祝 硕，许保光，刘世骞

（1.中国科学院科技政策与管理科学研究所，北京 100190）（2.中国国际航空股份有限公司工程技术分公司，北京 101312）

周转件构成的可修复系统的可靠性分析

祝 硕1，许保光1，刘世骞2

（1.中国科学院科技政策与管理科学研究所，北京 100190）（2.中国国际航空股份有限公司工程技术分公司，北京 101312）

系统在运行期间因部件失效而发生故障，进行更换维修后，系统部件的使用时间分布发生变化，系统可靠性指标的值也随之变化，对此情况下系统可靠性分析方法进行了研究。将一定范围内同类部件的整体看作系统，并考察全部由周转件构成的系统，通过对各个时刻系统内部件的使用时间以及维修次数分布建立数学模型，得到了系统可靠度随系统运行时间的增加而减小，系统部件更换率随系统运行时间增加而增加的结论。并通过航空公司的实际数据对结果进行了验证。分析结果为备件采购计划、部件梯次使用计划和维修策略的制订具有重要意义。

可靠性；系统可靠度；系统部件更换率；周转件

1 引言

空中客车公司的统计资料显示，航空公司的运营成本中，飞机的维修费用占到了约13%的比例，仅次于资产折旧费用和燃油费用。因此，飞机的故障发生情况一直都是航空公司重点关注的对象，而且故障发生频率也是航空公司衡量维修质量的指标之一。根据专家经验，一般情况下，机队的故障情况会随机队运行时间而增多，但具体的数量关系仍未得到研究，这也为维修质量的评价等工作带来困难。为此，本文将某一机队（由同一机型的所有飞机组成）中所有的同类部件作为对象，对机队中该类部件构成的整体，考察其可靠度以及故障发生情况随机队运行时间的变化规律，以反映出各部件本身固有的可靠性对整体故障情况的影响。

“系统”通常定义为“由一群相关元件组成的一种组织体，借由这个组织体的运作，以达成特定的目的”；在日本1967年制定的JIS（Japanese Industrial Standards）中，“系统”是指“许多组成要素保持有机的秩序，向同一目的行动的东西”；我国科学家钱学森在1978年提出，“系统”即“相互作用和相互依赖的若干组成部分合成的具有特定功能的有机整体”。机队中各架飞机上的同类部件，它们共同为了机队的正常运行而工作，从这个意义上讲，某一机队中所有的同类部件构成的整体可以看作一个系统，此时系统的目的或特定功能定义为机队飞行任务的正常执行。现实中，还有很多类似的系统，如某炼钢厂中所有的转炉构成的整体，当某一个转炉出现故障，会影响系统的目的，即整个生产计划的正常执行。在航空公司对飞机的日常维护工作中，为节约时间，最大限度的减少对正常运营的影响，当飞机上某部件出现故障，维修人员通常采用的维修方式是更换维修，即直接从部件储备库中取出新部件，来对故障部件进行替换。对于在航行过程中出现的故障，若该故障对正常运营的影响足够小，则在飞机返回基地后及时进行更换维修，否则需返航或选择附近机场备降以进行维修。如波音737NG机队所有飞机的轮胎，或空客A320机队所有飞机上的某类阀门，一旦在某时刻有一个甚至多个部件出现故障，必须及时进行更换，以使飞机恢复正常。即对于某一机队中所有的某类部件构成的系统，其中任何一个部件出现故障，都必须及时进行更换维修，否则，将影响机队飞行任务的执行，从这个角度考虑，本文的系统与串联系统的定义“组成系统的所有单元中任一单元失效就会导致系统失效的系统”［1］一致，可以认为是串联而成，本文对串联系统的定义进行拓展，引入“广义串联系统”的定义，定义内容见部分2.3。前面所说的系统符合广义串联系统的定义，分析此广义串联系统的可靠性，能够反映某一机队该类部件的整体可靠性状况，以及相应的故障情况。

组成飞机的部件有一些特殊性，其中一个重要的特殊性就是部件分为周转件和消耗件［2］。上述分类是按照部件维修性的不同进行的划分，具体含义如下：消耗件是指在使用过程中，发生故障后在技术上是不能进行修理的零部件（即只能一次性使用），或者是价格低廉不值得修理的航材，或者是修理费大于市场价70%的航材；周转件是指当出现故障后经修理可以恢复到可用状态的部件，航空维修中的周转件，大多为价格较高的部件，其种类虽然不多，但却占用大量资金。周转件的修理次数可以是无限的，因其具有可修复性，故处于可用或不可用的状态时都具有一定的经济价值。对于机队中的某类周转件，在机队刚投入运营时，它们都是全新的，但随着机队运行时间的推移，失效部件会通过维修更换为新部件，则导致同类周转件的使用时间、维修次数都会发生变化，这就使机队范围内该类周转件的整体故障情况的确定变得困难，而这正是本文希望解决的问题。

