王成武

(淮阴工学院 建筑工程学院，江苏 淮安 223001)

作为近代以来发展的一门新型基础学科，岩石力学具有很强的应用性和实践性。其应用范围涉及与岩石工程相关的如采矿、土木建筑、水利水电、地质、石油等众多行业领域。在各种复杂应力状态下，岩石材料的屈服和破坏规律理论，称之为岩石的强度理论。[1]自该学科产生以来，对岩石强度准则或破坏判据的研究一直是岩石力学研究的热点问题之一。

在岩石力学发展的100多年中，很多科学家提出了许多有价值的强度准则。但是到目前为止，一种“放之四海而皆准的”带有普遍适用性的强度准则还没有被提出，不同的强度准则都有各自的优缺点、应用范围和适用条件。[2]所以，在工程实践中，应该针对不同的岩石问题，分析不同强度准则的适用性和精确度，这样才能保证研究的客观性和科学性。

1 几种常见的强度理论的表述及分析

1.1 Mohr一Coulomb强度理论。

1.1.1基本表述。

1773年，法国科学家库伦提出的一种“内摩擦”准则认为，剪切破坏是岩石的主要破坏形式，岩石的强度由两部分构成，一是岩石自身抵抗剪切的黏结力c；二是剪切破坏面上由法向应力引起的摩擦阻力σtanφ。1900年，莫尔(Mohr)将该理论从双向应力状态推广到三向应力状态。平面中的剪切强度准则为：

τf=c+σtanφ

(1)

1.1.2特点讨论。

1.1.2.1莫尔-库伦理论表述了剪切面上τ与该面上正应力的关系，对作为散体材料的土，是比较合理的。但是岩石的破坏往往不是剪切破坏，故莫尔库伦准则更适用于土质材料而不是岩石材料。

1.1.2.2莫尔-库伦准则假设中主应力σ2对强度没有影响，且它的强度包线常常假设为直线，在低围压时，不会引起较大的误差，但是当应力水平很大时，可能会引起比较大的误差。

图1 莫尔—库伦强度准则的屈服面

1.1.2.3当用莫尔库伦准则作为塑形模型的屈服准则时，其屈服面及在平面上轨迹有导数不连续的角点(如图1所示)，这在数值计算中不够方便。

1.2 Tresca准则。

1.2.1基本表述。

Tresca强度准则实际上是古典强度理论中的最大剪应力理论。它是Tresca于1864年针对金属材料所提出的一个屈服准则。可用下式表示：

σ1-σ3=2kt

(2)

其中，σ1、σ3分别是最大和最小主应力，kt为材料常数。

在土力学中，这一准则只有对饱和粘土的不排水强度指标的计算才适用，它在π平面的断面是一个正六边形，如图2所示。

对于岩土材料，人们将这个强度准则推广成广义的Tresca准则，可表示为：

(σ1-σ3)=2kt+αtIt

(3)

其中，αtIt反应平均主应力的影响。该公式定义的破坏面在主应力空间是一个正六棱锥体。

图2 Tresca强度准则在平面的轨迹

1.2.2 特点讨论。

1.2.2.1 该准则表达形式比较简单，在已知单元体主应力的情况下，判别便捷。

1.2.2.2 Tresca准则只有对内摩擦角φ=00时的岩土材料才适用，应用范围比较窄；而且该准则没有反应平均主应力的影响，与实际岩土类材料屈服破坏的情况不符。

1.2.2.3 不管是Tresca准则还是广义Tresca准则，其在π平面上的投影都是正六边形，角点处导数不连续，在应用于数值计算时会带来不便。[4]

1.3 Mises准则。

1.3.1 基本表述。

Mises实际上是古典强度理论中从能量角度出发研究材料强度条件的形变能理论，实质上也是一种以八面体剪应力判断破坏的理论。它可以用下式表示：

(4)

其中，km是材料常数。Mises准则在主应力空间是一个圆柱面，在π平面上的轨迹是一个圆周。如图3所示。

图3 Mises准则的屈服面

1.3.2 特点讨论。

1.3.2.1 Mises准则在π平面上的投影是一个圆周，导数是处处连续的，因此在数值计算中选用Mises准则作为屈服准则是有利的。

1.3.2.2 Mises准则没有反应平均主应力对强度的影响，所以，和前面提到的Tresca准则一样，只可以在饱和粘土的不排水强度近似计算中使用。

1.4 Drucker-Prager准则。

1.4.1 基本表述。

为了克服Mises准则没有反映平均主应力对强度的影响的缺陷，Drucker和Prager提出了反映平均主应力对强度的影响的广义Mises准则，即Drucker-Prager准则，具体的表达式为：

(5)

