考题中线性阻力的常用规律分析

2014-06-27张金荣李有福

物理通报 2014年6期

张金荣李有福

(个旧市第一高级中学云南红河 661000)

在高考试题中，学生经常会接触到与物体下落的深度成正比或者与物体的速度成正比的线性阻力，即形如f=-ky(式中y是物体下落的深度，k为比例系数)或者f=-kv(式中v是物体运动的速度，k为比例系数).那么在这些力的作用下，物体的运动遵循哪些常见的规律，现就此问题展开分析，并举例应用.

情形1:f=-ky

形如f=-ky的情形在考题中经常会碰到，常见的题型场景如锤子打木桩过程中，木桩所受的阻击与深度近似成正比；再如，圆柱形物体浸没液体过程中，所受浮力f=-ρ液gV排=-ρgSy也与浸入的深度y成正比；以及物体与弹簧接触时所受的弹簧阻力f=-kx(x此时指形变量)等等.下面是线性阻力f=-ky中常用的几个规律.

规律1：某段时间内，阻力f所做的功

式中y1，y2分别表示始、末位置的坐标，若y1=0，则阻力f所做的功为

证明：由f=-ky绘制出f-y图，如图1所示.若物体开始时位置坐标为y1，经时间Δt后变为y2，根据图与横轴所围成的面积表示力所做的功，可得

图1

规律2：若物体初速度为v0，且仅受阻力f作用，则物体下落深度y与时间关系式满足

物体停止所用时间为

证明：由-ky=ma可得

移项并积分

最后求出关系式

至于停止所用时间,可先由动能定理求出物体停止时的深度

代入下落深度与时间的关系式，求出停止所用时间

【例1】如图2所示,在光滑水平面上劲度系数为κ=10 N/m的轻质弹簧一端固定，一端与质量为m=100 g的木块相连，木块起始位置为弹簧的自由伸展位置A，现给木块一水平向右的初速度v0=10 m/s，求木块将弹簧压缩至最短位置B所用时间.

图2

证明：设每次做功为W0，则

W0∶(2W0)∶(3W0)∶…∶(nW0)

故

Δy1∶Δy2∶Δy3∶…∶Δyn=

(1)若以后每次都使铁锤从同一高度下落，则钉子全部钉入须锤击多少次；

解析：(1)由克服阻力做功相同时

可得

故

(2)要使钉子每次钉入的深度相同则需克服阻力做功之比为1∶3∶5，故每次铁锤锤击钉子前的速度之比为

规律4：若物体运动中除受到阻力f作用还受到恒驱动力F0(F0可以为几个力的合力)作用，且初速度为零，则物体停止时必满足

f=-2F0

深度为

【例3】打桩机锤的质量为m=10 t，将质量M=24 t,横截面积S=0.25 m2(正方形截面),长l=38.5 m的钢筋混凝土桩打入地层，单位面积上所受的泥土阻力为K=2.65×104N·m-2.问:

(1)桩依靠自身重能下沉多少？

(2)在桩稳定后，将锤提升至离桩顶面1 m处让其自由下落击桩，假定锤与桩发生完全非弹性碰撞，第一锤能使桩下沉多少？

解析：(1)桩底面边长为0.5 m，设桩下沉了y，则桩所受到的泥土阻力为f=-2Ky=-ky，其中

k=2K，依据规律4桩下沉的深度为

代入数据得

y=8.88 m

(2)锤子碰桩前速度为v,则

(1)

锤与桩发生完全弹性碰撞后共同速度为v同，有

mv=(M+m)v同

(2)

设桩依靠自身重力下沉了y1，锤子击后又下沉了Δy，则由规律1得

(3)

将y1=y=8.88 m，以及式(1)、(2)带入式(3)求得

Δy=0.2 m

情形2:f=-kv

对于f=-kv的题型学生在高中经常会碰到.例如，根据斯托克斯公式,当物体在流体(气体或液体)中运动时，都会受到流体的阻力作用,一般说来，流体阻力的大小与物体的尺寸、形状、速率以及流体的性质有关，且当速率不太大时，对于球形物体，所受粘滞阻力为f=-6πrηv=-kv(η为粘滞系数)[1].再如，如图3所示，水平光滑的平行金属导轨上跨着质量为m的金属棒，两导轨间距为L,金属棒电阻为R，现将该装置置于通有垂直纸面向里的匀场磁场中，磁感应强度为B，给金属棒一初速度为v0，则金属棒会受到安培力的作用，且安培力为