现有的可靠性研究大多针对直接进行修理或由消耗件构成的系统。陈贤等［3］，唐应辉等［4］，刘仁彬等［5］，张建龙等［6］，Soro等［7］假设部件失效时间或修理时间服从指数分布，利用指数分布的“无记忆性”，将系统的运行过程刻画为马尔科夫过程或更新过程，利用相关理论进行了可靠性指标的计算。Shu［8-9］，Jiang等［10-11］考察了n个完全相同部件构成的系统，并分析了部件失效后，使用完全相同部件更换和不同类部件进行更换的情况，得到了系统内部件的平均年龄最终趋于一个常数的结论。黄良沛等［12-13］在Shu等学者的工作的基础上，考察了系统内部件平均年龄稳态值、过渡时间与部件服役年龄期望值、标准差的关系，并对由多类部件构成的系统进行了可靠性分析。Bartholomew-Biggs等［14］，Ponchet等［15］分析维修策略问题时，直接运用了系统可靠性随运行时间而衰减的经验公式。高松等［16］，Kallen［17］在研究系统可靠性时，考虑了维修次数对系统可靠性的影响，均假设维修直接对系统进行，即假设系统可靠性指标与系统的维修次数存在函数关系。

本文是以航空为背景，在Shu［8-9］和黄良沛等［12-13］学者的工作基础上，引入周转件以及备件集合的概念，在给定构成系统的部件失效分布的前提下，研究各时刻系统内部件的构成，分析系统可靠性指标随系统运行时间的变化规律。备件集合的作用是当系统中的部件失效时，从备件集合中取出新部件更换至系统中，并储存修复的失效部件。系统可靠度以及系统部件更换率的定义及表达式见3.3部分。

2 问题描述

本文以周转件构成的系统为研究对象，当系统中的部件失效，使用备件集合中的部件更换至系统中，将失效部件修复后放入备件集合。已知周转件的失效时间分布、备件集合大小，对各时刻系统内部件使用时间和维修次数的构成建立数学模型，并计算分析系统可靠度、系统部件更换率随系统运行时间的变化规律。

2.1 假设

为描述由周转件所构成系统的部件更换率、系统可靠度变化情况，现做如下假设：（1）系统由n个完全相同的周转件构成，该系统符合广义串联系统的定义，同时在初始时刻购置m个备件以供更换，这m个备件与n个系统内的部件完全相同，在足够长的时间内，不再购置备件；（2）系统内每个部件失效都是随机独立事件，部件存放在备件集合期间不会失效；（3）部件失效类型为疲劳失效，且维修过相同次数（包括维修0次，即没有维修过）的部件的失效时间分布密度函数是相同的，均为截尾正态分布，失效后及时从备件集合中选择维修次数最少的新部件进行更换，更换下来的部件维修一次，变为新部件，放入备件集合；（4）新部件的失效时间期望和标准差只与维修次数有关，与部件失效前的使用时间无关，且部件可进行维修的次数足够多。

其中，0≤x＜∞，-∞＜μ＜∞，0＜σ＜∞。

2.2 符号定义

部件分为两部分：系统中的部件和备件集合中的部件。当系统中的部件失效，用备件集合中的部件进行更换，并将原失效部件维修一次后，放入备件集合。

记qkΔt（ti，j）为系统中，ti时刻，维修过j次并且使用时间为kΔt的部件占系统中部件总数的比例，其中k，i，j∈N，q0（ti，j）表示ti时刻用来更换失效部件的，维修过j次的部件占系统部件总数的比例，t0时刻比较特殊，此时系统刚开始运行，不存在失效部件，所以q0（t0，j）表示全体部件，rfail（ti，j）为系统中，ti时刻，维修过j次的失效部件占系统部件总数的比例；

