所得定标方程式(13)及图3实验曲线与理论分析的式(5)具有一致性.

由表3数据，应用SPSS曲线估计功能得定标方程式(13)，可得钢丝杨氏模量2.02×1011N·m-2，对比手册[10]中钢丝杨氏模量2.018×1011N·m-2，二者具有较好吻合度，表明拟合的W-Z直线是客观的.

为了能较好地实现实验数据线性分析的合理性.实验中选择本底砝码为5 kg(保证钢丝平直)，镜尺距离D控制在4 m条件下(保证数据的测量质量)，负重砝码(mi)以每组2 kg为标准递增、递减，所对应的望远镜初始标尺刻度a0i为12.00 cm，具有较好的重复性，ami从13.0 cm变化到24.00 cm，有不同的标尺刻度差(ami-a0i).由图3可以看出，表2测量数据的可靠性较高，从而使得实验结果更为合理.

手册中钢丝的杨氏模量为2.01×1011N·m-2,对照表4所得钢丝杨氏模量的实验结果为2.018×1011N·m-2，二者吻合度较高.尤其查看表4中杨氏模量的实验结果，由该实验方案所得杨氏模量的实验值只在千分位上可疑，而以往用采用的实验方案所得杨氏模量的实验值一般为十分位或百分位可疑.应用SPSS的曲线分析估计标定的杨氏模量，可以提高测量数据及实验结果的分析精度，且数据的处理过程及结果直观有效.因此，该实验方案值得推广.

参考文献

1 林登清,沈佳旺,等.测定钢丝杨氏模量的实验方案研究.物理通报,2013(2)：47～50

2 窦金兰,王新春,等.对静态拉伸法测杨氏模量实验的改进及误差分析.楚雄师范学院学报,2012,27(6)：31～35

3 彭涛,王新春,等.电桥法测杨氏模量的实验研究.大学物理实验,2011,24(1)：51～54

4 张帮.利用迈克尔孙干涉原理测杨氏模量.大学物理实验, 2007,20(3)：8～10

5 李泽涛.利用CCD光电测量系统测量杨氏模量.大学物理实验，2006,25(1)：47～49

6 王新春,王昆林,等.对液压法测杨氏模量的实验研究.大学物理实验,2011,24(2)：21～24

7 宋志刚.SPSS 16.0 guide to data analysis.北京：人民邮电出版社，2008.115～186

8 杨述武,等.普通物理实验1(力学、热学部分) (第四版).北京：高等教育出版社,2007.12,48～50

9 刘才明.大学物理实验中测量不确定度的评定与表示.大学物理,1997,16(8):21～23

10 沈佳旺, 王新春,等.定标法求钢丝杨氏模量的实验研究.技术物理学,2012,20(2):86～90