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分类讨论思想在初中数学解题中的运用策略

2014-03-11周金林

文理导航 2014年2期
关键词:交点认知结构一元二次方程

周金林

数学思想是人们对现实世界的数量关系、空间形式、模式结构的意识反映,是思维活动的结果。它能帮助人们系统化地学习知识、掌握结构,提供最佳解决问题的策略,诸如数形结合思想、化归思想、方程与函数思想、分类讨论思想等等。分类讨论思想最早源于《九章算术》中关于盈亏问题的讨论,它指在部分数学问题中存在着一些不确定的因素,结论不是能够唯一确定的,要根据题目特点和要求,按不同的情况进行分类,将原题转化为若干个小问题逐项讨论,最后综合求解的过程。

一、渗透分类讨论思想的意义

1.有助于养成分类的意识。物以类聚,每个人在日常生活中都积累了一定的分类经验,教师在课堂教学中要将生活中的分类知识迁移到数学教学中,如数的分类、三角形的分类等等,力求做到目标明确、标准统一,要充分挖掘教材,抓住渗透的契机,将分类讨论应用于生活之中。

2.有助于掌握分类的方法。在分类讨论教学中,教师要引导学生根据对象的属性进行分类讨论,不遗漏、不重复地划分子类,并对每一类加以解答,能有效地培养学生思维的缜密性。

3.有助于形成一题多解的能力。分类讨论教学为学生营造了合作、交流、争辩的氛围,学生往往不满足于一种解法,对一些题目提出两种、三种甚至多种解法,能有效培养学生思维的灵活性,从而促进学生创新思维能力的发展。

4.有助于形成良好的认知结构。学生认知结构的发展是通过学生主动同化、顺应,在原有的认知结构上进行拓展、延伸,从而形成新的系统。分类讨论思想揭示知识间的内在联系,能帮助学生完善认知结构,培养思维的灵活性和创造性。

二、当前分类讨论思想渗透存在的主要问题

1.教学思想陈旧。长期以来,受“传道、授业、解惑”的传统影响,部分教师教学思想陈旧,沿袭传统的教学理念,以传授知识作为主要教学目标,他们只注重知识的传授,而忽视思想方法的渗透,他们从不主动考虑解题意图,不能从多角度分析问题,往往是一解了之,缺乏深层次的探索,掩盖了学生的思维困惑。

2.学生被动接受。传统的数学教学脱离学生生活实际,教师机械灌输,大搞题海战术,割裂了知识间的联系,学生缺乏自我感悟和独立探究的机会,感到数学知识索然无味,缺乏探究热情,无法顾及运用什么思想方法,更谈不上知识的创新了。如在“角平分线定理”教学中,一位教师重点强调“到三角形三边距离相等的点是三角形的内心”,而没有联系“外心”进行分类讨论,导致学生在解题时容易出错。

3.应试教育影响。部分教师受中考指挥棒的影响,“以考分论英雄”的应试教育观念根深蒂固,他们不理解素质教育的内涵,依然“穿新鞋走老路”,重知识轻能力、重解题轻思想的现象普遍存在,导致学生抽象思维能力薄弱。

三、分类思想在解题中的应用

1.分类思想在绝对值解题运算中的运用。解有关绝对值的题目时,一般是根据绝对值的意义去掉绝对值符号,但如果不确定绝对值里面数的符号,就必须要分类讨论。

例1:使|a+1|=|a|+1成立的条件是( )

A. a为任何实数 B. a≥0 C. a≤0 D. a≠0

分析:此题中等号左右两边都有绝对值符号,而又未给出实数a的取值范围,因而无法直接去掉绝对值。可根据“零点分段”的方法,令|a+1|=0,|a|=0得a=-1和a=0。再分a<-1、-1≤a<0、a≥0进行讨论。

解:令|a+1|=0,得a=-1;令|a|=0,得a=0。

(1)当a<-1时,左边=-(a+1)=-a-1,右边=-a+1,左边≠右边;

(2)当-1≤a<0时,左边=a+1,右边=-a+1,左边≠右边;

(3)当a≥0时,左边=a+1,右边=a+1,左边=右边。

∴a≥0,应选D。

2.分类讨论思想在方程解题中的应用。在解方程ax2+bx+c=0时,要根据一元二次方程的定义分析a是否为0的情况。

例2:已知方程a2x2+2(a-1)x+1=0有实数根,求a的取值范围。

分析:在解字母系数的取值范围问题中,题目没有明确二次项系数a2的符号,因此不仅要考虑二次方程的可能,还要考虑一次方程的可能。

解:(1)当a2=0,即a=0,方程为一元一次方程-2x+1=0,有实数根x=0.5;

