祝祯祯，卢 涛

（淮北师范大学 数学科学学院， 安徽 淮北 235000）

伪相容连续Domain局部基的若干性质

祝祯祯，卢 涛

（淮北师范大学 数学科学学院， 安徽 淮北 235000）

本文引入了相容定向集的容元，容集，以及伪相容连续Domain的局部基的概念，在此基础上讨论了伪相容连续Domain中容元的局部基的特点，并对伪相容连续Domain的局部基的其他相关性质进行了探讨.

容元；伪相容连续Domain；局部基

引言和预备

理论为计算机程序设计语言语义学奠定了基础，而连续 Domain在Domain理论中占有极其重要的地位.随着连续Domain理论在计算机科学和经典数学领域逐渐得到应用，人们对与连续Domain相关理论的研究兴趣日益浓厚，基于此，本文引入了伪相容连续Domain与伪相容连续Domain的局部基的概念，进而得出许多性质与结论，从而对理论进行更深层次的推广.

设(P,≤)是偏序集，P的非空子集A称作定向集，若对于∀a,b∈A,∃c∈A使得a≤c且b≤c.P称作定向完备偏序集，若P的每个定向子集都有上确界.

↓x={y∈p:y≤x}，x=∨D表示x是定向集D的上确界.

定义 1.1 设(L,≤)是偏序集，如 果（i）D是定向集；（ii）∃p∈L,使得 D⊆↓p={x∈L:x≤p}；则称 D为 L的相容定向集,↓p称为 D的容集，p称为相容定向集D的容元.

易证，↓x是 P的相容定向集.

定 义 1.2[1]设(L,≤)是偏序集，若对于 P的每个相容定向集 D，∨↑D在 L中存在，则称 L为相容Domain.

1 主要结果

定义 1.3 设 L为相容 Domain，称 L为伪相容连续 Domain，若 L满足：

ⅰ）任意 x∈L，↓x={y∈L:y≤x}是 L中的相容定向集；

ⅱ）任意 x∈L，x=∨↑x.

定义 1.4 设 L为相容 Domain，x∈L，若相容定向集 Dx⊆↓x，且∨Dx=x，则称 Dx是 x的局部基.

定 义 1.5 设L为伪相容连续Domain，x∈L，令 X(x,L)=min{|Dx|:Dx：是p的局部基}，则称 X(x,L)为伪相容连续 Domain L中x的特征.令X(L)=sup{X (x,L):x∈L}，称其为 L的特征.

命题 1.1 设 L为伪相容连续 Domain，若对于相容定向集 D的某个容集↓p，supD=sup↓p，则 D是点p的局部基.

证明因为supD=sup↓p，又L为伪相容连续Domain，所以supD=p，又D⊆↓p，由局部基定义即证.

命题 1.2 设 L为伪相容连续 Domain，若↓p是若干相容定向集 Di的容集，则∪Di是 p的局部基.

证 明 因为 Di⊆↓p，所以∪Di⊆↓p，又 sup {Di}=p，由定义即证.

命题 1.3 设 L为伪相容连续 Domain，则以下命题等价；

ⅰ）每个相容元都存在局部基；

ⅱ）p是相容定向集 D的相容元，supD=p；

ⅲ）每个元素都存在局部基.

命题 1.4 设 L为相容 Domain，a∈L，若 a有局部基，则↓a是 a的最大局部基.

易证↓a是 a的局部基，设 Da为 a的任意局部基，则 Da⊆↓a，得证.

命题 设 L为相容 Domain，a∈L，若 a有局部基，则{a}是 a的最小局部基，即 X(a,L)=1.

命题 1.5 设 Da，Db分别是 a，b的局部基，若a≤b，则 Da⊆↓Db.

证明 因为 a≤b，由局部基定义，a=∨Da≤∨Db=b，而任意 a1∈Da，a1≤∨Da≤∨Db， 所以 存 在b1∈Db，使得 a1≤↓b1，故 Da⊆↓Db.

命题 1.6 设 L为伪相容连续 Domain，a∈L，且 D⊆↓a,则 D是 a的局部基当且仅当∀c≤a，∃d∈D使得 c≤d.

证明 必要性：∀c≤a，由 L为伪相容连续Domain知存在 x，c≤x≤a，又 D是 a的局部基，所以 a∨D，c≤∨D，从而存在 d∈D，使得 c≤d.

充分性 先证 D相容定向，因为 D⊆↓a，只需证 D定向，而∀x1,x2∈D,x1≤a,x2≤a,由条件∃d∈D，使得 x1≤d,x2≤d，故 D定向，又 a=∨↓a≤∨D≤a，所以 D是 a的局部基.

命题 1.7 设 L为伪相容连续 Domain，a∈L，且 D⊆↓a,则 D是 a的局部基当且仅当 D是相容定向集且∀x∈L，若 a x，则∃d∈D使得 d x.

证明 必要性：显然 D是相容定向集，又 D是局部基，所以 a=∨D，若 a x，即 a=∨D x，则∃d∈D使得 d x，否则矛盾.

充分性 证明 a=∨D即可，由 D⊆↓a则∨D≤a.若 a ∨D，则由条件，∃d∈D，使得 d ∨D，矛盾.故 a=∨D，所以 D是 a的局部基.

定义 1.6 设 L为相容 Domain，a∈L，D⊆L是相容定向集，则称D是a的一个相容定向上确界集，若 a=∨D且∀d∈D,d≤a.

命 题 1.8 设 L为伪相容连续 Domai，a∈L，D⊆L是相容定向集，则：

ⅰ）D是a的一个相容定向上确界集当且仅当a=∨D且 D⊆↓a；

ⅱ）若 a存在相容定向上确界集，则最大集为↓a.

证明 只需证ⅰ），设 D是 a的一个相容定向上确界集，则 a=∨D显然；对于任意的相容定向上确界集 D*，L为伪相容连续 Domain，∨D*=a=∨↓a，任意 d∈D*，d≤a，d∈↓D*，D*⊆↓a.

命题 1.9 设 L为相容 Domai，则 a为伪相容连续 Domain当且仅当任意 a∈L，a有局部基.

必要性 L为伪相容连续 Domain，任意 a∈L，存在相容定向集 D，a=∨D，a=∨↓a=∨D，由命题1.8知 D⊆↓a，得证.

充分性 任意 a∈L，a有局部基 D，a=∨D，D⊆↓a，a≤∨↓a，又∨↓a≤a，得证.

2 结论

本文在引入了相容定向集的容元，容集，伪相容连续 Domain与伪相容连续 Domain的局部基的基础上，对其相关性质与结论进行了探讨，而伪相容连续 Domain还具有很多的特征与性质，包括伪相容连续 Domain之间的映射性质，以后将作进一步研究与探讨.

〔1〕李娇，徐晓泉.相容 连续 Domain 的序同 态扩张[J]. 江西师范大学学报 （自然科学版），2011,35（4）：373-374.

〔2〕G.Gierz，Continuous Lattices and Domains[M]. New York：Cambridge University Press，2003.

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〔6〕伍秀华，李庆国.半连续格的刻画和映射[J].数学研究与评论，2007,27（3）：655-658.

O153.1

A

1673-260X（2014）08-0005-02

安徽省自然科学研究项目（KJ2012Z358）；国家自然科学基金项目（11171156）