薛开，王久法，李秋红，王威远，王平

(哈尔滨工程大学机电工程学院，黑龙江哈尔滨150001)

板结构作为工程中最为常见的一种基本单元构件，广泛应用于航空航天、土木工程、车辆工程等诸多领域。由于共振问题，板的振动分析尤其是固有频率的求解越来越引起人们的高度重视。因此，许多学者对板的振动特性进行了大量的研究，并取得了丰硕的成果。可是现有这些的研究中，很多是基于Kirchhoff薄板理论，此理论忽略了板的横向剪切变形和转动惯量的影响，因而会产生一定的误差。当板较薄时，这种误差可以忽略;当板的厚度增加到与板边长相比不再是小量时，这种误差就不能忽略了。

因此，近年来一些学者开始研究更符合真实情况的Mindlin板理论。目前常见的研究方法主要有能量法[1-4]和一些数值方法，如离散奇异卷积法[5-7]、微分求积法[8]等。但能量法需要选取合适的挠度函数，而挠度函数和边界条件有关，其选择比较困难;微分求积法的加权系数和样点的选择规则还不明确，离散奇异卷积法不能求解自由边界问题，而且核序列的选取也无明确规则遵循;也有一些学者采用解析法进行了研究，如文献[9-10]采用级数法分析了Mindlin板的振动问题，但种种方法只适用于至少有一对边简支的板;Gorman等[11-12]采用叠加法分析了Mindlin板在各种边界条件下的振动，但此种方法求解过程过于复杂。

近年来，Li[13-14]提出了一种新的解析方法，即改进的傅里叶级数方法进行了任意边界条件下薄板的振动分析。其通过将薄板结构的位移函数表示为傅里叶余弦级数和辅助多项式或者辅助级数的线性组合，使得弹性约束边界条件能够得到精确满足，从而扩展了级数法的使用范围，使其能应用到任意的边界条件下。

本文利用Mindlin板理论，采用改进傅里叶级数，将矩形板的位移函数及2个转角函数表达为标准的二维傅里叶余弦级数和4项辅助级数的线性组合。利用Hamilton原理建立求解方程，建立线性方程组，得到一个标准的矩阵方程，然后求解矩阵的特征值得到Mindlin矩形板的固有频率。最后，通过和已有文献中的计算结果进行对比来验证本方法的正确性。

1 理论模型的建立

本文所研究的Mindlin矩形板模型如图1所示。板结构的4个边界处分别设置横向位移弹簧、旋转约束弹簧和扭转约束弹簧3种类型的弹簧，通过改变刚度值来对任意边界条件进行模拟。所有的经典边界条件都能够通过将3种弹簧系数设置为无穷大或零来获得。例如将四边的横向位移约束弹簧和扭转约束弹簧的刚度值设置为无穷大，而将四边的旋转约束弹簧刚度值设置为零，就相当于模拟了四边简支的边界条件。

图1 任意弹性边界条件下矩形板结构Fig.1 The rectangular plate with arbitrary elastic boundary condition

根据Mindlin板理论，矩形板自由振动的控制方程为

式中:w为挠度，ψx为x方向的转角，ψy为y方向的转角，ρ为密度，μ为泊松比，h为厚度，D=Eh3/(12(1-μ2))为弯曲刚度，k为剪切系数，剪切刚度G=E/[2(1+μ)]。

板结构的Hamilton方程为

式中:V为板结构的总势能，T为板结构的总动能。对图1所示的板结构，总势能可写为

式中:V1为矩形板的势能，V2为模拟边界条件的弹簧的势能。

V1、V2和 T的形式分别为

2 Mindlin矩形板的位移函数

Mindlin矩形板的位移函数和2个转角函数可通过沿x和y轴方向的2个分量来描述，本文中采用改进的二维傅里叶余弦级数展开来表示:

与x相关的辅助函数表示为

从式(12)和(13)可以很容易得到关系式ξ1a(0)= ξ1a(0)= ξ＇1a(a)=0，ξ＇1a(0)=1，以及 ξ2a(0)=ξ2a(0)= ξ＇2a(0)=0，ξ＇2a(a)=1。需要说明的是，此关系式并不是必需的，本文选择满足此关系式的辅助函数是为了后续数学推导的方便性与简洁性。

与y相关的辅助函数可以将式(12)～(13)中的a和x分别用b和y进行替换得到。从方程(9)～(11)可以看出，位移函数和转角函数展开时除了标准的二维傅里叶级数，还有4项辅助的单傅里叶级数。在四条边界上，挠度和转角关于x和y的一阶偏导潜在的不连续将有效地转移到了辅助项，因此，位移函数和转角函数在整个板的求解域内展开时都有连续的一阶导数。所以这种傅里叶级数解形式，不仅适用于任意边界条件，也可以改善级数的收敛性。

将式(6)～(11)代入Hamilton方程(4)中有:

式中，A为未知的系数向量，其形式为

K为刚度矩阵，M为质量矩阵，其形式为

子矩阵 M1，3和 M1，5可以通过将 M1，2和 M1，4中的函数ζ的下标1更换为2得到。子矩阵M1，6到M1，15均为零矩阵。质量矩阵中的其他子矩阵和刚度矩阵可依此形式写出。式中m'=0，1，…，M，m=0，1，…，M，n'=0，1，…，N，n=0，1，…，N，s=m(N+1)+n+1，t=m'(N+1)+1，M、N 表示展开级数的截断值，这个根据结果所要的精度来确定。

求解式(14)中矩阵特征值，即可得到固有频率和特征向量。每阶特征向量实际上包含着所对应结构模态形状分布的傅里叶系数。板的振动模态可以利用式(9)～(11)得到。

3 数值计算及分析

矩形板的结构及其材料参数为:板的长为a，宽为b，板的厚度为h，长宽比a/b，厚度比h/b，板的密度为 ρ=7 800 kg/m3，弹性模量 E=210 GPa，泊松比μ=0.3，剪切系数k=5/6。为了表述方便，本文中用C表示固支边界条件，F表示自由边界条件，SS表示简支边界条件。

为了检验本文方法的收敛性，表1给出了矩形板在 SS-F-SS-F 边界条件下、长宽比为 0.5，厚度为 0.1时，截断数M=N取不同值时的计算结果。简支边位移约束弹簧刚度和扭转约束弹簧都设置为无穷大(本文中无穷大取值为D×107，而旋转约束弹簧刚度都设置为零，自由边上的3种类型的弹簧的刚度值都设置为零。从表1中可以看出，截断数取较小值时就能得到精确的结果，而且随着截断数的增加，结果得到一致性改善者，即本方法有良好的数值稳定性。

为了验证本文方法的准确性，考虑SS-F-SS-F边界条件下板的振动情况。表2给出了不同厚度比和长宽比下Mindlin矩形板的前6阶无量纲固有频率，同时给出了文献[9]中采用解析法求得的结果。可以发现本方法的结果和精确值的结果吻合良好，两者的误差在5‰内。在本文计算过程中，2个方向的位移展开采用相同的截断数，表1中的值是M=N=12时的计算结果。

表1 SS-F-SS-F Mindlin矩形板频率的收敛性Table 1 Convergence of frequency for SS-F-SS-F Mindlin rectangular plates

表2 SS-F-SS-F Mindlin矩形板的固有频率Table 2 Natural frequency for SS-F-SS-F Mindlin rectangular plates

为了验证本方法在处理其他经典边界条件的准确性，表3给出了Mindlin矩形板在C-F-SS-F边界条件下，长宽比为 0.4 和 1、厚度比为 0.1 和 0.2 时，4种情况下自由振动的无量纲频率值，为了便于与文献中的结果比较，表3中的无量纲频率取为Ω=(ωa2/π2)(ρh/D)1/2。为了模拟固支边，在 x=0 边上的3种类型的弹簧都设置为无穷大，截断数M和N取12。同时表中给出了文献[1]用能量法和文献[7]用离散奇异卷积法求得的结果，通过比较可以看出，本文的结果具有很高的精度。

本方不仅可以求解任意经典边界条件下的振动问题，还可以求解任意弹性边界条件下Mindlin板的振动问题。为了模拟任意边界条件，在SS-F-SS-F板的基础上，表4给出了厚度h=0.1时，x=0边上的扭转约束弹簧刚度Kyx0取不同值时，Mindlin矩形板的前6阶无量纲固有频率，从计算结果可知，随着刚度的增加，同阶的固有频率也随之增加。同时可以看出，当刚度值增加到D×107时，频率值趋于稳定，其大小等于C-F-SS-F边界条件下的频率值，即边界条件转变了C-F-SS-F。

表3 C-F-SS-F Mindlin矩形板的固有频率Table 3 Natural frequency for C-F-SS-F Mindlin rectangular plates

表4 x=0边上不同扭转刚度下SS-F-SS-F板的固有频率，Kyx0=K×DTable 4 Natural frequency for SS-F-SS-F plates with torsional restraints at x=0，Kyx0=K×D

4 结束语

本文应用改进的傅里叶级数方法，将Mindlin矩形板的振动位移和2个转角都表示为一个标准的二维傅里叶余弦级数和辅助级数的线性叠加，建立了任意弹性边界条件下的自由振动模型。通过4项辅助级数的引入，使位移和转角的导数在边界处潜在的不连续得到了转移，有效地克服了边界不连续的问题，因此，本模型可以适用于任意的弹性边界条件。本方法中，所有位移和转角的展开系数可以通过Hamilton方程进行求解，而所有的固有频率都可以通过求解矩阵特征值而得到。最后数值计算结果表明，本方法能够快速收敛并具有很高的计算精度。

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