(2)当a2≠0,即a≠0,方程为一元二次方程,当△≥0时有实根,即

△=[2(a-1)]2-4a2=-4a+4≥0,a≤1。

所以a≤1,且a≠0。

综合(1)、(2),得a≤1。

(3)分类讨论思想在函数中的应用。函数教学中出现分类讨论的题型较多,有关于一次函数,有关于反比例函数的,还有综合性较强的二次函数,它们大多是由一元二次方程的性质演变而来,教者要引导学生分情况进行说明。

例3:求函数y=(k-1)x2-kx+1与x轴的交点坐标。

分析:本题条件是不唯一的,问题中没有说明是什么函数,要分两种情况:一次函数或二次函数进行讨论。①当k=1时,此函数是一次函数y=-x+1,与x轴的交点坐标为(1,0);②当此函数为二次函数时,k≠1,△=(-k)2-4(k-1)=(k-2)2。在二次函数的图象与x轴交点的个数与△的符号有关,因此要分△>0、△=0两种情况分析:△>0,即k≠2时,有两个交点(1,0)、(■,0);△=0,即k=2时,有一个交点(1,0)。

(4)分类思想在几何操作中的运用。在解答几何问题时,要根据题意分析清楚符合条件图形的各种可能形状、位置,抓住相关对象性质,分类各种符合条件的图形。

例4:已知△ABC的边AB=6,AC=2■,BC边上的高AD=3。(1)求BC的长;(2)如果有一个正方形的一边在已知△ABC边上,另外两个顶点在AC、BC上,求这个正方形的面积。

分析:过△ABC的顶点A向对边作垂线,垂足可以在BC上,也可能在BC的延长线上,要分两种情况进行讨论。(如图)

总之,分类讨论思想作为一种重要的思想方法,对于培养学生思想的缜密性、严谨性具有重要意义,我们数学教师在数学解题中要循序渐进地渗透分类讨论的思想方法,以提高学生的解题能力,培养学生的发散思维能力。

(作者单位:江苏省滨海县八巨初级中学)

数学思想是人们对现实世界的数量关系、空间形式、模式结构的意识反映,是思维活动的结果。它能帮助人们系统化地学习知识、掌握结构,提供最佳解决问题的策略,诸如数形结合思想、化归思想、方程与函数思想、分类讨论思想等等。分类讨论思想最早源于《九章算术》中关于盈亏问题的讨论,它指在部分数学问题中存在着一些不确定的因素,结论不是能够唯一确定的,要根据题目特点和要求,按不同的情况进行分类,将原题转化为若干个小问题逐项讨论,最后综合求解的过程。

一、渗透分类讨论思想的意义

1.有助于养成分类的意识。物以类聚,每个人在日常生活中都积累了一定的分类经验,教师在课堂教学中要将生活中的分类知识迁移到数学教学中,如数的分类、三角形的分类等等,力求做到目标明确、标准统一,要充分挖掘教材,抓住渗透的契机,将分类讨论应用于生活之中。

2.有助于掌握分类的方法。在分类讨论教学中,教师要引导学生根据对象的属性进行分类讨论,不遗漏、不重复地划分子类,并对每一类加以解答,能有效地培养学生思维的缜密性。

3.有助于形成一题多解的能力。分类讨论教学为学生营造了合作、交流、争辩的氛围,学生往往不满足于一种解法,对一些题目提出两种、三种甚至多种解法,能有效培养学生思维的灵活性,从而促进学生创新思维能力的发展。

4.有助于形成良好的认知结构。学生认知结构的发展是通过学生主动同化、顺应,在原有的认知结构上进行拓展、延伸,从而形成新的系统。分类讨论思想揭示知识间的内在联系,能帮助学生完善认知结构,培养思维的灵活性和创造性。

二、当前分类讨论思想渗透存在的主要问题

1.教学思想陈旧。长期以来,受“传道、授业、解惑”的传统影响,部分教师教学思想陈旧,沿袭传统的教学理念,以传授知识作为主要教学目标,他们只注重知识的传授,而忽视思想方法的渗透,他们从不主动考虑解题意图,不能从多角度分析问题,往往是一解了之,缺乏深层次的探索,掩盖了学生的思维困惑。

2.学生被动接受。传统的数学教学脱离学生生活实际,教师机械灌输,大搞题海战术,割裂了知识间的联系,学生缺乏自我感悟和独立探究的机会,感到数学知识索然无味,缺乏探究热情,无法顾及运用什么思想方法,更谈不上知识的创新了。如在“角平分线定理”教学中,一位教师重点强调“到三角形三边距离相等的点是三角形的内心”,而没有联系“外心”进行分类讨论,导致学生在解题时容易出错。

