高飞

数学课程标准无论是实验稿，还是修订稿，都把动手实践作为学生数学学习的一种重要方式列举出来。美国数学家哈尔莫斯指出，学习数学唯一方法是“做”数学。由此可见，动手实践对于小学生数学学习的重要意义。儿童的智慧在指尖上。教育心理学研究指出，儿童的数学学习往往是从“动作”开始的，经历“动作思维—表象思维—抽象思维”的发展过程。而通过物化操作活动，将感知与动作联系起来，能促进思考，从而提高感知的效果。鉴于以上原因，动手操作这种学习方式被教师广泛地选用于课堂教学，成为数学“概念”“规则”等知识技能教学的首选方式。但纵观课堂上操作活动，是否都能达到理想的教学目标，实现最初选择的教学愿景呢？答案当然是否定的。动手操作作为一种促进学习的有效手段，是外因，而外因只有通过内因才能起作用。因此，能否诱发学生的内在需求是衡量操作活动是否有效的重要条件。那些没有诱发学生需求的操作活动，因为他们不知道“为什么操作”、“操作有什么用”，所以导致思维不能积极参与其中。当然，没有思维深度参与的任何学习活动，都是高耗低效的，甚至是无效的活动。鉴于“反例”有助于吸取教训，所以笔者把亲身经历的一次失败的“操作活动”过程及其重构方法记录下来，以供大家批评。

“点到直线的距离”是学生后续学习平面图形的高的直接基础。教学时，我预设了如下操作活动：一是要求学生过直线外点A，画出已知直线的垂直线段AO（如图1）；二是要求学生在原有直线上，再任意找出B、C、D、E四点分别与A点连接起来（如图2）；三是要求学生测量线段AO、AB、AC、AD、AE的长度（要求用毫米作单位），并问：“你有什么发现？”笔者希望通过以上层层递进的操作活动，让学生在充分感知“点到直线的‘垂直线段”的基础上，在测量与比较中发现“从直线外的一点到这条直线的所有线段中垂直线段‘最短”的结论，从而帮助学生理解“点到直线的距离”的概念内涵。

图1 图2

图3

但无情的课堂现实彻底击碎了我的教学愿景。“活动一”整体上完成不错。但到了“活动二”问题就花样百出，有的学生因为没有听懂老师的要求，无从下手；有的学生分别过B、C、D、E四点，又画出四条垂直于已知直线的线段（如图3）；还有的学生“按图索骥”，虽然画了、测了，但因为不知道为什么这样做，所以“发现”也成了泡影。如此下来，一场“热热闹闹”的操作活动，有意识参与并真正获得感知与体验的学生不足30%。无疑，这样的教学是失败的。当时，我简单地归因于学生“太不认真”，愤愤地拂袖而去……

课下，待我“气”消“云”散之后，仔细回味课上“三次”活动，蓦然发现：每次操作活动都体现了教师的“意志”，哪一个是学生自觉自愿开展的？！因为没有参与操作活动的心理需求，所以学生被动参与，注意力分散，甚至消极怠工。最关键的是不能调动学生思维的积极性，操作活动“失败”在所难免！通过反思，找到了问题的症结，据此进行改进。以下是在另一个班级“同环节”重构的教学过程：

第一步，过A点画出已知直线的垂直线段AO。（如图1，指出垂足并用O表示。）

指名板演，其他学生独立完成之后，突出教学垂直线段的两个端点A、O。

通过强调垂直线段的两个端点A、O，让学生把过A点画已知直线的垂直“线段”和以往的“直线”区别开来。

第二步，在图1的基础上，教师任意取出B、C、D、E四点，并分别与点A连接起来（如图2），提出：比一比，线段AO、AB、AC、AD、AE有什么不同？

学生借助图形，通过观察与比较，得出：线段AO垂直于已知直线；线段AO最短。此时，教师抓住学生生成的结论“线段AO最短”指出：垂直于已知直线的线段AO最短，这是我们用肉眼观察到的结果，如果要确信这个规律，就需要——“验证！”学生异口同声。

由原来的教师“命令”、学生“执行”改为教师示范，既不影响学生后续探究的效果，又可以避免发生理解上的歧义现象。更重要的是，能够直观地引导学生在观察的基础上作出合理的猜想，从而为下一步操作验证做好心理准备。

