梁晓佳，李丹，张力丹，周菊玲

(新疆师范大学数学科学学院，新疆乌鲁木齐830054)

χ2分布的有关性质研究

梁晓佳，李丹，张力丹，周菊玲

(新疆师范大学数学科学学院，新疆乌鲁木齐830054)

在三大重要分布中，χ2分布的讨论相对较少。本文采用了特征函数法推导其密度函数，探讨参数对密度曲线的影响及其数字特征。

χ2分布;特征函数法;数字特征

1.用特征函数法求密度函数

设X的密度函数为f(x)，其特征函数定义为φ(t)=E(eitx)，设

α＞0，β＞0，则称X服从参数分别为α、β的伽马分布［1］。

则服从伽马分布的随机变量X的特征函数为

2.密度函数的性质

当n＞2时，曲线有单峰，令g'(x)=0时，即f(x)在x=n－2(n＞2)达到极大值。

由此推知:

x∈(0，n－2)，f'n(x)＞0;

x∈(n－2，∞)，f'n(x)＜0.

显然fn(x)在(0，n－2)单调增，在(n－2，∞)上单调减，它在(0，∞)有唯一的极大值:

下面讨论当n变化时，对χ2n分布密度函数的影响。

通过观察χ2n的密度曲线，可发现n＞2时，n增大恒引起M(n)的减小，揭示这些性质的内部原因，是下文我们要讨论的内容(以下讨论中取n＞2)［2］。

Γ函数的对数微商公式为

另外，由级数的收敛性知K(n)在n＞2时连续，

3.χ2分布及其对应分布族的数字特征

1阶矩E(X):

或者

［1］蔡择林.分布密度函数的几种常见推导方法［J］.魅力中国，2009(19):89－93.

［2］刘晓鹏，刘坤会.F分布密度函数之性质［J］.应用概率统计，2005(3):304－314.

［3］茆诗松.高等数理统计［M］.北京市:高等教育出版社，1998.

(责任编辑 赵冰)

Research on the Nature of the χ2－Distribution

LIANG Xiao－jia，LI Dan，ZHANG Li－dan，ZHOU Ju－ling
(Department of Mathematical Sciences，Xinjiang Normal University，Urumqi 830054，China)

Among the three major distribution，the discuss of the χ2－distribution is relatively small.This paper uses the method of characteristic function to derive its density function and investigates the effect of parameters on the density curve，including its digital signature.

distributed;characteristic function method;digital characteristics

O29

A

1008－3715(2014)02－0121－04

2013－02－16

2013－2014年度新疆师范大学研究生科技创新项目《运用统计方法实现S－P法的改进》(20131234)

梁晓佳(1989—)，女，江苏睢宁人，新疆师范大学数学科学学院研究生，研究方向:概率论与数理统计。