3.应试教育影响。部分教师受中考指挥棒的影响,“以考分论英雄”的应试教育观念根深蒂固,他们不理解素质教育的内涵,依然“穿新鞋走老路”,重知识轻能力、重解题轻思想的现象普遍存在,导致学生抽象思维能力薄弱。

三、分类思想在解题中的应用

1.分类思想在绝对值解题运算中的运用。解有关绝对值的题目时,一般是根据绝对值的意义去掉绝对值符号,但如果不确定绝对值里面数的符号,就必须要分类讨论。

例1:使|a+1|=|a|+1成立的条件是( )

A. a为任何实数 B. a≥0 C. a≤0 D. a≠0

分析:此题中等号左右两边都有绝对值符号,而又未给出实数a的取值范围,因而无法直接去掉绝对值。可根据“零点分段”的方法,令|a+1|=0,|a|=0得a=-1和a=0。再分a<-1、-1≤a<0、a≥0进行讨论。

解:令|a+1|=0,得a=-1;令|a|=0,得a=0。

(1)当a<-1时,左边=-(a+1)=-a-1,右边=-a+1,左边≠右边;

(2)当-1≤a<0时,左边=a+1,右边=-a+1,左边≠右边;

(3)当a≥0时,左边=a+1,右边=a+1,左边=右边。

∴a≥0,应选D。

2.分类讨论思想在方程解题中的应用。在解方程ax2+bx+c=0时,要根据一元二次方程的定义分析a是否为0的情况。

例2:已知方程a2x2+2(a-1)x+1=0有实数根,求a的取值范围。

分析:在解字母系数的取值范围问题中,题目没有明确二次项系数a2的符号,因此不仅要考虑二次方程的可能,还要考虑一次方程的可能。

解:(1)当a2=0,即a=0,方程为一元一次方程-2x+1=0,有实数根x=0.5;

(2)当a2≠0,即a≠0,方程为一元二次方程,当△≥0时有实根,即

△=[2(a-1)]2-4a2=-4a+4≥0,a≤1。

所以a≤1,且a≠0。

综合(1)、(2),得a≤1。

(3)分类讨论思想在函数中的应用。函数教学中出现分类讨论的题型较多,有关于一次函数,有关于反比例函数的,还有综合性较强的二次函数,它们大多是由一元二次方程的性质演变而来,教者要引导学生分情况进行说明。

例3:求函数y=(k-1)x2-kx+1与x轴的交点坐标。

分析:本题条件是不唯一的,问题中没有说明是什么函数,要分两种情况:一次函数或二次函数进行讨论。①当k=1时,此函数是一次函数y=-x+1,与x轴的交点坐标为(1,0);②当此函数为二次函数时,k≠1,△=(-k)2-4(k-1)=(k-2)2。在二次函数的图象与x轴交点的个数与△的符号有关,因此要分△>0、△=0两种情况分析:△>0,即k≠2时,有两个交点(1,0)、(■,0);△=0,即k=2时,有一个交点(1,0)。

(4)分类思想在几何操作中的运用。在解答几何问题时,要根据题意分析清楚符合条件图形的各种可能形状、位置,抓住相关对象性质,分类各种符合条件的图形。

例4:已知△ABC的边AB=6,AC=2■,BC边上的高AD=3。(1)求BC的长;(2)如果有一个正方形的一边在已知△ABC边上,另外两个顶点在AC、BC上,求这个正方形的面积。

分析:过△ABC的顶点A向对边作垂线,垂足可以在BC上,也可能在BC的延长线上,要分两种情况进行讨论。(如图)

总之,分类讨论思想作为一种重要的思想方法,对于培养学生思想的缜密性、严谨性具有重要意义,我们数学教师在数学解题中要循序渐进地渗透分类讨论的思想方法,以提高学生的解题能力,培养学生的发散思维能力。

(作者单位:江苏省滨海县八巨初级中学)

数学思想是人们对现实世界的数量关系、空间形式、模式结构的意识反映,是思维活动的结果。它能帮助人们系统化地学习知识、掌握结构,提供最佳解决问题的策略,诸如数形结合思想、化归思想、方程与函数思想、分类讨论思想等等。分类讨论思想最早源于《九章算术》中关于盈亏问题的讨论,它指在部分数学问题中存在着一些不确定的因素,结论不是能够唯一确定的,要根据题目特点和要求,按不同的情况进行分类,将原题转化为若干个小问题逐项讨论,最后综合求解的过程。

