滕玉永

摘 要： 本文采用了受力分析、运动分析，数学求导，以及Cauchy不等式等方法，加强学生对物理量最值的理解和求解，让学生认识到求最值方法的多样性，从而培养学生利用物理方法和数学方法求物理量最值的能力；利用gnuplot软件画出重力的功率随θ的变化关系图线，让学生更形象、更直观地认识重力的功率随θ的变化趋势。

关键词： 最值 受力分析 运动分析 求导 Cauchy不等式

例题：如图1所示，以O点为圆心，制作一个半径为R=2m四分之一的光滑圆弧形轨道，质量为m=0.1kg的小球从与O点等高的圆弧最高点滚下。求：小球沿光滑圆弧下滑过程中重力的最大功率为多大（g取10m/s）？

图1 图2

解析：小球沿光滑圆弧下滑过程中重力的功率最大时，如图2所示：设小球所在位置与O点的连线与竖直线所成夹角为θ，小球速度为v，由功能关系得：mgRcosθ=mv （1），所以v= （2），P=mgv=mgvsinθ=mgsinθ （3），代入数据可得：P=mgsinθ=2sinθ （4），则：求重力最大功率的问题转化为求sinθ或cosθsinθ或cosθ（1-cosθ）的最大值问题。

方法一：受力分析和运动分析，丰富原有图形，物理知识求最大值。

知识点类比迁移过程：在高中物理问题中，依据所研究问题的需要，把实际研究对象及其运动状态、受力情况等进行合理抽象，对制约物体客体运动、变化的条件进行取舍，即忽略次要因素，抓住决定性的条件，突出理想客体与主要条件的内在联系。如本题中，解决问题时可以首先突出竖直方向上的运动状态，可以发现竖直方向的速度是先变大再变小；其次突出圆周运动，小球在任意一个位置的法线……