高 铁，徐英奎，颜 萍，吴燕冈

（沈阳地质调查中心方法室，沈阳 110034）

小波阈值去噪方法在重力资料处理中的应用

高 铁，徐英奎*，颜 萍，吴燕冈

（沈阳地质调查中心方法室，沈阳 110034）

简要介绍了小波变换的基本理论与小波阈值去噪实现过程。通过单球体与双球体模型试验，探讨了阈值去噪时小波基以及分解层数的选择问题；最后利用小波阈值去噪方法，对某实测布格重力资料进行处理，有效滤除了随机噪声。去噪后计算的水平方向导数明显比去噪前直接计算的水平方向导数效果好。

小波阈值去噪；小波基；分解层数；重磁资料

0 引言

在重磁勘探中，由于受到各种因素的影响，使得重磁资料中常含有较强的噪声，这些伴随在有用信号中的噪声是影响重磁资料后续处理精度的重要因素（例如在各种反演方法中常需要求取异常的水平和垂向高阶导数，但高阶导数方法对高频干扰噪声具有较强的放大作用，会大大降低反演的精度）。因此在对重磁资料进行各种特殊处理之前，在不降低信号分辨率的基础上，对其进行去噪处理是十分必要的。

重磁资料去噪传统的方法主要是基于傅里叶变换（例如匹配滤波、维纳滤波等），但是傅里叶变换是把信号从时域完全变换到频域进行分析，计算过程中丢失了时域的全部信息，在时域方面分辨性很差，而在频域方面不能反映信号的细节［1－4］。

小波变换是20世纪80年代发展起来的一种新的方法技术，由于其具有时频分析、多分辨率和去相关性等特点，在信号去噪方面得到了广泛地应用。目前，已有许多学者做了大量的试验，研究利用小波变换对地震信号、测井曲线、探地雷达信号等方面的去噪［2－10］，但是在重磁资料的应用，研究还比较少［11］。本研究首先介绍了小波变换的基本理论以及小波阈值去噪的原理与过程，然后探讨了在重磁资料去噪处理中，阈值函数、小波基以及空间尺度的选取问题，最后将小波阈值去噪方法应用到某实测布格重力异常中。

1 方法原理

1．1 小波变换

设ψ（t）∈L2（R），若其傅里叶变换满足条件为一个基本小波或母小波。将母函数ψ（t）经伸缩和平移后得ψa，b（t），称其为一个小波序列。

其中：a为伸缩因子；b为平移因子。

对于任意函数f（t）∈L2（R）的连续小波变换为

小波变换的一个重要特征是有一个灵活可变的时间－频率窗，它在高的“中心频率”时自动变窄，而在低的“中心频率”时自动变宽，这样它对高频信号有较高的分辨率，而对低频信号又能给出完整的信息［］。

1．2 小波阈值去噪

阈值去噪方法的思想就是对小波分解后的各层系数中模大于和小于某阈值的系数分别处理，然后对处理完的小波系数再进行反变换，重构出经过去噪后的信号［12］。具体步骤如下［5］：

1）选择一个小波基并确定分解层数，对原始含噪数据进行小波变换，得到含噪小波系数。

2）选取一种去噪准则，确定噪声的阈值，给出小波系数估值。

3）由小波系数估值进行小波反变换，重构信号得到信号估值。

常用的阈值函数有硬阈值函数和软阈值函数：

1）硬阈值函数。它可以很好地保留信号边缘等局部特征，其表达式为

2）软阈值函数。它的处理结果会相对圆滑，但是会造成边缘模糊等失真现象，其表达式为

3）半软阈值函数。它可兼顾软阈值和半软阈值方法的优点，其表达式为

2 模型试验

重力异常是由地下浅部与深部所有地质体的综合反映，所以等值线会比较圆滑，不会出现跳变点，因此选用软阈值比硬阈值更适合重力资料的去噪。

小波去噪时需要考虑的另外两个参数是小波基和分解层数，选择不同的小波解决同一个问题可能会产生不同的结果，因此去噪处理时必须考虑选择最优小波基，而随着分解层数的增加，噪声的幅值越来越小，有用信号的幅值逐渐增大，因此要选择合适的分解层数以达到既保持原有信号的有用部分，又能滤去干扰部分的效果。

小波基和分解层数的选择对去噪的结果有很大的影响，前人已经做过许多理论分析和实验：通过对地震信号进行小波阈值去噪后的信号与原始信号的误差大小进行分析，得出sym族小波优于db族小波，而sym N小波族中，N取4～6的中等数，得到的误差最小，而地震信号中的噪声只存在于前三尺度的分解结果中，故采用3次分解去噪即可消除地震中的噪声［6］；db小波比较适合探地雷达数据处理［8］，分解层数取“3”既能保证去噪的效果，又能尽量减少处理的工作量［9］。

本研究通过对叠加随机噪声的单球体模型和双球体模型重力异常，选用不同的小波基以及分解层数进行去噪试验，利用去噪后的信号与原始信号的标准偏差作为误差分析的标准，来探讨重磁资料小波阈值去噪处理中小波基和分解层数的选择问题。

2．1 单球体模型

选取单个球体为模型，其参数为：球体中心坐标为（0，0），埋深50 m，半径100 m，剩余密度为1．0 g／cm3。其重力异常等值线如图1（a）所示，最大值为3．5 g．u．。叠加幅度为（－0．1，0．1）的随机噪音后，重力异常等值线如图1（b）所示。表1为不同小波基以及分解层数的误差结果。当选取的小波基为db6，分解层数为4层时的小波阈值去噪后的重力异常等值线见图1（c）。

