张爱国，李文达，杜敬涛，代路，杨铁军

(哈尔滨工程大学动力与能源工程学院，黑龙江哈尔滨150001)

弹性圆柱壳作为一个基本的典型构件，因其具有特殊的几何特性、优良的受力性能和便于加工等特点，在航空航天、潜艇结构和石油化工等工程领域得到极其广泛的应用。近年来，随着材料科学与工程的迅速发展，各种复合材料呈现出明显的正交各向异性，为此，深入开展正交各向异性圆柱壳结构动力学特性具有重要理论意义和工程应用价值。

Nosier和Reddy[1]采用考虑剪切变形的Donnell壳体理论以及经典的Donnell壳体理论，对多种边界条件下的圆柱壳的稳定性和自由振动进行了分析。Carrera[2]基于经典的 Flügge 壳体理论，对于多层、各向异性圆柱壳体给出了面内稳定和振动的方程，并对横向剪切变形以及所有的旋转惯量进行考虑，最后推导出了经典Love和Donnell理论的方程。Paliwal和Pandey[3]对正交各向异性圆柱壳的自由振动问题进行了研究，分析了轴向和周向波数、正交各向异性对于3个自振频率的影响。

李学斌[4]对正交各向异性圆柱壳的静动态特性做了大量研究。他从 Flügge壳体理论出发，推导出在静水压力作用下正交各向异性圆柱壳的平衡方程，把弹性失稳问题转化成为了求解广义特征值的问题，并且讨论了正交各向异性、长径比(L/R)、厚度半径比等因素对临界失稳压力的影响以及该方法的实际应用。并使用解析法，根据 Flügge壳体理论，从正交各向异性圆柱壳在静水压力作用下的自由振动方程出发，推导出在简支边界下圆柱壳自由振动的特征方程[5]，讨论了正交各向异性圆柱壳的自由振动特性以及静水压力对其自由振动频率的影响，详细分析了壳体材料的特性参数和具体几何参数对于自振频率的影响，得到了最低自由振动频率随长径比变化的包络线。同时，他从 Flügge壳体理论出发，使用振型叠加方法，分析了在静水压力作用下正交各向异性圆柱壳受到径向冲击时的瞬态动力响应问题，并且讨论了结构尺寸的变化以及材料特性对响应量的影响。

此外，已有学者推导出简单边界条件下的正交各向异性圆柱壳自由振动的精确特征方程[5]，如文献[6]对复杂边界条件的圆柱壳自由振动进行了分析，但其所用方法需要对每一种复杂边界条件先列出约束方程再进行后续推导。事实上，边界条件作为一种重要的结构参数，对于圆柱壳结构动力学行为特性具有重要影响[7-8]。最近，文献[9-10]提出一种二维改进的傅里叶级数方法，分别完成了弹性约束边界条件下矩形板结构面内与弯曲振动特性分析。随后，这种二维改进的傅里叶级数方法进一步拓展至各向同性圆柱壳结构振动分析中，并得到了良好的预报效果[11]。本文将首先简单介绍二维改进傅里叶级数方法，随后采用能量原理并结合瑞利-里兹方法获得正交各向异性圆柱壳结构系统矩阵方程，最后，给出数值算例，并同文献中其他预报方法结果进行比较，对本文所提出方法的正确性与可行性进行验证。

1 理论推导

1.1 模型描述

如图1所示，考虑一个长度为L、半径为R、厚度为h的正交各向异性圆柱壳，在该圆柱壳上建立柱坐标系，圆柱壳的轴心线与坐标系中x轴重合，且长度方向与x轴同向。

图1 正交各向异性圆柱壳结构模型示意图Fig.1 Analysis model of orthotropic cylindrical shell structure

为了统一处理圆柱壳结构的边界约束条件，此处采用4种边界约束弹簧来进行模拟，这样，各种边界条件便可以通过将边界约束弹簧刚度系统为无穷大或零进而得到。

1.2 位移场函数展开

正交各向异性圆柱壳在轴向、周向和径向3个方向上的振动位移以傅里叶级数的形式:

式中:λm=m π/L，ξ1(x)和 ξ2(x)是面内位移辅助函数，ζ1(x)、ζ2(x)、ζ3(x)和 ζ4(x)为弯曲位移辅助函数。此处，在标准二维傅里叶级数上引入这些辅助函数的目的在于消除3种壳体位移及其相应空间导数在结构边界上的不连续性，进而提高傅里叶级数在整个数值求解域内的收敛速度和求解精度。理论上，这些辅助函数的形式可以不唯一，为了简便相关数学推导步骤，辅助函数在这里分别构造为[11]

容易证明:

通过在标准的傅里叶级数中引入辅助函数，可以改进解的收敛性和精确性，此处，构造的辅助函数形式将有助于简化后续数学推导过程。

1.3 能量原理

为了确定正交各向异性圆柱壳振动位移改进傅里叶级数中所有的未知系数，将采用能量原理对圆柱壳系统自由振动进行描述，进而利用瑞利-里兹方法进行求解。正交各向异性圆柱壳的系统拉格朗日函数为

式中:V和T分别为系统的总势能和总动能。

总势能V包括应变能和边界约束弹簧的弹性势能2部分，它可以表示为

式中:A11、A12、A22和A21是拉伸刚度，表达式分别为

A66是剪切刚度，其表达式为

D11、D12、D22和 D21是弯曲刚度，它们的表达式分别为

D66是剪切刚度，其表达式为

圆柱壳系统振动引起的总动能T为

式中:u、v和w分别为正交各向异性圆柱壳在3个方向上的振动位移函数分布，ρ、h和R分别表示圆柱壳结构的质量密度、厚度和半径。

1.4 系统特征方程

将所构建的正交各向异性圆柱壳结构3个改进傅里叶级数振动位移分量函数(式(1)～(3))代入系统的拉格朗日函数(式(14)，(15)，(26))中，利用瑞利-里兹方法对位移函数中的傅里叶表达式中的各个系数 Amn、an、bn、Bmn、cn、dn、Cmn、en、fn、gn和hn分别求导取极值，在实际计算过程中，改进傅里叶级数进行有限截断m=M，n=N，从而可以得到关于所有傅里叶系数的系统特征矩阵方程:

式中:

显然，正交各向异性圆柱壳结构的模态频率参数可以通过求解一个标准的矩阵特征值问题而全部得到。如果需要求解圆柱壳结构系统对于外部激励的振动响应，仅需在正交各向异性圆柱壳结构系统拉格朗日函数(式(14))中包含外力的做功项，最终将会在矩阵方程(式(27))的右端出现外力激励向量。

2 数值结果与讨论分析

本节中将采用MATLAB科学计算语言对上述理论推导模型进行编程数值仿真，将计算所得到的不同边界条件下正交各向异性圆柱壳结构模态频率与文献[6]中方法所给出的结果进行比较，进而验证所提出预测模型的正确性与优越性，同时对于相关参数对于圆柱壳结构的模态参数影响进行讨论分析。如前文所述，本文模型中边界条件可以通过将边界约束弹簧刚度系数设置为零或无穷大来进行模拟(在数值计算中采用1×1011表示无穷大)。计算发现，对于傅里叶级数截断数采用M=N=9时，即可得到精确频率参数。为了便于同文献[6]中的数据进行对比，无量刚频率参数Ω定义为

表1～8中分别列出了简支-固支、简支-自由、固支-固支、自由-自由边界条件下，采用本文方法得到了正交各向异性圆柱壳的无量纲频率参数与文献[6]中方法得到的无量纲频率参数的对比。

表1 简支-固支边界条件下正交各向异性圆柱壳结构的无量纲频率参数 Ω，其中:Ex/Ey=2，h/R=0.01Table 1 Non-dimensional frequency parameter Ω of orthotropic cylindrical shell structure with simply supported and clamped boundary conditions，in which Ex/Ey=2，h/R=0.01

