石睿

（福州市第一中学 福建福州 350108）

由逐差法得到的答案是唯一的吗
——2014年高考福建理综卷一道实验题的答案值得商榷

石睿

（福州市第一中学 福建福州 350108）

围绕2014年高考福建理综卷一道实验题展开，用几种逐差法和Origin 8．0软件求解其中第（3）小题答案，得到不同结果，通过对比发现对半分组顺序逐差产生误差最小．但关于逐差法产生误差的分析已超过了高中生能力范围，故该题答案的唯一性设置值得商榷．

逐差法 Origin 8．0 高考

1 原题与解析

【原题】［2014年高考福建理综卷第19题（2）］某研究性学习小组利用伏安法测定某一电池组的电动势和内阻，实验原理如图1所示．

图1

图中，虚线框内为用灵敏电流计G改装的电流表A，V为标准电压表，E为待测电池组，S为开关，R为滑动变阻器，R0是标称值为4．0Ω的定值电阻．

（1）已知灵敏电流计G的满偏电流Ig＝100 μA，内阻rg＝2．0 kΩ，若要改装后的电流表满偏电流为200 m A，应并联一只______Ω（保留一位小数）的定值电阻R1．

（2）根据图1，用笔画线代替导线将图2连接成完整电路．

图2

（3）某次实验的数据如表1所示．该小组借鉴“研究匀变速直线运动”实验中计算加速度的方法（逐差法），计算出电池组的内阻r＝______Ω（保留两位小数）．为减小偶然误差，逐差法在数据处理方面体现出的主要优点是______．

表1 某次实验数据

（4）略．

答案：（1）、（2）略；（3）1．66Ω；充分利用测得的数据；（4）略．

解析：（3）由闭合电路欧姆定律U＝E-Ir′可知，内阻r′为U- I图线斜率的绝对值，本题中等效内阻r′＝r＋R0，则

由式（1）、（2）、（3），并代入数据得

保留两位小数，得

2 逐差法的不同数据组合方式

2．1 常用对半分组顺序逐差

逐差法常用于求一系列测量量的差值的平均值，使用逐差法处理实验数据一般来说要求满足两个条件：

（1）函数具有线性y＝kx＋b或者有多项形式；

（2）自变量是等间距变化［1］．

使用逐差法时，将所有测量量分成两组，两组中的数据对减，这样每个数据只使用一次，可以避免求平均值时数据相消，充分利用了所有数据．

图3

高中物理教学在“研究匀变速直线运动”实验中引入了逐差法．学生分析纸带记录下的小车的运动，并使用逐差法求小车的加速度．由于纸带的特殊性，在该实验中运用的逐差法，往往演变为“两段法”更加简便，即将数据对半分成两组，以图3中纸带为例，将数据分为（s1，s2，s3）与（s4，s5，s6）两组，再将两组中的数据按顺序分别相减，最终可把纸带的后一半与前一半看成两大段相邻且相等的时间间隔（3T），求出加速度．

显而易见，上面所附的本题解析中使用的数据处理方法也是对半分组顺序逐差．

2．2 用其他组合方式求解本题

本题不像纸带有前半段后半段之分，单从充分利用数据的角度，完全可以采用其他的数据组合方式进行逐差法，下面试用其他组合方式的逐差法求解此题．

2．2．1 奇偶分组顺序逐差

把测量次数为奇数的数据作为一组，测量次数为偶数的作为另一组．

由式（1）、（2）、（4）得

保留两位小数，得r＝1．63Ω．

2．2．2 对半分组头尾逐差

仍把数据对半分组，但第二组的最后一个数据减第一组的第一个数据，以此类推．

由（1）、（2）、（5）式得

保留两位小数，得r＝1．60Ω．

由此可见，同样是逐差法，利用了所有数据，选择不同的数据组合方式，会求出不同的答案．但是本题给出的答案是唯一的，即对半分组顺序逐差求出的结果．

为什么使用逐差法时都默认使用对半分组顺序逐差呢？上述3种组合方式从充分利用数据的角度，应都是可行的．判断它们优劣应看哪一种分组的逐差法计算结果更接近真实值．

3 使用Origin 8．0处理实验数据

Origin是美国Microcal公司推出的数据分析和绘图软件，具有数据的排序、调整、计算、统计、频谱变换、曲线拟合等各种完善的数学分析功能，在教学、科研、工程技术领域有非常广泛的应用．该软件在拟合直线时，采用最小二乘法作为计算内核，得到的结果相对比较精确．下面笔者使用Origin 8．0软件，处理题中数据，描绘U- I图线，拟合直线，并求该直线斜率的绝对值，进而求出内阻，以此作为参考值．

3．1 操作步骤

（1）打开软件，输入实验数据（采用国际单位制），如图4所示．

图4 数据输入窗口

（2）点击右下方散点图快捷键，选择横纵轴描绘散点图，如图5，6所示．

图5U- I散点图

图6 横纵轴选择窗口

（3）拟合直线与参数分析

选择Analysis菜单中的Fit Linear，对图5进行线性拟合，原图中新增一条拟合出来的直线，同时直线旁出现拟合参数窗口．

图7 拟合直线与拟合参数

由图7拟合参数窗口中可看到，拟合直线的截距（intercept）为a＝5．385 36，其标准差为0．008 51，斜率（slope）为b＝-5．684 52，标准差为0．084 25，线性拟合相关系数R＝0．998 46，说明所测量的数据其拟合直线几乎全部通过数据点（对于一被拟合的直线来说，相关系数越趋近于1，则说明x与y间的线性关系拟合得越好［2］）．

3．2 结果

由上可知，r′＝5．684 52Ω，可得

4 几种数据处理方式的结果比较

几种数据处理方式的结果如表2所示．

表2 几种数据处理方式的结果

对比之前几种逐差法的结果，可以看出，对半分组顺序逐差得到的结果最接近由Origin 8．0得到的参考值，可见，用逐差法处理这组实验数据时，采取对半分组顺序逐差最合理．

但仅从一组实验数据的分析上我们不能说这个结论是普遍适用的，还应从测量结果传递误差是否最小的角度验证．

借鉴文献［3］的研究结果，在只考虑仪器误差的情况下，对半逐差顺序逐差是求测量值差值的平均值的最优分组，它使得在数据处理的过程中，测量结果的误差最小．这个结论与我们上面的计算结果相符．

5 结论

在高中教学中讲授逐差法是在求纸带加速度的背景下进行的，由于纸带的特殊性，逐差法均采用对半分组且顺序逐差．而2014年高考福建理综卷的这道题中，不涉及纸带，利用逐差法，就应该有多种分组可能，对应得到多个答案．

虽然对半分组顺序逐差产生误差最小，是最优方法，但关于逐差法产生误差的分析已超过了高中生能力范围，使用哪一种分组方式不应该是在本题的考查范围之内．而这道题的标准答案设置为唯一值，即只能采用对半分组顺序逐差的方式，笔者认为这道题答案是否唯一值得商榷．

1 唐春红，唐曙光，刘扬正．逐差法和Origin8．0软件在牛顿环实验数据处理中的比较．物理通报，2013（9）：98～100

2 曾贻伟，龚德纯，王书颖，汪顺义．普通物理实验教程．北京：北京师范大学出版，1989．40～41

3 黄曙江．逐差法的较优分组．物理通报，1998（4）：7～8

2014- 06- 28）