王丽丽，王 星

(通化师范学院 数学学院,吉林 通化 134002)

1 引言

非线性差分方程模型在经济学，生态学，计算机科学等方面都有着广泛的应用.许多学者都对其振动性，非振动性，渐进性等性质有所研究.文献[1]研究了一类三阶线性中立差分方程Δ3(xn-pnxσn)±qnxτn=0，n≥n0解的振动性准则.文献[2]利用Banach不动点定理得到了二阶中立时滞差分方程Δ2(xn+pnxn-m)+pnxn-k-qnxn-1=0,n≥n0,非振动解的存在性结论.文献[3]讨论了二阶非线性中立时滞差分方程Δ(rnΔ(xn-pnxn-m))+qng(xn-k)=fn,n≥0,正解存在的必要条件.本文将应用Krasnoselskii不动点定理及一些变分方法研究以下更一般的三阶非线性中立时滞差分方程

Δ2(rnΔ(xn+pnxn-τ))=
f(n,xn-b1n,xn-b2n,…,xn-bkn),n≥n0

(*)

不可数多有界正解的存在性结论，所讨论的方程更具有一般性.

2 预备知识

文中假设R，Z，N，N0分别表示全体实数，整数，正整数及非负整数集，Nn0={n:n∈N0,n≥n0},Zβ={n:n∈Z,n≥β},β=min{n0-τ,α},α=inf{n-bln:1≤l≤k,n∈Nn0}.Δi表示第i阶向前差分算子，即：Δxn=xn+1-xn,Δi=Δ(Δi-1xn),其中i∈{2,3},n∈Z.方程(*)中我们约定τ,k∈N,n0∈N0,{rn}n∈Nn0和{pn}n∈Nn0表示实序列且rn≠0,{bln:n∈Nn0,l∈{1,2,…,k}}⊂Z且

引理1[4]有界的且一致柯西的子集是相对紧的.

引理2 (Krasnoselskii不动点定理)令X表示Banach空间，D表示X的有界闭凸子集，映射S及U映D到X且满足Sx+Uy∈D,∀x,y∈D.如果S是压缩映射，U是全连续映射，则方程Sx+Ux=x在D中有解.

3 主要结果

本节我们将依据序列{pn}n∈Nβ的范围讨论方程(*)不可数多有界正解的存在性，结论如下：

定理1 常数A和B满足A>B>0，非负序列{Wn}n∈Nn0满足

|f(n,u1,u2,…,uk)|≤Wn,
∀(n,u1,u2,…,uk)∈Nn0×[B,A]k

(1)

及

(2)

|pn|≤c,∀n≥n1

(3)

则方程(*)在Ω中有不可数多有界正解.

(4)

(5)

(6)

首先证明ULx+SLy∈Ω由式子(1)和(3)-(6)知

即B≤(ULx)n+(SLy)n≤A,∀n≥T,从而得证.

其次，根据式子(3)映射UL为压缩映射显然.

(7)

(8)

(9)

从而SL为连续映射.式子(1)，(4)和(6)可推出

即SL(Ω)为闭集.下面断定SL(Ω)是一致柯西的.

因为对于∀x∈Ω,m>n≥T1,式子(8)推出

成立.从而由引理1知SL(Ω)是相对紧的.因此SL(Ω)是全连续的.

引理2保证了方程ULx+SLx=x在Ω中有解x={xn}n∈Zβ.通过向前差分算子的简单计算知x即为方程(*)在Ω中的有界正解.

显然，存在zj={zjn}n∈Zβ∈Ω适合方程ULjzj+SLjzj=zj，从而是方程(*)的解. 联立式子(1)，(3)及上式，得∀n≥T3

从而得

即z1=z2.证毕.

参考文献：

[1]A.Andruch-Sobilo, On the oscillation of solutions of third order linear difference equations of neutral type [J].Math.Bohemica 130(2005):19-33.

[2]C.Jinfa, Existence of a non-oscillatory solution of a second-order linear neutral difference equation [J].Appl.Math.Lett.20(2007):892-899.

[3]R.N.Rath,J.G.Dix,L.S.Barik,B.Dihudi, Necessary conditions for the solutions of second order non-linear neutral delay difference equations to be oscillatory or tend to zero [J], Int.J.Math.&Math.Sci.(2007).

[4]S.S.Cheng,W.T.Patula, An existence theorem for a nonlinear difference equation[J].Nonliear Anal.20(1993):193-203.

[5]S.H.Szker, Oscillation of third-order difference equations [J].Port.Math.61(2004):249-257.