表2 简支-自由边界条件下正交各向异性圆柱壳结构的无量纲频率参数Ω，其中:Ex/Ey=2，h/R=0.01Table 2 Non-dimensional frequency parameter Ω of orthotropic cylindrical shell structure with simply supported and free boundary conditions，in which Ex/Ey=2，h/R=0.01

表3 固支-固支边界条件下正交各向异性圆柱壳结构的无量纲频率参数Ω，其中:Ex/Ey=2，h/R=0.01Table 3 Non-dimensional frequency parameter Ω of orthotropic cylindrical shell structure with clamped and clamped boundary conditions，in which Ex/Ey=2，h/R=0.01

表4 自由-自由边界条件下正交各向异性圆柱壳结构的无量纲频率参数Ω，其中:Ex/Ey=2，h/R=0.01Table 4 Non-dimensional frequency parameter Ω of orthotropic cylindrical shell structure with free and free boundary conditions，in which Ex/Ey=2，h/R=0.01

表5 固支-固支边界条件下正交各向异性圆柱壳结构的无量纲频率参数Ω，其中:Ex/Ey=2，L/R=10Table 5 Non-dimensional frequency parameter Ω of orthotropic cylindrical shell structure with clamped and clamped boundary conditions，in which Ex/Ey=2，L/R=10

表6 自由-自由边界条件下正交各向异性圆柱壳结构的无量纲频率参数Ω，其中:Ex/Ey=2，L/R=10Table 6 Non-dimensional frequency parameter Ω of orthotropic cylindrical shell structure with free and free boundary conditions，in which Ex/Ey=2，L/R=10

表7 固支-固支边界条件下正交各向异性圆柱壳结构的无量纲频率参数Ω，其中:h/R=0.01，L/R=5Table 7 Non-dimensional frequency parameter Ω of orthotropic cylindrical shell structure with clamped and clamped boundary conditions，in which h/R=0.01，L/R=5

表8 自由-自由边界条件下正交各向异性圆柱壳结构的无量纲频率参数Ω，其中:h/R=0.01，L/R=5Table 8 Non-dimensional frequency parameter Ω of orthotropic cylindrical shell structure with free and free boundary conditions，in which h/R=0.01，L/R=5

通过2种方法所得到的无量纲频率参数的绝对值对比，可以看出:对于各种边界条件与物理参数情况下，本文方法能够准确预报正交各向异性圆柱壳结构模态特性。由于在本文模型中所采用的改进傅里叶级数方法在整个求解域内充分连续，同时模型边界条件采用弹性约束弹簧进行模拟，上述结果验证了该方法的可行性。与文献[6]中方法相比，本文方法采用统一建模，当边界条件等各种结构或物理参数改变时，无须对理论公式进行推导或重新编写计算程序，表现出更好的通用性，将更便于人们分析边界约束条件对此类正交各向异性圆柱壳动力学特性的影响。

3 结束语

本文采用一种二维改进傅里叶级数方法研究了不同边界条件下正交各向异性圆柱壳结构动力学特性，即圆柱壳在圆周、轴向和径向3个方向上的振动位移场函数均采用标准二维傅里叶余弦级数附加多项式与单傅里叶级数形式进行展开，用以克服位移函数导数在边界处不连续问题。然后，基于能量原理和瑞利-里兹方法对所有未知傅里叶级数系数进行求解，得到包含所有模态频率参数的系统特征方程矩阵表达式。

采用MATLAB语言编制仿真程序，通过与文献[6]中方法的不同边界条件下正交各向异性圆柱壳结构振动频率计算结果进行比较，验证了本文方法和所编制程序的正确性和有效性。本模型中边界条件修改时，不需要对理论模型重新推导和进行程序的重新编写，更加适用于正交各向异性圆柱壳结构振动特性的边界影响分析。

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