“知”与“趣”是学习数学的两个要素

2014-03-19谈祥柏

江苏教育 2014年3期

谈祥柏

一、做学问，纯粹是为了兴趣和“好玩”

我是江苏常州人，这是一块风水宝地，唐、宋、元、明、清历代都有名人出世，大家熟悉的人就有花鸟画家恽南田、诗人黄仲则、革命家瞿秋白、艺术大师刘海粟，乃至被许多前辈学者称道的清华四大导师之一的赵元任先生（其他三人为梁启超、王国维、陈寅恪，他们都不是江苏籍人士）。

赵先生在语言上有出奇的天赋，各种方言一学就会，在五六岁时，他就已能说南北各地的多种方言了。成年以后，他精通英、德、法、日以及西班牙、希腊、俄罗斯等多国语言。然而，说起来很奇怪，赵先生在美国康奈尔大学修习的专业却是数学。事实表明，他对语言、音乐等的研究与数学并不发生矛盾和冲突，反而起着相辅相成的作用。

对于赵元任的才学，胡适非常服膺与钦佩，称赞他“生性滑稽”，做学问时非常重视兴趣，譬如谈到中国语言的“五声”（阴平、阳平、上声、去声、入声）问题时，赵先生只用了一句妙不可言的解说：“荤油炒菜吃。”一下子就把“五声”统统抓住了，令人顿开茅塞。

与好朋友胡适相比，赵先生的人生态度更为超脱与潇洒，而这种气质也来自他对于数与形本质的领会与顿悟。赵先生做学问，纯粹是为了兴趣和“好玩”。所以他写字都是那样的气定神闲，像他做学问一样，让你感觉是在完全放松状态下的“玩”。他是那样的游刃有余，以致颜、柳、欧阳、禇、苏、黄、米、蔡等唐宋书法名家都不在话下了。

他有一句名言，后人觉得非常有趣。他说，对于学术，要怀着一种“女人对男人的爱”；而对于艺术，就得具有“男人对女人的爱”。前者指的是要保持恒心，而后者则是要具有激情。

二、杀鸡用牛刀，针灸能治病

两件事物，表面上毫无瓜葛，风马牛不相及，数学却能揭示出它们之间的深刻联系，这是数学所具有的一种“特异功能”，也是它的魅力所在。这方面的实例不少，现在我们挑一个最浅近的例子来讲讲。

《周髀算经》里明文写着“勾三股四弦五”（“32+42=52”，但究竟是商高还是陈子首先发现的，则存在着不少争议），据说毕达哥拉斯发现了勾股弦定理以后欣喜若狂，竟然宰杀了一百头牛来感谢上帝的恩赐，这就是几乎所有数学史著作里都有记载的“百牛大祭”。

勾股定理的重要性当然是不言而喻的，早在王云五先生编《万有文库》时就出版过一本书，收罗了该定理的各种证法，为数竟达几百种之多。

恐怕你做梦也不会想到“通分”竟然能“通出”勾、股、弦数来的吧。

随便挑出两个分母为连续奇数的单位分数来相加，例如“■+■=■=■”，请注意：122=144，352=1225，

144+1225=1369=372。我们于是轻而易举地找出了一组勾、股、弦数：勾=12，股=35，弦=37。前两个是分子、分母上明摆着的，后一个却躲在幕后。

不妨再换别的分数去试试，结果照样满意。此时我们将注意到：直角三角形的斜边（弦）之长总是比一条直角边（股）之长正好大2，也就是：弦-股=2。

好像是一个屡试不爽的现象，永远如此。

再来看一下两个单位分数的分母是连续偶数的情况，譬如说“■+■=■=■”，其时有：72=49，242=576，49+576=625=252。相应的勾、股、弦数中，弦长与股长之差数变成1了。倘若换成别的数目，情况依然如此。

说到这里，人们自然要急不可耐地发问：当两个单位分数的分母是一奇一偶的两个连续数（例如5与6或10与11等），情况又会怎样呢？

有趣的是：在这种情况下，戏法就不灵了，结果将是：通分之后，分母上的数无论是加1还是加2，都得不出勾、股、弦数。

戏法不灵，未免令人遗憾，那么，究竟有没有办法补救呢？

令人惊讶的是：办法还是有的！在通分并化成最简分数之后，将分母乘2，只要经过这样的简单变换，新的勾、股、弦数就会立即出现在你眼前了。

让我们还是通过例子来说明：■+■=■=■，不难看出■已经是最简分数了。让我来略施小计，把“56×2=112”算出来，现在我敢拍胸担保：15、112、113必然是一组勾、股、弦数了。

