彭 成，王平波，刘旺锁

(海军工程大学，湖北武汉 430033)

0 引 言

水声混响信号的统计特性表明，它具有显著的尖峰脉冲特性和厚拖尾现象。这与机载雷达的地面散射干扰非常相似。因此主动声呐抗混响可以借鉴Alpha稳定(Sα)分布在雷达杂波抑制[1]中的应用方法[2]。

Alpha稳定分布[3]又称为非高斯稳定分布，最初由利维(Levy)于1925年提出。但直到1993年，Shao和 Nikias的论文[4]才将对称 Alpha稳定分布(S Sα分布，一类Sα分布特例)模型应用于描述具有尖峰冲激、厚拖尾的噪声。目前大多数信号处理的研究都假设噪声或干扰是服从高斯分布[5,6]。然而实际干扰的统计特性并不总是符合高斯假设的，它们常具有显著的尖峰，如雷达地面散射干扰、主动声呐混响干扰、音频信号噪声、远程电话噪声等。对于这些干扰信号，基于高斯假设显然是不恰当的。而Sα分布模型，能取得较好的处理效果。

目前信号处理中都使用标准参数系表征Sα分布。因此本文从Sα分布模型的定义和性质出发，讨论了易混淆的三种参数系的关系，进而实现了标准参数系下Sα分布随机变量的产生。通过该方法产生不同参数组合的随机序列，并将对应的概率密度函数(Probability Density Function, PDF)与理论对PDF进行对比分析，验证Sα分布随机变量产生方法的正确性。

1 Alpha稳定分布的定义及性质

αS分布是广义的高斯分布，它比高斯分布具有更广泛的适用性。通常通过特征函数来给出αS分布的定义。αS分布具有三种不同的参数系[7]表征方法，即标准参数系S、S1参数系和S2参数系。而标准参数系下的定义是最常用的。

定义 1[3]：如果随机变量X存在参数0 ＜α≤2,γ≥ 0 ,−1 ≤β≤1和实数μ使其特征函数如式(1)所示ϕ(t)=

则称随机变量X服从S参数系下的αS分布。式(1)中，参数α称为特征指数，决定分布脉冲特性的程度；β称为对称参数，用它来确定分布的斜度；σ称为分散系数，它是分散程度的度量；参数μ称为位置参数。然而在标准参数系下，当α=1，β≠0时，其特征函数在随机变量的取值上均不连续。

定义 2[3]：S1参数系的产生是为了消除S参数系特征函数的不连续性，其特征函数如式(3)所示ϕ(t)=

其中μ1与S参数系的μ具有如下式的关系

这个特征函数在α、β的所有值均联合连续，但有一点不足是其μ1不再具有位置参数原有的意义，而其他三个参数与S参数系下对应参数相同。

定义 3[3]：S2参数系主要是利于理论分析和推导，其特征函数具有如式(5)所示的形式ϕ(t)=

其中参数α和μ与标准参数系的对应参数相同，参数β2和σ2与标准参数系下的参数变换关系如下：

当1≠α时

当1=α时

特征函数是研究αS分布的一个有用工具，利用它可以得出稳定分布的很多性质，下面只给出本文需要的两个基本性质：

性质1：若X∼S(α,σ,β,μ)，a是一个实常数，则

性质2：若X∼S(α,σ,β,μ)，b是一个非零的实常数，则

2 Alpha稳定分布的产生方法

S1参数系的作用是为了消除S参数系在α=1,β≠ 0 时的不连续性；而S2参数系的主要作用是便于理论推导和分析。因此通过S1、S2参数系与S参数系间的转换关系，就能产生出S参数系下符合αS分布的随机变量及画出PDF图。

(2) 然后再根据S和S2两个参数系间的转换关系，推导出标准参数系下服从S(α,β, 1, 0)分布的随机变量Y的生成方法。

当α≠1时，首先定义

其中Mα,β代表了参数σ2与σ间的变换关系；Nα,β代表了参数β2与β间的变换关系，用以替代S2参数系产生方法中的V0。于是Y=

当α=1时，M =π/2，β2=β ，有

生成的Y即为标准参数系下服从Y∼S(α,β,1,0)分布的随机变量。

(3) 再利用αS分布的两个基本性质，可得

这里，随机变量Z即满足Z∼S(α,β,σ,μ)。

如此即产生了标准参数系下满足四个参数规定范围内的、服从任意参数值组合的αS分布随机变量。

3 Alpha稳定分布序列的生成

由于Sα分布的特征函数与概率密度函数具有如下的对应关系：

而S参数系下特征函数在α=1、β≠0时不连续，因此采用直接数值积分法[8]来计算概率密度函数值。首先对S1参数系下的特征函数进行数值积分，克服S参数系下的不连续性，然后利用S参数系与S1参数系下参数间的变换关系及αS分布的两个基本性质，即可计算出S参数系下的概率密度函数值。