记p（ti，j）为备件集合中，ti时刻，维修过j次的备件占系统部件总数的比例；

记备件集合的大小为α，它是一个常数，在初始时刻给定（这里令备件集合大小为一个比值，为备件集合中部件的数量与系统内部件的数量之比）；

假设部件失效时间服从正态分布，μ（j），σ（j）分别代表维修过j次部件所服从正态分布的期望和标准差，fj（x）表示维修过j次的部件的失效时间所服从正态分布的概率密度函数；

qmax指给定系统的系统部件更换率最大值。

不失一般性，假设时间从0时刻开始，时间离散，以Δt为时间间隔。

2.3 基本概念

本文在传统串联系统的定义基础上，引入如下概念：

定义1（广义串联系统）：当一个系统中的单元中只要有一个失效，该系统的功能就无法正常实现的系统为广义的串联系统。

2.4 各时刻，系统和备件集合的部件使用时间、维修次数构成的建模

本文将部件失效时间的期望μ、标准差σ和备件集合大小α作为已知，对每个时刻ti=iΔt，系统内未失效部件在部件使用时间kΔt和维修次数j两个维度上的占比qkΔt（ti，j），系统内失效部件的占比rfail（ti，j）以及备件集合内的部件在维修次数j上的占比p（ti，j）建立模型，以刻画系统内部件构成的变化规律。系统部件的失效情况用系统可靠度与系统部件更换率来刻画。

3 模型分析

3.1 系统和备件集合的部件使用时间、维修次数构成模型

在开始时，系统中所有部件的使用时间都为0，即在t0=0时，系统中，q0（t0，0）=1，rfail（t0，0）= 0；

备件集合中，p（t0，0）=α；在t1=Δt时，系统中：

备件集合中：

利用数学归纳法可得，在tn=nΔt，若n=2k，k∈Z+，系统中：

备件集合中：

n=2k-1，k∈Z+时的情形与n=2k，k∈Z+时类似，在此略去。

3.2 备件集合大小α

备件集合大小α为一个常数，作为输入参数在3.1部分出现。本部分研究α的确定方法。在部件失效时间分布已知的前提下，系统部件更换率的变化曲线就随之确定，可知系统部件更换率的最大值由部件失效时间分布的参数决定。利用全新件更换的系统部件使用时间构成模型［8］，基于数据模拟的方法，可以得到qmax与μ，σ的关系，用此qmax来近似周转件构成系统的部件更换率最大值。进一步在qmax的基础上确定备件集合大小α。分别构造长度为n的均值序列和相同长度的标准差序列，对每对均值、标准差，根据使用全新件更换的系统的部件更换率计算公式，计算出一段时间内的系统部件更换率，并进一步获得对应的系统更换率最大值，即得到如下三个序列：

μ（i），σ（i），qmax（μ（i），σ（i）），i=1，2，…，n，

将μ，σ作为自变量，qmax作为因变量，进行回归分析。取n=500，使用全新件更换的系统的运行时间取t=100，利用随机数生成器得到500个数对（μ（i），σ（i）），i=1，2，…，500，将每个数对（μ（i），σ（i））代入使用全新件进行更换的系统的部件更换率计算公式［8］，得到相应的qmax（μ（i），σ（i）），i=1，2，…，500。

Shu［8］的研究得出，使用全新件进行更换维修的系统，时刻tn的系统部件更换率为：

且q0（t0）=1，f（x）在［0，+∞］连续，再利用积分中值定理，可得：

其中：0≤ξ1≤Δt；

其中：Δt≤ξ2≤2Δt；

……；

利用数学归纳法，可求得：q0（tn）=f（ξn）Δt+o（Δt），

其中，（n-1）Δt≤ξn≤nΔt。

故q0（tn）在f（ξn）Δt最大时取得qmax，而f（x）在μ∈［（n-1）Δt，nΔt］时取得最大，用f（μ）近似代替f（ξn）的最大值，可得：

进而可知，qmax与呈线性相关关系，通过对数据的分析，印证了上述结论，进行回归拟合，可得回归方程为：

回归残差图如图1所示，回归统计量如表1所示。

图1 回归残差图

表1 统计量

综上，可使用回归方程（1）为基础来确定备件集合的大小，由于周转件构成的系统的部件更换率应略高于Shu等［8］所研究的系统，且现实中的系统部件更换率会出现误差，所以令备件集合大小α= 1.2qmax。

3.3 系统可靠度和系统部件更换率

可靠度定义为产品在规定的条件下和规定的时间内，完成规定功能的概率。按照定义，串联系统的可靠度为：

为避免出现随着系统内部件数目的增加，系统可靠度趋于零的情况，定义本文的系统可靠度如下：

失效率定义为工作到某时刻t时尚未失效（故障）的产品，在该时刻t以后的下一个单位时间内发生失效（故障）的概率。通常，串联系统的失效率定义为构成系统的各个部件失效率之和［1］，本文沿用Shu等［8］的概念，定义各个时刻失效部件总数占系统部件总数的比例为系统部件更换率。若系统失效率定义为各部件失效率的平均值，则系统失效率与系统部件更换率相等，因此系统失效率与系统部件更换率之间是倍数关系，在本文中，只讨论系统部件更换率，不讨论系统失效率。