如果不相信，请瞧：152=225，1122=12544，225+12544

=12769=1132。

真是毫厘不差，现在，你该相信自己的眼睛了吧！

必须说明：以上三种情况都是可以作出证明的，真是“山重水尽疑无路，柳暗花明又一村”啊！

“通分”是小学里讲的内容，但勾股弦定理则是初中要讲的内容，如果在讲分数加法时就去讲它，未免有点“拔苗助长”的味道，当然不适宜。

可是问题来了：当孩子们在初中正儿八经地学习勾股弦定理时，有哪一本教材会重新“返工”，回过头去讲“通分”呢？以致上述这些神奇的联系长期湮没不彰，被打入了“冷宫”，无人理睬。说一句不好听的话：中外各国编写教材的人，兴许自己都不知道呢。

不过话得说回来，上海的卢湾区（现已并入黄浦区）、徐汇区以及从前的嵩山区、常熟区（路名仍然还有，但是区的建制早已撤销），从前都属于法租界。那里有许多好房子，例如丰子恺先生所住的长乐村等。新乐路是一条小马路，路口有一座教堂（至今仍在！），当年有许多法国传教士，由于该处附近住着一位重要亲戚，我在读初中时经常进去玩耍，与教士们混得很熟，他们也就眼开眼闭放任我在教堂里随意溜达。——其实我根本不信天主教或基督教。

使我惊讶的是：有一天我竟然在圣母玛利亚的祭坛上发现了一册一个法国孩子遗忘在那里的初中数学课本，其中提示着这些内容，尽管它比我在上文所介绍的内容简略得多，但人家并没有忽略这些能体现数学诱人魅力的精彩内容。

事情虽小，却在我幼小的心扉中牢固地树立起了“知”与“趣”的矛盾统一、互补与相辅相成的信念，并从此始终贯彻，坚持到老。

三、借鉴法国，冷静对照

当年我就读的大同大学，是国内最早设立数学系的高校之一。设有两所附属中学，一所在黄浦区南车站路，另一所在静安区新闸路。校长胡敦复先生是江苏无锡人，有名的“无锡三胡”中的长兄，曾任中国数学会董事会主席，该校20世纪50年代在全国大学院系调整中被撤销。新中国成立前，胡校长为了争取优质学生就读本校，曾给成绩拔尖、品学兼优的高中学生发放大学校徽。它制作得非常精良，上面还写着法文。由于天天都佩戴在胸前，我萌生了学习法文的决心。

凡是学过法语的人，恐怕都对法语中数字表达的繁琐留下了深刻印象。例如，70要说成“60和10”，80得说成“4个20”，99那就是“4个20与10和9”，比起英语的简洁，简直不可同日而语。在日常生活中，普通的法国人遇到数字时也十分头痛，常常算错账。尤其在做比较复杂的乘法和除法时，十有九错，这一切都让背熟了“九九表乘法口诀”的中国人感到不可思议。

然而法国却是一个盛产数学家的大国。从解析几何开始，在长长的数学家人名录中，法国人几乎占了三分之一。在名著《数学精英》（作者贝尔写于1937年，他曾任美国数学协会主席）中，就列举了笛卡尔、费马、帕斯卡、拉格朗日、傅里叶、拉普拉斯、柯西、伽罗瓦、庞加莱等全世界公认的大师级人物。就连皇帝拿破仑一世也是一位很出色的几何学家。从17世纪到第二次世界大战，很长一段时间里，法国学者们经常摘得数学王国的桂冠。从1936年到2010年，法国人获得“菲尔茨奖”（号称数学界的诺贝尔奖——全世界共53人获此殊荣，我国仅有丘成桐先生一人获奖）的就有11人，占五分之一还多。

这些突出的业绩不能不使人刮目相看，甚至连出过大数学家高斯与黎曼的德国人也自愧不如。有位德国学者在巴黎问当地人：“为什么贵国能出那么多大数学家？”巴黎人回答：“我国最优秀的人学习数学。”“为什么贵国的数学一直享誉世界？”被询问者回答：“数学是我们传统文化中最出色的部分。”

笛卡尔有着数以万计的“粉丝”。他做了一个怪异的梦，梦境非常奇特，醒来后继续努力，终于缔造了解析几何。单枪匹马，竟然创造了一门数学分支，这多么了不起，难怪人们欣喜若狂，要把他奉若神明了。笛卡尔是个充满激情的人。《数学精英》这本权威著作里为他设立了专章，名叫“绅士、战士和数学家”。

说到这里，自然就会想到法国历史上拥有的一大批文学家和小说家：司汤达、巴尔扎克、雨果、左拉、莫泊桑、大仲马、小仲马、加缪与儒勒·凡尔纳。这些都是中国读者们耳熟能详的名字。表面看来，语文、数学似乎是南辕北辙、互相不搭界的学科。然而，实质上他们都是用来记录、处理与加工信息的，存在着许多共性，在本质上是一脉相通的。