第三步，每位学生在练习纸上，利用原有的图形“照样子”画出线段AB、AC、AD、AE。并放手让学生通过操作验证“猜想”。

案例中，在教师一句“垂直于已知直线的线段AO最短，这是我们肉眼观察到的结果，如果要确信这个规律，就需要——”的启示下，刚刚产生的“猜想”随机转化成了每个学生头脑中一个个大“？”，从而使“验证”的愿望油然而生，“欲罢不能”！因为有了操作验证的心理需求，所以在已有的图形上画出线段，并通过各种操作活动验证“猜想”，就是学生自觉自愿的事情。

据察，此环节学生摩拳擦掌、行动迅速、思维活跃。每个学生都全身心地投入到验证“猜想”的活动中来。课堂生成精彩纷呈，创新火花不断闪现。除了选择常规方法“测量”验证以外，还有学生创造性地使用“绳子比”的方法：把绳子一端固定在点A上，（借助图2）以线段AO为标准，依次“比较”每条线段的长度。在最后一条线段比较结束的同时，每个学生的头脑中也形成了清晰的、动态的比较表象，进而顺利抽象并得出“从直线外一点到已知直线的所有线段中垂直线段‘最短”的结论。至此，“点到直线的距离”的概念建构“呼之欲出”，水到渠成。

【责任编辑：陈国庆】

数学课程标准无论是实验稿，还是修订稿，都把动手实践作为学生数学学习的一种重要方式列举出来。美国数学家哈尔莫斯指出，学习数学唯一方法是“做”数学。由此可见，动手实践对于小学生数学学习的重要意义。儿童的智慧在指尖上。教育心理学研究指出，儿童的数学学习往往是从“动作”开始的，经历“动作思维—表象思维—抽象思维”的发展过程。而通过物化操作活动，将感知与动作联系起来，能促进思考，从而提高感知的效果。鉴于以上原因，动手操作这种学习方式被教师广泛地选用于课堂教学，成为数学“概念”“规则”等知识技能教学的首选方式。但纵观课堂上操作活动，是否都能达到理想的教学目标，实现最初选择的教学愿景呢？答案当然是否定的。动手操作作为一种促进学习的有效手段，是外因，而外因只有通过内因才能起作用。因此，能否诱发学生的内在需求是衡量操作活动是否有效的重要条件。那些没有诱发学生需求的操作活动，因为他们不知道“为什么操作”、“操作有什么用”，所以导致思维不能积极参与其中。当然，没有思维深度参与的任何学习活动，都是高耗低效的，甚至是无效的活动。鉴于“反例”有助于吸取教训，所以笔者把亲身经历的一次失败的“操作活动”过程及其重构方法记录下来，以供大家批评。

“点到直线的距离”是学生后续学习平面图形的高的直接基础。教学时，我预设了如下操作活动：一是要求学生过直线外点A，画出已知直线的垂直线段AO（如图1）；二是要求学生在原有直线上，再任意找出B、C、D、E四点分别与A点连接起来（如图2）；三是要求学生测量线段AO、AB、AC、AD、AE的长度（要求用毫米作单位），并问：“你有什么发现？”笔者希望通过以上层层递进的操作活动，让学生在充分感知“点到直线的‘垂直线段”的基础上，在测量与比较中发现“从直线外的一点到这条直线的所有线段中垂直线段‘最短”的结论，从而帮助学生理解“点到直线的距离”的概念内涵。

图1 图2

图3

但无情的课堂现实彻底击碎了我的教学愿景。“活动一”整体上完成不错。但到了“活动二”问题就花样百出，有的学生因为没有听懂老师的要求，无从下手；有的学生分别过B、C、D、E四点，又画出四条垂直于已知直线的线段（如图3）；还有的学生“按图索骥”，虽然画了、测了，但因为不知道为什么这样做，所以“发现”也成了泡影。如此下来，一场“热热闹闹”的操作活动，有意识参与并真正获得感知与体验的学生不足30%。无疑，这样的教学是失败的。当时，我简单地归因于学生“太不认真”，愤愤地拂袖而去……