4 计算结果

系统部件更换率是一个重要指标，它可以反映出，在给定部件的失效时间分布后，随着系统运行时间的增加，每个时刻有大比例的部件需要更换。我们假定没有维修过的全新部件失效时间服从正态分布N（μ0，σ0），且μ0=7，σ0=1。维修过的部件的失效时间分布与部件损坏前的使用时间无关，仅与维修次数有关，且部件失效时间的期望值、标准差与部件维修次数的关系分别为：

在上述假设下，当j足够大，μ（j）会小于0，但这里只讨论一定时间内的情况，不涉及μ（j）＜0的情况。为避免出现μ（j）＜0，可改变上面的函数形式。取Δt=1，t=300Δt=300，将σ0代入回归方程，可得qmax=0.3210，则α=1.2qmax=1.2×0.3210=0.3852≈0.40。代入3.1.1和3.1.2的递推式，得到系统可靠度和部件更换率随系统运行时间的变化情况如图2，3所示：

图2 系统可靠度随运行时间走势图

与使用全新件更换的情形不同，经过足够长的运行时间后，随使用时间增加，系统部件更换率有增加的趋势，这在直观上是可以理解的。从0时刻开始，随着系统运行时间的增加，会有小部分部件逐渐失效，而运行至部件失效时间的期望值附近，会有大量部件失效并更换为新部件，这就导致系统部件更换率的下降。随时间增加，将重复该过程。在一定运行 时间后，由于系统内部件的运行时间、维修次数构成多样化，导致系统部件更换率的振荡逐渐减弱，并趋于一个稳定值。但随着运行时间增加，系统内部件的维修次数逐渐增加，即部件的失效时间期望逐减小，标准差增大，即部件更容易失效，所以系统部件更换率会随运行时间而增大。系统可靠度的变化情况与部件更换率一致，仅走势与部件更换率相反，因为系统可靠度为部件可靠度的乘积，而系统部件更换率为和的形式，所以系统可靠度的变化幅度更大。

图3 系统部件更换率随使用时间走势图

另外，系统部件更换率的增长与备件集合的大小有关，图4反映了备件集合的大小不同，对系统部件更换率走势的影响。图4中的四条曲线，从上至下，依次为：α=0.4；α=0.6；α=0.8；α=1。其中Δt，t分别为1和350。

由图4可看出，随着备件集合的扩大，系统部件更换率的增长速度变缓。这是因为当α设置得足够大，即备件数量足够多，则备件集合中部件的维修次数总体上增加会较缓慢，系统的部件更换率的变化更接近使用全新部件更换的情形，α=+∞时，与使用全新件更换的系统一致。当α=1时，即配备与系统中部件数量相等的备件集合，该情况下，即使某时刻系统部件全部失效，也可以通过更换使系统恢复运行。但现实中极少发生系统所有部件全部失效的情况，而且周转件通常价格较高，一次性购置需要较多费用，存储大量备件也需要较高存储成本，所以，结合使用全新部件更换情形下的系统部件更换率的变化情况，根据系统部件更换率的最高值来确定备件集合大小是合理的。

图4 不同α对应的系统部件更换率走势对比图

在本文的假设下，系统运行一段时间后，系统部件更换率会一直上升，最终超过备件集合大小，这里不讨论这种情形，但可以通过逐渐增加备件集合大小来避免。

5 获得各时刻系统部件更换率的分布

上述计算结果，如系统部件更换率，实质上是系统部件更换率的期望值，但实际发生值会存在一定的偏差。为使计算结果更好的为实际所用，现进行仿真实验，以得到各时刻系统部件更换率的分布。设系统满足问题描述中的所有假设。各输入参数如下：

系统内的部件数为n=1000；

全新部件所服从正态分布的参数为μ（0）=15，σ（0）=2；

维修过i次的部件，所服从正态分布的参数为：

μ（i）=15-0.15×i，σ（i）=2+0.015×i，i∈Z+；

系统运行时间为t=400；

α=1.2×（0.0202-0.3008/2）=1.2×0.1706≈0.20，即备件集合有200个部件；

输出结果：每时刻系统部件更换率；

本实验通过生成部件的失效时间，得到各时刻的系统部件更换率。运行结果如下图所示，其中白色虚线为系统部件更换率期望值，实线区域通过500次离散仿真实验得到：

在每个时刻，有500个通过实验得到的系统部件失效率，利用这些数据可以得到每个时刻系统部件失效率的分布图，进而可以对某时刻系统部件失效率的可能值进行估计，或评估实际发生的系统部件失效率是否合理。某些时刻的系统部件失效率分布直方图如下所示：