法国数学家多数具有很高的文学素养。就拿中国读者很熟悉的帕斯卡来说，他有两部文学杰作《思想录》和《致外省人书》，充分表现了他的才华。

中国历史上产生过的文学家、小说家、诗人不胜枚举：司马迁、韩愈、柳宗元、欧阳修、苏轼、李白、杜甫、王维、曹雪芹、吴承恩、罗贯中……乃至近代的巴金、老舍，其数量与质量足以凌驾于法国之上，然而我仍不得不承认，按照比例来计算，数学家实在是太少了，远远不如人家。

应该找一找原因了。有人一针见血地指出：按照现有的办法只能培养出解题机器，至于数学家呢，那是根本培养不出来的。一言以蔽之：无异于缘木求鱼，抱着柴草去救火。

实现中国梦，需要人才！我们迫切需要中国自己的牛顿和爱因斯坦。于是忽然想起了梁启超先生的话来：红日初升，其道大光；河出伏流，一泻汪洋；潜龙腾渊，鳞爪飞扬；乳虎啸谷，百兽震惶；鹰隼试翼，风尘翕张；奇花初胎，矞矞皇皇；干将发硎，有作其芒；天戴其苍，地履其黄；纵有千古，横有八荒，前途似海，来日方长。美哉我少年中国，与天不老！壮哉我中国少年，与国无疆！（《少年中国说》）

这是那个积贫积弱的时代，我们所能看到的最壮美的“中国梦”！仁人志士们的一腔热血，后人自然应该永远铭记不忘。

四、一张奇妙的足球比赛海报

我国数学界也出了个“莫言”，他就是菲尔茨奖获得者丘成桐先生。能容纳八百余人的上海图书馆报告厅内座无虚席，大家鸦雀无声地在聆听。丘先生说：“好的数学应当能接触到自然与人生的各种现象。”旨哉言乎！

2013年11月9日，恒大在广州天河荣获亚冠的冠军，整个中国足球界仿佛被注入了一针强心剂。

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这是一张非常特殊的足球海报（如上图），令人大开眼界！人们看到，这份海报用两道高数公式隐喻决赛比分，也足以看出他们的高明，解题结果是3∶0。恒大这边的，令人耳目一新，有着无穷多个根号的公式称为拉马努金恒等式，结果为3。而韩国首尔足球队那边的欧拉公式的计算结果是0（海报知识吊足胃口，要大家来猜，实际比赛结果是1∶1，双方打成了平局，但根据积分，恒大还是获得了冠军）。

欧拉公式对中国学生来说，并不生疏，程度好一点的中学生都知道“eix=cosx+isinx”，可是拉马努金（根据《辞海》，这位数学家的标准译名应该是拉马努杨（1887～1920），但在我国，此人的译名从未统一过，所以，海报上的提法也不能算错）恒等式却是“十问九不知”，不要说高等数学课本了，连号称权威的《辞海》都没有把它收进去。拉马努金被认为是20世纪最了不起的天才数学家之一，出身贫寒，自学成才，1918年，他当选为英国皇家学会会员，生活依然非常清苦，1920年病逝于印度。他是印度的“国宝”，曾专门为他发行过纪念邮票。研究领域包括数论、连分数、超几何级数等，他是一个非凡的天才人物，研究全凭直觉，几乎没有证明，但结论却是正确的。他专门喜欢同无穷级数、无穷乘积……打交道，得出的结果非常美妙，具有一种震撼人心的魅力！

五、知与趣是一对矛盾的统一

为了反驳网络上一度很流行的“数学无用论”，“数学滚出高考论”，有位老教师无不感慨地说：“今后我们教数学，要少一点‘奥味，多一点‘趣味。”

亚里士多德说：“美是比任何语言都有力的推荐信。”

梁启超有一句名言：“凡人必须常常生活于趣味之中，生活才有价值。”

冰心先生则认为：“一个人应当像一朵花，不论男人或女人。花有色、香、味，人有才、情、趣，三者缺一，便不能做人家的一个好朋友。”

知与趣的关系很辩证，犹似人的左膀右臂，都不能少。

知乃根本，趣为枝叶；

知是源头，趣是活水；

知是长期有效的处方，趣为强心针、兴奋剂；

知乃“工资”，趣是“奖金”；

知是家常菜、饭，天天要吃；趣则为偶尔一尝的山珍海味，有的人一生没有吃过异味，他未免是白活了，投错了胎，到人间白跑了一趟。

数学是上帝用来书写宇宙的语言，其中蕴藏着无穷无尽的学问，也有着无穷无尽的趣味。