郭大勇， 成佳颐

(清华大学机械工程系，北京 100084)

在计算机辅助几何设计(computer aided geometric design,CAGD)和计算机图形学(computer graphics,CG)领域中，常利用参数化的曲线曲面来进行交互式设计。当在表示曲线或曲面的时候，如果想要保持曲线曲面的形状，很重要的一点就是基函数的选取。因此，以Bernstein多项式作为基函数的Bézier曲线曲面模型有着广泛的应用[1]。但是该模型的不足之处在于，若需要根据需求调整Bézier曲线曲面的形状，就必须对原始控制点进行调整，这不便于实际使用。为了改善这种情况，一种可行的方法就是对Bernstein基函数添加形状参数，使得在原始控制点不变的情况下，实现对Bézier曲线曲面的调整。

近些年来，这种Bézier曲线的扩展方法大致分成三类[2]，分别为利用三角多项式思想;利用代数双曲思想和利用多项式思想。其中，利用多项式思想的Bézier曲线扩展的研究成果如下：文献[3-6]分别给出了Bézier曲线的二次，三次，四次和五次含参扩展。文献[7-10]给出了Bézier曲线的n次含参扩展，其中文献[7-9]直接给对应的基函数表达式，而在文献[10]中，作者利用de Casteljau算法将4次含参Bernstein基函数递推到了n次。

本文根据二项式((1-t)+t)n-1的展开系数，引入含参的正系数矩阵Ann，在此基础上推导出了同阶含参的A-Bernstein基函数表达式，该表达式与Bernstein基函数具有类似的性质，对应A-Bézier曲线不仅有Bézier曲线的特性，而且可以通过改变参数来实现对曲线的调整。另外，通过对正系数矩阵Ann进行调节，亦可以实现对A-Bézier曲线的调整，使曲线的调控更加灵活。

1 正系数矩阵的推导及几何解释

定义1.当aij≥0(i,j=1,2,…,n)时