其中，αm是材料常数。Drucker-Prager准则在主应力空间是一个正圆锥体的面，在π平面上的轨迹仍是一个圆周。如图4所示。

图4 Drucker-Prager准则的屈服面

1.4.2 特点讨论。

1.4.2.1 Drucker-Prager准则在π平面上的轨迹是一个圆，因此在数值计算中得到广泛运用。但如果该准则的参数选取不当,可能导致预测与试验结果之间有较大差异。因为该准则中的两个材料常数不是直接由试验确定的，而是通过别的参数进行转化计算得到的。

1.4.2.2 Drucker-Prager准则考虑了平均主应力对强度的影响，更适用于岩土类材料，应用范围更广。

1.4.2.3 Drucker-Prager准则在应力空间的子午面上，抗剪强度和平均应力之间也是线性关系，因此不能反映高应力水平下强度的非线性。

1.5 双剪应力强度理论。

1.5.1 基本表述。

F=τ13+bτ12+β(σ13+bσ12)-c=0

(当τ12+βσ12≥τ23+βσ23时)

(6)

F=τ13+bτ23+β(σ13+bσ23)-c=0

(当τ12+βσ12≤τ23+βσ23时)

(7)

其中，b、c、β为三个材料常数，该强度理论在主应力空间中的极限面是一个不等边开口的棱锥体表面。

1.5.2 特点讨论。

1.5.2.1 不仅充分考虑了两个较大主应力或中主应力的影响，还考虑了净水压力对屈服或破坏的影响，对岩土类材料较为适用。

1.5.2.2 在参数符合一定条件时，广义双剪应力公式可以与一些经典的强度理论一致。如b=β=0，式(6)(7)则变成了Tresca强度准则表达式，即变成最大剪应力强度理论；如b=0，b=-sinφ'，c=c'cosφ'，则变成了莫尔—库伦强度理论的表达式，调整参数b和β可以变成各种形式，故这种理论的应用范围较广。

1.5.2.3 双剪应力强度理论的屈服曲面具有棱角，导数不连续，不便于塑形应变增量方向的确定和数值分析。

1.6 脆性断裂理论(格里菲斯强度理论)。[6]

1.6.1 基本表述。

Griffith研究发现，即使是陶瓷、玻璃这些宏观上看起来比较完整致密的脆性材料，在其内部微观上也会有许多细小的裂隙存在。材料受力时在细小裂隙的尖端往往存在拉应力集中的现象，当拉应力增长超过材料局部抗拉强度的时候，就会引起这些脆性材料的断裂。[6]1921年，Griffith通过对长度为2c的椭圆形裂隙的扩展研究，在一定假设条件的基础上推导出在双向压缩条件下脆性材料的裂纹扩展准则，也就是Griffith强度准则。

图5 Griffith准则裂缝扩展破坏机理简图

Griffith方程为：

(8)

1.6.2 特点讨论。

1.6.2.1 玻璃、岩石等脆性材料的单轴抗压强度一般为抗拉强度的8-10倍，这与格里菲斯方程的结论较为吻合，这同时也反映了脆性材料拉压不等的基本力学特性。

1.6.2.2 Griffith准则是基于对脆性材料的研究而提出来的，因而只适用于研究脆性岩石的破坏。而对其他类型的岩石材料，莫尔-库伦强度准则的适用性要强于Griffith准则。

1.6.2.3 该准则主要描述的是岩石的张性裂缝扩展控制性破坏。但是对裂隙被压闭合，抗剪强度增高解释不够；该准则可以作为裂隙扩展的条件，描述材料的宏观破坏不足，其实用性意义不高。

1.7 Hoek-Brown强度准则。

1.7.1基本表述。

20世纪60年代以来，世界各国提出了适用于岩石的经验强度公式。如：完整岩块的Bieniawski经验强度准则、Hoek-Brown经验强度准则、Balmer经验强度准则；节理化岩体的Yudhbir经验强度准则、广义Hoek-Brown经验强度准则、Balmer经验强度准则的改进；各向异性岩体的结构面的抗剪强度准则、结构面的强度准则等。

这其中，Hoek-Brown经验强度准则及其后来的改进准则则被工程界所普遍接受，该准则除了能够适用于完整均质岩石材料外，还适用于节理化岩体和非均值岩体等，在岩石工程中得到广泛采用。[7]其表达式为：

(9)

其中，σ1、σ3为岩体破坏时最大、最小主应力；σc是岩石的单轴抗压强度；m、s为经验参数。

1.7.2 特点讨论。

1.7.2.1 Hoek-Brown准则是应用最广的强度准则之一，它可以模拟岩体破坏的非线性特点，而且也考虑了应力状态、岩石强度、结构面等因素的影响。

1.7.2.2 该准则对岩体破坏面上正应力对强度的影响有很好的反映，同时也能对岩块的破坏机理进行阐述。与摩尔-库仑强度准则一样，Hoek-Brown准则也没有考虑中主应力σ2对强度的影响，因此该准则与真三轴实验的结果有所出入。

