刘波

摘 要： 本文归纳和总结了概率论课程中随机事件和随机变量的独立性的概念和性质.

关键词： 概率论 随机变量 独立性

在概率论课程中，独立性是一个非常重要的概念，在教学过程中它既是重点又是难点.现对概率论中出现的独立性问题做总结和归纳.

1.事件的独立性

设A，B是两个事件，一般而言P（A）≠P（A|B），这表示事件的发生对事件的发生的概率有影响，只有当P（A）=P（A|B）时，才可以认为B的发生与否对A的发生毫无影响，这时就称A，B两个事件是独立的.

定义1[1]：如果P（AB）=P（A）P（B）成立，则称事件A与B相互独立，简称A与B独立.

在实际问题中，我们一般不用定义判断两个事件A，B是否相互独立，而是相反，从试验的具体条件及试验的具体本质分析判断它们有无关联，是否独立.如果独立，就可以用定义中的公式来计算积事件的概率.

定义2[1]：设有n个事件A，A，…，A，如果对任意k（1

P（AA…A）=P（A）P（A）…P（A） （1）

则称此n个事件A，A，…，A相互独立.

三个事件相互独立不仅是两两独立的，而且满足三三独立.

注：（1）A与B互不相容和相互独立的关系.

若AB=？准，则称A与B互不相容，互不相容是说明两个事件没有相同的样本点.而独立是说明两个事件的发生互不影响.所以它们是两个不同的概念，但它们之间也有一定的联系，如例1.

例1：若P（A）>0，P（B）>0，则有：（1）当A与B相互独立时，则有A与B相容，即AB≠？准.（2）当A与B互不相容时，有A与B不相互独立.

解：（1）由A与B相互独立和P（A）>0，P（B）>0，有P（AB）=P（A）P（B）>0，故AB≠？准，即A与B相容.

（2）由A与B互不相容和P（A）>0，P（B）>0，有P（AB）=0≠P（A）P（B），故P（AB）≠P（A）P（B），即A与B不独立.

由上例得到，若P（A）>0，P（B）>0，则A与B相互独立与A，B互不相容不能同时成立.但是若去掉P（A）>0，P（B）>0这个……