通过运用上述αS分布随机变量生成方法，分别产生三组不同参数组合的 1000点稳定分布随机变量序列。同时利用产生的随机变量序列通过直接数值积分法计算出概率密度函数值，并与统计PDF进行性能分析比较，如图1~3所示。

图1 S(1.8,0,1,0)分布序列及PDFFig.1 The sequence and PDF of S(1.8,0,1,0)

图2 S(1.5,0.8,4,1)分布序列及PDFFig.2 The sequence and PDF of S(1.5,0.8,4,1)

图3 S(1.2,0.5,2,1)分布序列及PDFFig.3 The sequence and PDF of S(1.2,0.5,2,1)

由图1(a)~3(a)可以看出，αS分布随机变量随着特征指数α的减小，其尖峰脉冲性越显著。而由图1(b)~3(b)可知，本文方法产生的随机变量序列通过直接积分法得到的PDF与Sα分布的统计PDF拟合性能很好，验证了本方法的正确性。

图4 Sα(0,1,0)分布的PDF拖尾Fig.4 The PDF tails of Sα(0,1,0)

图4绘出了不同α取值下的Sα分布PDF拖尾比较，可进一步演示验证Sα分布的特性：α取值越小，其拖尾越厚，说明大样本发生概率越高，非高斯脉冲性越强；反之，α取值越大，其拖尾越薄，说明大样本发生概率越低，非高斯脉冲性越弱。

4 结束语

本文详细介绍了如何在标准参数系下产生αS分布随机变量的方法，即利用S1、S2参数系与S参数系参数间的转换关系来产生随机变量，克服了S系不便于理论分析和推导的缺点。

通过产生三组不同参数组合的Sα分布随机变量序列，对产生的序列直接积分求PDF并与Sα分布的统计PDF进行性能比较，结果拟合非常好，验证了产生方法的正确性和有效性。本文的随机变量产生方法能产生S Sα分布随机变量，这为后续主动声呐抗混响信号处理研究能提供准确的仿真数据基础，是值得深入研究的。

参考文献

[1] 吕晓蕊. Alpha稳定分布的模型仿真及参数估计[D]. 武汉: 华中科技大学, 2008.LÜ Xiaorui. Modeling simulation and parameter estimation of alpha stable distribution[D]. Wuhan: Huzhong University of Science and Technology, 2008.

[2] 王汗青. 基于对称 Alpha稳定分布的水声信号处理技术研究[D].武汉: 海军工程大学, 2012.WANG Hanqing. Study on underwater acoustic signals processing based on symmetrical alpha stable distribution[D]. Wuhan: Naval University of Engineering, 2012.

[3] 邱天爽, 张旭秀, 李小兵, 等. 统计信号处理: 非高斯信号处理及其应用[M]. 北京: 电子工业出版社, 2004.QIU Tianshuang, ZHANG Xuxiu, LI Xiaobing, et al. Statistical signal processing: non-gaussian signal processing and its application[M]. Beijing: Electronic Industry Press, 2004.

[4] Shao M, Nikias C L. Signal processing with fractional lower order moments: stable processes and their applications[J]. Proceedings of the IEEE, 1993, 81(7): 986-1010.

[5] 朱埜. 主动声呐检测信息原理[M]. 北京: 海洋出版社, 1990.ZHU Ye. Information principles of active sonar signal detection[M]. Beijing: Ocean Press, 1990.

[6] Whalen A D. Detection of signals in noise[M]. New York: Academic Press, 1971.

[7] Rafal Weron. On the Chambers-Mallows-S-tuck method for simulating skewed stable random variables[J]. Statistics & Probability Letters, 1996, 28(2): 165-171.

[8] Nolan J P. An algorithm for evaluating stable densities in zolotarev’s parameterization[J]. Mathematical and Computer Modelling,1999, 29(3): 229-235.