2．2 双球体模型

在单球体模型的基础上再叠加一个球体，其参数为：球体中心坐标为（50，40），埋深20 m，半径15 m。此球体埋深相对浅，规模也小，产生的重力异常相当于浅部的高频有效信号。其重力异常等值线如图2（a）所示，最大值为4．42 g．u．，同样叠加幅度为（－0．1，0．1）的随机噪音后，重力异常等值线如图2（b）所示。表2为其不同小波基以及分解层数的误差结果。当选取的小波基为db6，分解层数为3层时的小波阈值去噪后的重力异常等值线见图2（c）。

2．3 参数选择

由表1和表2可知，Haar方波的误差很大，而当N和分解层数任意时，coif族小波的误差变化范围比sym族小波及db族小波大，所以sym族小波与db族小波优于haar小波及coif族小波。sym N和db N小波族中，N不能取“1”，其他取值对结果影响很小，最好取3～6；分解层数取3层最优。

图1 单球体模型小波阈值去噪Fig．1 The application of wavelet threshold de－noising method to single sphere model

图2 双球体模型小波阈值去噪Fig．2 The application of wavelet threshold de－noising method to double sphere model

表1 不同小波基以及分解层数的误差结果比较（单球体模型）Tab．1 The error by different wavelet basis function and decomposition order（single model）

3 实测数据处理

图3是某区实测的布格重力异常等值线图（单位毫伽：10－5m／s2），从图3可以看出，等值线总体呈东北方向展布，西北高东南低。由于测量和各项改正过程中各种误差的存在，导致等值线杂乱，甚至在某些地方出现明显的沿南北测线方向的条带状虚假异常，如果在处理之前不对这些干扰去除，将严重影响后续各种反演与解释的精度。采用二维小波阈值去噪对实测资料进行处理，采用的小波基为sym7，尺度为3，得到结果如图4所示。从图4可以看出，去噪后的等值线完好地保持了原有的整体形态，并且在没有产生虚假异常的基础上，等值线变得相对圆滑，去除了各种随机干扰以及南北向条带状虚假异常。

表2 不同小波基以及分解层数的误差结果比较（双球体模型）Tab．2 The error by different wavelet basis function and decomposition order（double model）

水平方向导数可以突出某个特定方向的异常，是重磁数据处理中的一种经典方法，在此引入用以说明去噪的重要性。图5是直接用实测的布格重力异常利用频率域方法得到的水平方向导数，由于噪音的存在，求导过程中将高频成分放大，导致结果非常杂乱，肉眼很难辨别出规律。图6是先做小波阈值去噪处理然后再求导得到的水平方向导数，四个方向的导数等值线都比较光滑，很容易辨别出东北向的异常最强。

4 结论

图3 实测布格重力异常等值线图Fig．3 The practical gravity data contours

图5 原始布格重力异常水平方向导数Fig．5 Directional derivatives calculated from the original gravity data

由于小波变换具有时频分析、多分辨率和去相关性等特点，在信号去噪方面得到了广泛地应用。通过建立简单的球体模型，用小波阈值方法对其叠加了随机噪声后的数据进行去噪处理，探讨了在重磁资料去噪处理中，软硬阈值函数、小波基以及分解层数的选取问题。结论如下：

1）软阈值函数比较适合于重磁数据去噪。

2）通过误差分析比较，各类小波都可以很好地滤除噪声，但db N族小波和sym N族小波优于其他小波基，N不能取1，其他取值对结果影响很小，最好取3～6。

3）分解层数取3层去噪效果最佳。

最后将小波阈值去噪方法应用到某实测布格重力异常中，有效地滤除了随机噪声，去噪后计算的水平方向导数明显比去噪前直接计算的水平方向导数效果好。经理论和实测数据的处理结果表明，小波阈值去噪方法能够有效地去除重磁资料中的随机噪声，是一种切实可行的重磁信号去噪新方法。

图4 小波阈值去噪后的重力等值线图Fig．4 The contours after de－noising

图6 去噪后的布格重力异常水平方向导数Fig．6 Directional derivatives calculated from the denoised gravity data

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Application of wavelet threshold de－noising method in gravity data processing

GAO Tie，XU Ying－kui，YAN Ping，WU Yan-gang
（Shenyang Center China Geological Survey，Shenyang 110034，China）

In this paper，the basic theory of wavelet transform and the process of wavelet threshold denoising are introduced．Then，we discussed the criterion for wavelet bases and scales to be selected by establishing single sphere and double spheres models and doing various experiments on the gravity of the models．Finally，the wavelet threshold de－noising method is applied to practical gravity data，and the result is completely denoised．Directional derivatives calculated from the denoised data are more effective than that calculated from the original data

wavelet threshold de－noising；wavelet bases；wavelet scales；gravity and magnetic data

P 631．1

A

10．3969／j．issn．1001-1749．2014．05．09

1001-1749（2014）05-0566-05

2014-03-03 改回日期：2014-07-23

沈阳地质矿产研究所自设项目（2012007）

高铁（1983-），男，博士，主要研究方向为地球物理综合方法，E-mail：39085496＠qq．com。

*通讯作者：徐英奎（1963-），男，工程师，研究方向为构造地质，E-mail：997182861＠qq．com。