赵圣涛 武金仙

立体几何中的二面角问题一直是高考的热点，向量法是解决该问题常用的方法. 该方法简单实用，便于掌握，但我们常在判断二面角大小与其两半平面法向量的夹角是相等还是互补时产生困难，原因在于难以准确判断出法向量的方向. 我们常采用直观观察的方法，这对空间想象力弱的同学来说效果并不好，也有失数学学科的严谨性. 笔者结合自身教学经验探索出了一个准确判断两法向量方向的方法.

法向量方向的判断方法

在判断二面角大小和其两法向量夹角的关系时，我们常采用如下方法：

已知二面角α-l-β的大小为θ，向量n1，n2分别为半平面α，β的法向量，若法向量n1，n2均指向二面角的内部（或外部），则θ=π-〈n1，n2〉（图1）;若法向量n1，n2一个指向二面角的内部，另一个指向二面角的外部，则θ=〈n1，n2〉（图2）.

在应用该方法时，对法向量方向的判断是个难点，本文将给出如下判断方法：

定理：已知二面角α-l-β，半平面α的法向量为n1，在棱l上任取一点O，在半平面β内任取一点A（点A不在棱l上），构造辅助向量 ，当n1· >0时，法向量n1指向二面角的内部;当n1· <0时，法向量n1指向二面角的外部（简记为“内正外负”）.

证明：根据数量积定义，若n1· >0，则〈n1， 〉∈0， ，因为对平面α，其法向量的方向只有两个，所以，易知此时法向量n1的方向指向二面角的内部（如图1）.

若n1· <0，则〈n1， 〉∈ ，π，易知此时n1的方向指向二面角的外部（如图2）. 同理，可判断出半平面β的法向量n2的方向，当n1，n2方向确定后，即可求出二面角.

该方法的优点在于可准确判断出每一个法向量的方向，在实际应用中，辅助向量 并不需要专门构造，只需从已求得的向量中选取即可，这也是该方法简便实用的一个地方.

评注：定理中，在半平面β内选取辅助向量 ……