图5 系统部件更换率仿真实验结果

图6 t=50；150；300；400时系统部件更换率的分布直方图

6 实例分析

分别以航空公司某机队的部件A和部件B为例，进行分析。这两类部件均为周转件，可进行多次维修。航空公司通常根据机队规模，采购一定比例的部件作为备件进行储备。根据专家经验，这两类部件的主要失效类型为疲劳失效。现对某机队所有的部件A和部件B的拆换记录进行分析。

以某机队所有飞机的部件A拆换数据作为统计分析对象，选取2008年1月1日至2011年12月31日的故障数据为对象，并结合该机型飞机相应时间段的飞行小时，进行统计分析（以月为横轴单位，且更换率经过变换处理），得到平均每架飞机每飞行小时的部件A的更换率如图7所示。

图7 部件A更换率示意图

为更好的观察趋势，现对部件A的更换率走势线进行三个月的移动平均，可得如图8所示的移动平均线。

图8 移动平均线

在图中显示的时间段内，部件A的更换率在开始阶段呈现大幅震荡，但随着时间推移，振荡幅度减弱，同时部件更换率有上升趋势。这与周转件构成系统的部件更换率的变化规律一致。部件A的更换率在2008年附近有大幅振荡是可以理解的，因为航空公司在2006和2007年两年引进了大批新飞机，根据第4部分的分析可知，当系统中使用时间较短的全新部件占较大比例时，系统部件更换率会有较大波动。该实例验证了模型的正确性。除上述部件A，我们还对其他失效类型为疲劳失效的部件进行了分析，结果都验证了模型结论的正确性。

部件B的更换率走势以及移动平均线如图9和图10所示，2008至2010年的波动较大，但波动呈减小趋势，在2010年后，部件B的更换率呈上升趋势，验证了结论的正确性：

6 结语

本文将一个机队范围内的一类相同周转件看作一个系统，通过建立每个时刻系统内部件的使用时间和维修次数的分布模型，对系统的可靠度、部件更换率随系统运行时间的变化规律进行了研究，得到了系统可靠度随系统运行时间的增加而降低、系统部件更换率随运行时间的增加而增加的结论，该结论与专业维修人员多年的经验一致，并得到了实际数据的验证，为专家经验提供了理论支撑。其他种类部件（如可进行有限次维修的部件，有最长使用时间限制的时控件等）构成的系统的可靠性分析应作为今后的研究方向，并考虑存在送修时间，即修复失效部件需要一定时间，无法立刻修复并补充至备件集合中，以及存在报废可能性，力求更贴合现实。此外，在本文的假设下，系统运行的初期，系统可靠性会出现大幅度振荡，这是由于所有部件从同一时刻开始运行，会有相当比例的部件在期望失效时间同时失效。随着系统运行时间的推移，失效部件被新部件替换，系统内部件的比例结构逐渐稳定，使得可靠性的振荡逐渐减小。若在不影响生产计划的前提下，将所有的部件分批次使用，则可以保证不会有那么多的部件同时失效，以达到减小系统可靠性初期振荡的目的。如何安排部件的梯次使用，也是未来研究的方向。

图9 部件B更换率示意图

图10 移动平均线

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Reliability Analysis of Repairable System Composed by Unlimited Repairable Parts

ZHU Shuo1，XU Bao-guang1，LIU Shi-qian2
（1.Institute of Policy and Management，Chinese Academy of Sciences，Beijing 100190，China；2.Air China Technics，Air China Limited，Beijing 101312，China）

System often faults due to parts failure during operation.After replacement，values of system reliability indexes change，which is caused by the change of age distribution of system parts.And system reliability analysis method is studied.System is regarded as a set of all the same parts in a range，and it is assumed that system was composed of repairable parts which are all the same.Mathematical model of system parts is built，and results of system reliability descending with running time，system replacement ratio ascending are gotten.These results，which are important to the spare parts purchasing，cascade utilization of parts and maintenance policy making，are illustrated by actual data from the airline company.

reliability；system reliability；system replacement ratio；unlimited repairable parts

V267；C934

A

1003-207（2014）07-0067-09

2012-04-24；

2013-03-28

祝硕（1988-），男（汉族），山东菏泽人，中国科学院科技政策与管理科学研究所，硕士，研究方向：安全管理.