课下，待我“气”消“云”散之后，仔细回味课上“三次”活动，蓦然发现：每次操作活动都体现了教师的“意志”，哪一个是学生自觉自愿开展的？！因为没有参与操作活动的心理需求，所以学生被动参与，注意力分散，甚至消极怠工。最关键的是不能调动学生思维的积极性，操作活动“失败”在所难免！通过反思，找到了问题的症结，据此进行改进。以下是在另一个班级“同环节”重构的教学过程：

第一步，过A点画出已知直线的垂直线段AO。（如图1，指出垂足并用O表示。）

指名板演，其他学生独立完成之后，突出教学垂直线段的两个端点A、O。

通过强调垂直线段的两个端点A、O，让学生把过A点画已知直线的垂直“线段”和以往的“直线”区别开来。

第二步，在图1的基础上，教师任意取出B、C、D、E四点，并分别与点A连接起来（如图2），提出：比一比，线段AO、AB、AC、AD、AE有什么不同？

学生借助图形，通过观察与比较，得出：线段AO垂直于已知直线；线段AO最短。此时，教师抓住学生生成的结论“线段AO最短”指出：垂直于已知直线的线段AO最短，这是我们用肉眼观察到的结果，如果要确信这个规律，就需要——“验证！”学生异口同声。

由原来的教师“命令”、学生“执行”改为教师示范，既不影响学生后续探究的效果，又可以避免发生理解上的歧义现象。更重要的是，能够直观地引导学生在观察的基础上作出合理的猜想，从而为下一步操作验证做好心理准备。

第三步，每位学生在练习纸上，利用原有的图形“照样子”画出线段AB、AC、AD、AE。并放手让学生通过操作验证“猜想”。

案例中，在教师一句“垂直于已知直线的线段AO最短，这是我们肉眼观察到的结果，如果要确信这个规律，就需要——”的启示下，刚刚产生的“猜想”随机转化成了每个学生头脑中一个个大“？”，从而使“验证”的愿望油然而生，“欲罢不能”！因为有了操作验证的心理需求，所以在已有的图形上画出线段，并通过各种操作活动验证“猜想”，就是学生自觉自愿的事情。

据察，此环节学生摩拳擦掌、行动迅速、思维活跃。每个学生都全身心地投入到验证“猜想”的活动中来。课堂生成精彩纷呈，创新火花不断闪现。除了选择常规方法“测量”验证以外，还有学生创造性地使用“绳子比”的方法：把绳子一端固定在点A上，（借助图2）以线段AO为标准，依次“比较”每条线段的长度。在最后一条线段比较结束的同时，每个学生的头脑中也形成了清晰的、动态的比较表象，进而顺利抽象并得出“从直线外一点到已知直线的所有线段中垂直线段‘最短”的结论。至此，“点到直线的距离”的概念建构“呼之欲出”，水到渠成。

【责任编辑：陈国庆】

数学课程标准无论是实验稿，还是修订稿，都把动手实践作为学生数学学习的一种重要方式列举出来。美国数学家哈尔莫斯指出，学习数学唯一方法是“做”数学。由此可见，动手实践对于小学生数学学习的重要意义。儿童的智慧在指尖上。教育心理学研究指出，儿童的数学学习往往是从“动作”开始的，经历“动作思维—表象思维—抽象思维”的发展过程。而通过物化操作活动，将感知与动作联系起来，能促进思考，从而提高感知的效果。鉴于以上原因，动手操作这种学习方式被教师广泛地选用于课堂教学，成为数学“概念”“规则”等知识技能教学的首选方式。但纵观课堂上操作活动，是否都能达到理想的教学目标，实现最初选择的教学愿景呢？答案当然是否定的。动手操作作为一种促进学习的有效手段，是外因，而外因只有通过内因才能起作用。因此，能否诱发学生的内在需求是衡量操作活动是否有效的重要条件。那些没有诱发学生需求的操作活动，因为他们不知道“为什么操作”、“操作有什么用”，所以导致思维不能积极参与其中。当然，没有思维深度参与的任何学习活动，都是高耗低效的，甚至是无效的活动。鉴于“反例”有助于吸取教训，所以笔者把亲身经历的一次失败的“操作活动”过程及其重构方法记录下来，以供大家批评。

