钮健平

《数学课程标准》（2011年版）明确指出：“在数学课程中，应当注重发展学生的运算能力。”小学数学教学的一项重要任务是培养学生正确、快速的计算能力，这对进一步学习和今后的生活与工作有着十分重要的作用。但学生在实际学习中，计算差错多，准确率低，经常出现这样那样的错误，严重干扰着小学生数学学习的兴趣以及教师的正常教学，我们不能简单地把这种错误归咎于学生“粗心”“马虎”等，其实学生在计算中出现错误的原因是多方面的。为了弄清楚小学生在学习乘法计算中常见的错误有哪些，其产生的原因是什么，我们根据苏教版小学数学教材的有关内容，编制了乘法计算诊断性测试卷，对我校三、四年级（每个年级各抽3个班共150人）进行测试。每次测试都是在学生学完该项目的三四周后进行。本文将从分析学生在不同类型的乘法计算产生的错误入手，研究其产生的原因，以及学生认知上的一些特点。

一、学生解不同类型乘法计算题的错误情况

通过测试我们发现，不存在学生对某种类型的题目绝对不会做的情况。通过教学，学生对乘法运算法则均能基本掌握，但是在不同类型的题目中，学生所出现的错误率的差异是明显的，也就是说，某类型的题目对学生来说，难度较大，较容易出错，其结果见表1、表2。

表1 一个因数是一位数的乘法计算中的错误情况

[题型＼&错误率%＼&题型＼&错误率%＼&A类：不进位＼&2.0＼&D类：一个因数中间有0的＼&6.9＼&B类：一次进位＼&2.8＼&E类：一个因数末尾有0 的＼&4.6＼&C类：多次进位＼&9.5＼&]

（表中的错误率指该项错误次数占该类总测试题次的比率。）

表2 因数是两位数的乘法计算中的错误情况

[题型＼&错误率%＼&A类：多次进位的＼&15.1＼&B类：多次进位并含有7、8、9口诀的题＼&20.5＼&C类：因数中间有0的＼&10.4＼&D类：两个因数末尾都有0 的＼&8.6＼&]

从以上两表中我们可以看到，学生在学习乘法过程中错误出现增多的一些发展趋势：

1.因数是两位数的乘法，错误率增高。

2.有两次以上进位的乘法计算题的错误率明显高于不进位或只有一次进位的乘法计算题（见表1）。

3.有多次进位并含有7、8、9口诀的乘法计算题的错误率高于多次进位但不含有7、8、9口诀的乘法计算题（见表2）。

4.因数中间有0 的计算题的错误率高于因数末尾有0 的计算题。

二、学生乘法计算的错误类型及其分析

根据对试卷的分析，我们将学生在乘法计算中的错误进行分类，列入表3（表中的错误率指该项错误次数占该类总测试题次的比率）。

表3 乘法计算中的错误类型

[错误类型＼&因数是一位数的乘法＼&因数是两位数的乘法＼&错误次数＼&错误率%＼&错误次数＼&错误率%＼&粗心错误＼&66＼&27.7＼&112＼&15.9＼&加法及进位错误＼&69＼&29＼&303＼&42.9＼&乘法口诀错误＼&61＼&25.6＼&159＼&22.5＼&位数错误＼&10＼&4.2＼&66＼&9.3＼&0 的错误＼&11＼&4.6＼&5＼&0.7＼&加法与乘法混淆＼&5＼&2.1＼&37＼&5.2＼&其他错误＼&16＼&6.7＼&24＼&3.4＼&总计＼&238＼&706＼&]

从表中我们可以看到，小学生学习乘法计算中的错误类型与学习除法计算题中的错误类型有惊人的相似之处（对于除法计算我们也做了类似的研究），学生在学完每项内容的三四周后，出现最多的错误仍然是粗心错误和积累性错误（积累性错误是指与先前所学内容的混淆而产生的错误，表3中的加法及进位错误即属于这类错误），这两项错误的总和占了三、四年级学生学习不同位数乘法时所犯错误次数总和的一半以上。这种情况进一步说明了在乘除法计算的教学中，在把握好教学重点和难点的同时，要将粗心错误和积累性错误放在重要的地位上来处理。这类错误在乘除法计算中，其表现形式既有相同之处，又有不同之处。下面我们就一些主要的错误类型分别进行分析和研究。