1.7.2.3 该准则还弥补了莫尔-库伦准则在岩体受拉区的不足,考虑了最小主应力σ3、低应力区、拉应力对强度的影响,因而更符合岩块的破坏特点。[8]但是对具有显著非线性的强度曲线，该准则则不能描述。

1.8 统一强度理论。

1.8.1 基本表述。

俞茂宏基于双剪强度理论在1991年提出了一种将系列线性准则统一于一体的强度理论——统一强度理论的理论公式。[9]经过几十年的不断发展，统一强度理论的包容性更强、适用性更广，目前已经在众多领域得到推广运用。该理论以扁平正交八面体为基本力学模型，同时采用2个数学建模方程。[10]虽然数学表达形式比较简单，但是内涵却十分丰富。是一种与以往各种单一强度理论或破坏准则完全不同的系列强度理论。[11]

(10)

(11)

1.8.2 特点讨论。

1.8.1 统一强度理论不仅在各种线性准则之间建立了联系，现有的各种线性破坏准则都可以视为是统一理论的特例；统一理论不能统一非线性准则，但是可以线性逼近它们。

1.8.2 统一强度理论的参数是线性的，和莫尔-库伦准则的参数相同。统一理论阐述了有些准则所不能说明的中主应力效应问题，还能进一步充分发挥材料的强度潜能。[10]该理论也更符合岩土类材料的性质。[12]

1.8.3 统一理论还可以产生出在单剪理论之内，双剪理论之外以及介于单剪理论和双剪理论之间的一系列新的准则。[13]

2 关于强度理论的展望

岩石强度理论是研究岩石在复杂应力条件下发生屈服和破坏规律的理论。一百多年来，岩石力学强度理论获得了长足的进步。到目前为止，提出的模型数以百计；研究强度的学者以及关于强度方面的文献数以万计；学习、应用强度理论的人则要以千万计。对于已有的岩石强度理论的分类也是多种多样，如：从理论提出的时间、含有参数的个数、线性与否、极限面与边界、理论的功能等等。[14]随着岩石应力应变关系数学模型研究的发展，人们认识到强度只不过是应力应变的一个特殊阶段，因而强度理论被纳入岩石的本构模型之中。[5]

如何针对实际岩石工程中不同的问题，去合理地选择不同的岩石强度理论(屈服准则、破坏准则,或材料模型)显然是至关重要的。现实中，选择什么样的强度理论也就决定了会得到什么样的研究、设计、计算结果。所以正确的认识强度理论、正确的选择强度理论变得比计算过程要更加重要。随着岩石工程领域研究、应用、实验验证等方面的不断发展，相信在未来的岩石力学研究和工程应用中,需要有、也会有更多的复杂应力状态强度实验结果以及更精确的强度理论出现。[12]

[1]李广信.高等土力学[M].北京:清华大学出版社, 2004.

[2]蔡美峰.岩石力学与工程[M].北京:科学出版社, 2002.

[3]高红.岩土材料屈服破坏准则研究[D].武汉:中国科学院武汉岩土力学研究所,2008．

[4]周小平,钱七虎,杨海清. 深部岩体强度准则[J].岩石力学与工程学报，2008(24):117-123．

[5]俞茂宏. 强度理论百年总结[J].力学进展,2004(34):529-561．

[6]吕霁,崔颖辉，等. 岩石力学强度理论的研究现状分析[J].北方工业大学学报,2010(22):73-78．

[7]石祥超,孟英峰，等.几种岩石强度准则的对比分析[J]. 岩土力学，2011(32):209-216．

[8]吴黎辉.岩体经验强度准则研究 [D].西安:长安大学,2004．

[9]俞茂宏.线性和非线性的统一强度理论[J].岩石力学与工程学报，2007(4):662-669．

[10]俞茂宏，等. 统一强度理论的发展及其在土木水利等工程中的应用和经济意义[J].建筑科学与工程学报,2007(3):25-42．

[11]蔡朋.高应力条件下岩石力学试验及强度准则研究[D].武汉:长江科学院,2010．

[12]吕则欣,陈华兴.岩石强度理论研究[J].西部探矿工程,2009(1):5-8．

[13]尤明庆.岩石的强度和强度准则[J].岩石力学与工程学报,1998(17)：73-78．

[14]俞茂宏，等.强度理论的发展和展望[J].工程力学,2004(12):1-20.