“点到直线的距离”是学生后续学习平面图形的高的直接基础。教学时，我预设了如下操作活动：一是要求学生过直线外点A，画出已知直线的垂直线段AO（如图1）；二是要求学生在原有直线上，再任意找出B、C、D、E四点分别与A点连接起来（如图2）；三是要求学生测量线段AO、AB、AC、AD、AE的长度（要求用毫米作单位），并问：“你有什么发现？”笔者希望通过以上层层递进的操作活动，让学生在充分感知“点到直线的‘垂直线段”的基础上，在测量与比较中发现“从直线外的一点到这条直线的所有线段中垂直线段‘最短”的结论，从而帮助学生理解“点到直线的距离”的概念内涵。

图1 图2

图3

但无情的课堂现实彻底击碎了我的教学愿景。“活动一”整体上完成不错。但到了“活动二”问题就花样百出，有的学生因为没有听懂老师的要求，无从下手；有的学生分别过B、C、D、E四点，又画出四条垂直于已知直线的线段（如图3）；还有的学生“按图索骥”，虽然画了、测了，但因为不知道为什么这样做，所以“发现”也成了泡影。如此下来，一场“热热闹闹”的操作活动，有意识参与并真正获得感知与体验的学生不足30%。无疑，这样的教学是失败的。当时，我简单地归因于学生“太不认真”，愤愤地拂袖而去……

课下，待我“气”消“云”散之后，仔细回味课上“三次”活动，蓦然发现：每次操作活动都体现了教师的“意志”，哪一个是学生自觉自愿开展的？！因为没有参与操作活动的心理需求，所以学生被动参与，注意力分散，甚至消极怠工。最关键的是不能调动学生思维的积极性，操作活动“失败”在所难免！通过反思，找到了问题的症结，据此进行改进。以下是在另一个班级“同环节”重构的教学过程：

第一步，过A点画出已知直线的垂直线段AO。（如图1，指出垂足并用O表示。）

指名板演，其他学生独立完成之后，突出教学垂直线段的两个端点A、O。

通过强调垂直线段的两个端点A、O，让学生把过A点画已知直线的垂直“线段”和以往的“直线”区别开来。

第二步，在图1的基础上，教师任意取出B、C、D、E四点，并分别与点A连接起来（如图2），提出：比一比，线段AO、AB、AC、AD、AE有什么不同？

学生借助图形，通过观察与比较，得出：线段AO垂直于已知直线；线段AO最短。此时，教师抓住学生生成的结论“线段AO最短”指出：垂直于已知直线的线段AO最短，这是我们用肉眼观察到的结果，如果要确信这个规律，就需要——“验证！”学生异口同声。

由原来的教师“命令”、学生“执行”改为教师示范，既不影响学生后续探究的效果，又可以避免发生理解上的歧义现象。更重要的是，能够直观地引导学生在观察的基础上作出合理的猜想，从而为下一步操作验证做好心理准备。

第三步，每位学生在练习纸上，利用原有的图形“照样子”画出线段AB、AC、AD、AE。并放手让学生通过操作验证“猜想”。

案例中，在教师一句“垂直于已知直线的线段AO最短，这是我们肉眼观察到的结果，如果要确信这个规律，就需要——”的启示下，刚刚产生的“猜想”随机转化成了每个学生头脑中一个个大“？”，从而使“验证”的愿望油然而生，“欲罢不能”！因为有了操作验证的心理需求，所以在已有的图形上画出线段，并通过各种操作活动验证“猜想”，就是学生自觉自愿的事情。

据察，此环节学生摩拳擦掌、行动迅速、思维活跃。每个学生都全身心地投入到验证“猜想”的活动中来。课堂生成精彩纷呈，创新火花不断闪现。除了选择常规方法“测量”验证以外，还有学生创造性地使用“绳子比”的方法：把绳子一端固定在点A上，（借助图2）以线段AO为标准，依次“比较”每条线段的长度。在最后一条线段比较结束的同时，每个学生的头脑中也形成了清晰的、动态的比较表象，进而顺利抽象并得出“从直线外一点到已知直线的所有线段中垂直线段‘最短”的结论。至此，“点到直线的距离”的概念建构“呼之欲出”，水到渠成。

【责任编辑：陈国庆】