1.粗心错误。（1）忘记在横式中写得数；（2）抄错题或抄错得数；（3）当因数有0 时，在列式计算后，忘记将0 移下来等。粗心错误在教师、家长及学生本人看来，既不认为是一种严重的错误，却又感到头痛。其实，经常出现粗心错误的学生往往不是由于认知结构上存在什么问题，而是心理品质、行为习惯上存在着某种偏差引起的。儿童心理学认为小学生感知事物的特点是比较笼统、粗糙、不具体的，往往只注意到一些孤立的现象，看不出事物的联系及特征，因而头脑中留下的印象缺乏整体性。学生计算时，往往只感知数据、符号本身而较少考虑其意义，对相似、相近的数据或符号容易产生感知失真，造成差错。如一些学生常把“+”看作“×”，把“56”写成“65”，把“109”当成“169”，等等。要克服这类错误，应在教学活动中强化训练，如加强审题、估算和检查等程序，使学生养成认真、细心做作业的良好习惯。

2.加法及进位错误。乘法计算中的加法运算有两种思维过程：一种是内隐的思维过程，即在两个因数相乘时，将口诀运算中十位数上的数目记在头脑中，当两个因数中高一位数相乘以后，再加上这个数；另一种思维与普通加法运算的思维过程相同，是外显的，即乘法运算中最后一次运算——加法运算。学生较多的错误发生在内隐的思维过程中，如：

[ 6 3 9

9 7

4 4 7 3

5 8 5 1

6 2 9 8 3][×]

之所以出现这种情况，可能出于两方面的原因：其一是从儿童思维发展进程看，内隐的思维出现得较晚，可以认为是一种更高层次的思维过程；其二是这种思维过程中，有一个短时记忆的过程，这种短时记忆在受到干扰时极易遗忘。乘法口诀不太熟练的学生出现这类错误较多，这主要是当他们在做一个因数与下一个数位上的数相乘时，需要投入较多的注意力，这时原来进位的数往往就不清晰了。此外，在初学竖式乘法时，对乘法运算的规则不太熟悉，也需要投入较多的注意力，这也是使得短时记忆消失的原因之一。因此，在学习竖式乘法的初级阶段，可以用笔将进位的数记下，以减少错误，同时需要加强口诀乘法的练习，在熟练的基础上，这种错误是可以逐渐减少的。endprint

3.口诀错误。在竖式乘法中，口诀错误所占的比例还是比较高（见表3），尤其在6、7、8、9口诀中错误率明显增高，见表4。

表4 口诀错误情况

[口诀顺序＼&1＼&2＼&3＼&4＼&5＼&6＼&7＼&8＼&9＼&错误率%＼&0＼&0＼&2.5＼&6.5＼&2.5＼&13.7＼&15.1＼&32.4＼&27.5＼&]

（错误率指各项口诀错误次数占总口诀错误次数的比率）

从表3、表4我们可以看出，口诀错误在三、四年级学生学习乘法运算时经常发生，尤其是在含6、7、8、9口诀乘法运算中错误发生的频率更高，这种情况与除法运算中的口诀错误比率大致相当。在调查中我们了解到，一些学生在初学乘法时，按顺序往往可以准确无误地背出乘法口诀，但顺序一打乱，错误便出现了，出现这种情况主要是由于当按顺序背诵时，学生往往采用连加的方法进行背诵，而且记忆的成分比较大，这在初始阶段有助于学生对乘法的理解和背诵口诀，但在学习的后阶段，应经常采用打乱顺序的口算乘法训练形式，帮助学生提高口诀乘法的熟练程度，达到自动化，以减少运算过程中口诀乘法的错误。

