靳颖

原苏教版教材中对最小公倍数的认识是通过分别找出两个数的倍数，比较两个数中共同的倍数生成公倍数概念。新的苏教版教材安排了用小长方形去铺大正方形的活动，在探索如何正好铺满大正方形、其中有何规律的过程中揭示公倍数的意义。教材前后变化的意图是什么？我们在教学中应如何充分体现编者的这种意图？带着这样的问题，笔者进行了公倍数教学的思考与尝试。

情境 为辅助学生理解概念而生

教材例1安排了用小长方形纸片去铺大正方形的活动，这种安排显然是为了让学生通过铺纸片活动来建立小长方形的长、宽与大正方形边长之间的倍数关系，从而为探究出两个数的公倍数创造条件。对于学生而言，为什么铺纸片，铺纸片要达到什么目的，均不得而知，处理不好，就会出现动手操作与数学思维的脱节。

本节课的开始部分，教材为学生提供了两幅生活中常见的情境：一是小长方形瓷砖所铺成的较大的长方形墙砖；二是相同的小邮票所连成的一版较大的长方形。目的是唤醒学生的生活经验，既让学生感受到数学与生活的联系，能用已有的因数与倍数知识解释生活现象，更是为公倍数的建立找到坚实的表象基础，使新知识的学习在原有的知识结构中找到生长点，以利于把公倍数知识有效地纳入原有的知识结构中。在感知生活中图形拼摆的基础上，教材出示由长4厘米、宽3厘米的小长方形邮票铺成了边长是12厘米的正方形，但不能铺成边长是16厘米的正方形；通过“你知道为什么吗？”把生活现象转化成数学问题，使学生的动手操作有了思考的方向性，便于发挥学生的主观能动性。

活动 为学生有效学习概念而设

数学在本质上研究的是抽象了的东西，而这些抽象了的东西来源于现实世界，是被人抽象出来的，真正的知识是来源于感性经验的，是通过直观和抽象而得到的[1]。所以，在教学公倍数这个概念的抽象过程中，通过以下四个丰富而有序的数学活动，引导学生在归纳、概括的基础上建立起公倍数的概念模型。

首先，唤醒生活经验。通过瓷砖与邮票两例生活中常见的现象，使学生初步感知大小图形的有序排列及可能蕴含的规律。

其次，是解释生活现象。首先是安排具体的操作活动，让学生在实践中直观地感受铺满和铺不满现象，形成初步的感知，引发数学思考，并在操作的基础上形成初步的表象，实现由动作思维向表象思维的最初转化。其次是引导学生用已有数学知识解释这种现象，通过算式与图形的结合，从数学的角度解释了铺满、铺不满的原因，并能借助倍数与因数的知识进行归纳与说明，有效地培养了学生的数学思维意识与能力，实现了生活问题的数学化。

再次，小长方形铺大正方形一般规律的探索。在 “你还能铺成边长是多少厘米的正方形”的问题的引导下，学生利用刚才的实践经验，借助已经形成的表象感性地一一找出大正方形的边长，并在师生的交流中感悟其中的规律，初步奠定了公倍数的概念模型。

最后，任意小长方形铺成大正方形的规律探索。追问：任意大小的长方形都能铺成较大的正方形吗？学生既可以利用已有的表象经验在头脑中实际“铺”一次来说明，又可以利用已经形成的共同倍数的知识直接解释。这一问题旨在引导学生的思维由具体化向一般化转变，把一个具体单一的长4厘米、宽3厘米的小长方形转向了具有普遍意义的一般长方形，实现了由具体向一般的转化，同时也是由具体的长方形铺正方形向形式化的公倍数概念理解的转变，是公倍数概念抽象的重要一步。

思想 为学生长效发展而为

重视数学思想的积淀与形成，是现代数学教学的重要目标之一。本节课教学重在引导学生经历“数学化思想”的形成过程。数学化是弗赖登塔尔提出的数学教学的基本原则之一，其含义是数学地组织现实世界的过程，“笼统地说，人们在观察现实世界时，运用数学方法研究各种具体现象，并加以整理组织”[2]。

在例1教学公倍数形成过程中，突出体现了引导学生“用数学”的意识。首先是让学生主动用因数与倍数知识解释生活中的现象，通过激活学生生活经验、动手铺小长方形及对铺满与铺不满两种现象的探究，使学生理解了生活与数学的关系。其次是用刚刚形成的认识——大正方形的边长同时是小长方形长和宽的倍数才能正好铺满，来继续探索“这样的长方形纸片还能铺满边长是多少厘米的正方形？”又一次在“用数学”中建构了公倍数的模型，进而形成公倍数概念。

例2是找6和9公倍数的教学，是公倍数概念的运用，不能错误地认为这是相互独立的两个部分。即运用例1公倍数概念的意义来指导找出两个数公倍数的方法，所以例2的教学应当给学生创设探索的空间，在学生独立完成之后再让他们说说自己的想法，再次体现出“用数学”的思想。其思路大致是：分别写出6和9的倍数，再比较两者的相同之处找出公倍数，这其实就是概念意义的直接运用。也有学生想到从9的倍数中找出6的倍数，就是它们的公倍数，这种比较简捷的找法是公倍数概念的间接运用。

为了提高学生应用数学解决问题的意识和能力，形成数学化的思想，例2教学中没有直接出示例题，而是变成了美术老师画宣传画的实际问题的应用，让学生在理解题意寻求解决问题办法的过程中领悟到其实质是求6和9两个数的公倍数，并把美术老师遇到的实际问题转化成数学问题。这种处理不仅使学生经历了数学化的过程，还可以为抽象的公倍数求法提供直观的表象解释。

原苏教版教材的设计，直接由抽象的倍数概念过渡到抽象的公倍数概念，学生缺少对概念形成过程的探索活动及表象的支撑，只是知道了抽象的公倍数概念，很难灵活有效地解决生活中的实际问题，只注重“知识与技能”单一教学目标的达成，不利于学生数学思维的培养，进而形成数学化思想。新教材的编排，充分体现了数学课程标准的新理念：“强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力，情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。”[3]而数学课程标准的修订稿又提出了“四基”的目标，更加突出了“数学活动经验”与“数学思想”的重要价值。本节课的教学实践也证明了数学活动对于学生数学学习的重要性，既是落实“双基”的有效依托，又是形成数学思想的可靠保证。

当我们再次回头审视苏教版新教材编写意图时，是否认识到了编者为学生长远发展所作得努力？“长远是就目标而言。无论一个人长大以后在不在数学领域内学习或工作，通过数学学习习得的解决问题策略、思维方式、思想方法及运用工具的能力都将发挥重要作用。”[4]如何实现学生的长远发展，是我们一线教师需要长期实践和思考的问题。

参考文献

[1] 唐彩斌.用历史的眼光看数学教育的发展——访东北师范大学孔凡哲教授.小学数学教师，2009（12）.

[2] 鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程.上海：上海教育出版社，2009.

[3] 中华人民共和国教育部.数学课程标准（实验稿）.北京：北京师范大学出版社，2001.

[4] 孙晓天.小学数学要注重长远与长效.人民教育，2009（23）.

【责任编辑：陈国庆】