4.有关“0”的错误。常见错误有：

（1）当因数末尾有“0” 时，在列式计算中忘记将0移下来。此类错误已列入粗心错误。

（2）当因数中间有“0” 时，学生漏乘0，这类错误的产生主要是由于学生对“0” 的理解不够。

“0” 的问题在乘法计算教学中是被作为难点来教的，因此错误的比例不高，但仍要在教学中强调对“0” 概念的理解，对经常出现此类错误的学生加强个别辅导。

5.加法和乘法混淆错误。有些学生受到加法定势的影响，在用一个因数各位乘另一个因数的各位时，时而出现加法计算，如：

[×] [ 4 6

4 2

9 2

1 0 4

1 1 3 2]

这类错误主要出现在初学阶段，学生对乘法计算过程还未熟练掌握，往往受到前置学习的加法运算的影响所致。

以上我们分析了学生学习乘法计算题中容易发生的错误类型，我们认为产生错误的原因是多方面的，有些是受学生思维发展水平和心理因素（感知粗略、注意失调、记忆还原、表象模糊、情感脆弱、强信息干扰、思维定势副作用等）发展的制约；有些是由于某些不良的学习习惯引起的；还有些是受熟练程度的影响；还有些可能是教材的因素，如苏教版分小段编排，三年级上册第七单元一位数乘多位数安排了七个课时左右的乘法教学，三年级下册第四单元两位数乘两位数安排了五个课时左右乘法教学，四年级上册教学除法计算时，教材很少编排乘法计算题，直到四年级下册才安排多位数乘法教学，这样安排时间跨度太大，不利于学生计算能力的培养。提升学生的计算能力是一个比较漫长、耐心细致的过程，在教学实践中，教师可以针对具体的学习情况在以上几个方面改进教学。endprint

3.口诀错误。在竖式乘法中，口诀错误所占的比例还是比较高（见表3），尤其在6、7、8、9口诀中错误率明显增高，见表4。

表4 口诀错误情况

[口诀顺序＼&1＼&2＼&3＼&4＼&5＼&6＼&7＼&8＼&9＼&错误率%＼&0＼&0＼&2.5＼&6.5＼&2.5＼&13.7＼&15.1＼&32.4＼&27.5＼&]

（错误率指各项口诀错误次数占总口诀错误次数的比率）

从表3、表4我们可以看出，口诀错误在三、四年级学生学习乘法运算时经常发生，尤其是在含6、7、8、9口诀乘法运算中错误发生的频率更高，这种情况与除法运算中的口诀错误比率大致相当。在调查中我们了解到，一些学生在初学乘法时，按顺序往往可以准确无误地背出乘法口诀，但顺序一打乱，错误便出现了，出现这种情况主要是由于当按顺序背诵时，学生往往采用连加的方法进行背诵，而且记忆的成分比较大，这在初始阶段有助于学生对乘法的理解和背诵口诀，但在学习的后阶段，应经常采用打乱顺序的口算乘法训练形式，帮助学生提高口诀乘法的熟练程度，达到自动化，以减少运算过程中口诀乘法的错误。

4.有关“0”的错误。常见错误有：

（1）当因数末尾有“0” 时，在列式计算中忘记将0移下来。此类错误已列入粗心错误。

（2）当因数中间有“0” 时，学生漏乘0，这类错误的产生主要是由于学生对“0” 的理解不够。

“0” 的问题在乘法计算教学中是被作为难点来教的，因此错误的比例不高，但仍要在教学中强调对“0” 概念的理解，对经常出现此类错误的学生加强个别辅导。

5.加法和乘法混淆错误。有些学生受到加法定势的影响，在用一个因数各位乘另一个因数的各位时，时而出现加法计算，如：

[×] [ 4 6

4 2

9 2

1 0 4

1 1 3 2]

这类错误主要出现在初学阶段，学生对乘法计算过程还未熟练掌握，往往受到前置学习的加法运算的影响所致。

以上我们分析了学生学习乘法计算题中容易发生的错误类型，我们认为产生错误的原因是多方面的，有些是受学生思维发展水平和心理因素（感知粗略、注意失调、记忆还原、表象模糊、情感脆弱、强信息干扰、思维定势副作用等）发展的制约；有些是由于某些不良的学习习惯引起的；还有些是受熟练程度的影响；还有些可能是教材的因素，如苏教版分小段编排，三年级上册第七单元一位数乘多位数安排了七个课时左右的乘法教学，三年级下册第四单元两位数乘两位数安排了五个课时左右乘法教学，四年级上册教学除法计算时，教材很少编排乘法计算题，直到四年级下册才安排多位数乘法教学，这样安排时间跨度太大，不利于学生计算能力的培养。提升学生的计算能力是一个比较漫长、耐心细致的过程，在教学实践中，教师可以针对具体的学习情况在以上几个方面改进教学。endprint

3.口诀错误。在竖式乘法中，口诀错误所占的比例还是比较高（见表3），尤其在6、7、8、9口诀中错误率明显增高，见表4。

表4 口诀错误情况

[口诀顺序＼&1＼&2＼&3＼&4＼&5＼&6＼&7＼&8＼&9＼&错误率%＼&0＼&0＼&2.5＼&6.5＼&2.5＼&13.7＼&15.1＼&32.4＼&27.5＼&]

（错误率指各项口诀错误次数占总口诀错误次数的比率）

从表3、表4我们可以看出，口诀错误在三、四年级学生学习乘法运算时经常发生，尤其是在含6、7、8、9口诀乘法运算中错误发生的频率更高，这种情况与除法运算中的口诀错误比率大致相当。在调查中我们了解到，一些学生在初学乘法时，按顺序往往可以准确无误地背出乘法口诀，但顺序一打乱，错误便出现了，出现这种情况主要是由于当按顺序背诵时，学生往往采用连加的方法进行背诵，而且记忆的成分比较大，这在初始阶段有助于学生对乘法的理解和背诵口诀，但在学习的后阶段，应经常采用打乱顺序的口算乘法训练形式，帮助学生提高口诀乘法的熟练程度，达到自动化，以减少运算过程中口诀乘法的错误。

4.有关“0”的错误。常见错误有：

（1）当因数末尾有“0” 时，在列式计算中忘记将0移下来。此类错误已列入粗心错误。

（2）当因数中间有“0” 时，学生漏乘0，这类错误的产生主要是由于学生对“0” 的理解不够。

“0” 的问题在乘法计算教学中是被作为难点来教的，因此错误的比例不高，但仍要在教学中强调对“0” 概念的理解，对经常出现此类错误的学生加强个别辅导。

5.加法和乘法混淆错误。有些学生受到加法定势的影响，在用一个因数各位乘另一个因数的各位时，时而出现加法计算，如：

[×] [ 4 6

4 2

9 2

1 0 4

1 1 3 2]

这类错误主要出现在初学阶段，学生对乘法计算过程还未熟练掌握，往往受到前置学习的加法运算的影响所致。

以上我们分析了学生学习乘法计算题中容易发生的错误类型，我们认为产生错误的原因是多方面的，有些是受学生思维发展水平和心理因素（感知粗略、注意失调、记忆还原、表象模糊、情感脆弱、强信息干扰、思维定势副作用等）发展的制约；有些是由于某些不良的学习习惯引起的；还有些是受熟练程度的影响；还有些可能是教材的因素，如苏教版分小段编排，三年级上册第七单元一位数乘多位数安排了七个课时左右的乘法教学，三年级下册第四单元两位数乘两位数安排了五个课时左右乘法教学，四年级上册教学除法计算时，教材很少编排乘法计算题，直到四年级下册才安排多位数乘法教学，这样安排时间跨度太大，不利于学生计算能力的培养。提升学生的计算能力是一个比较漫长、耐心细致的过程，在教学实践中，教师可以针对具体的学习情况在以上几个方面改进教学。endprint