一、渗透分类讨论思想的意义

1.有助于养成分类的意识。物以类聚,每个人在日常生活中都积累了一定的分类经验,教师在课堂教学中要将生活中的分类知识迁移到数学教学中,如数的分类、三角形的分类等等,力求做到目标明确、标准统一,要充分挖掘教材,抓住渗透的契机,将分类讨论应用于生活之中。

2.有助于掌握分类的方法。在分类讨论教学中,教师要引导学生根据对象的属性进行分类讨论,不遗漏、不重复地划分子类,并对每一类加以解答,能有效地培养学生思维的缜密性。

3.有助于形成一题多解的能力。分类讨论教学为学生营造了合作、交流、争辩的氛围,学生往往不满足于一种解法,对一些题目提出两种、三种甚至多种解法,能有效培养学生思维的灵活性,从而促进学生创新思维能力的发展。

4.有助于形成良好的认知结构。学生认知结构的发展是通过学生主动同化、顺应,在原有的认知结构上进行拓展、延伸,从而形成新的系统。分类讨论思想揭示知识间的内在联系,能帮助学生完善认知结构,培养思维的灵活性和创造性。

二、当前分类讨论思想渗透存在的主要问题

1.教学思想陈旧。长期以来,受“传道、授业、解惑”的传统影响,部分教师教学思想陈旧,沿袭传统的教学理念,以传授知识作为主要教学目标,他们只注重知识的传授,而忽视思想方法的渗透,他们从不主动考虑解题意图,不能从多角度分析问题,往往是一解了之,缺乏深层次的探索,掩盖了学生的思维困惑。

2.学生被动接受。传统的数学教学脱离学生生活实际,教师机械灌输,大搞题海战术,割裂了知识间的联系,学生缺乏自我感悟和独立探究的机会,感到数学知识索然无味,缺乏探究热情,无法顾及运用什么思想方法,更谈不上知识的创新了。如在“角平分线定理”教学中,一位教师重点强调“到三角形三边距离相等的点是三角形的内心”,而没有联系“外心”进行分类讨论,导致学生在解题时容易出错。

3.应试教育影响。部分教师受中考指挥棒的影响,“以考分论英雄”的应试教育观念根深蒂固,他们不理解素质教育的内涵,依然“穿新鞋走老路”,重知识轻能力、重解题轻思想的现象普遍存在,导致学生抽象思维能力薄弱。

三、分类思想在解题中的应用

1.分类思想在绝对值解题运算中的运用。解有关绝对值的题目时,一般是根据绝对值的意义去掉绝对值符号,但如果不确定绝对值里面数的符号,就必须要分类讨论。

例1:使|a+1|=|a|+1成立的条件是( )

A. a为任何实数 B. a≥0 C. a≤0 D. a≠0

分析:此题中等号左右两边都有绝对值符号,而又未给出实数a的取值范围,因而无法直接去掉绝对值。可根据“零点分段”的方法,令|a+1|=0,|a|=0得a=-1和a=0。再分a<-1、-1≤a<0、a≥0进行讨论。

解:令|a+1|=0,得a=-1;令|a|=0,得a=0。

(1)当a<-1时,左边=-(a+1)=-a-1,右边=-a+1,左边≠右边;

(2)当-1≤a<0时,左边=a+1,右边=-a+1,左边≠右边;

(3)当a≥0时,左边=a+1,右边=a+1,左边=右边。

∴a≥0,应选D。

2.分类讨论思想在方程解题中的应用。在解方程ax2+bx+c=0时,要根据一元二次方程的定义分析a是否为0的情况。

例2:已知方程a2x2+2(a-1)x+1=0有实数根,求a的取值范围。

分析:在解字母系数的取值范围问题中,题目没有明确二次项系数a2的符号,因此不仅要考虑二次方程的可能,还要考虑一次方程的可能。

解:(1)当a2=0,即a=0,方程为一元一次方程-2x+1=0,有实数根x=0.5;

(2)当a2≠0,即a≠0,方程为一元二次方程,当△≥0时有实根,即

△=[2(a-1)]2-4a2=-4a+4≥0,a≤1。

所以a≤1,且a≠0。

综合(1)、(2),得a≤1。

(3)分类讨论思想在函数中的应用。函数教学中出现分类讨论的题型较多,有关于一次函数,有关于反比例函数的,还有综合性较强的二次函数,它们大多是由一元二次方程的性质演变而来,教者要引导学生分情况进行说明。

例3:求函数y=(k-1)x2-kx+1与x轴的交点坐标。

分析:本题条件是不唯一的,问题中没有说明是什么函数,要分两种情况:一次函数或二次函数进行讨论。①当k=1时,此函数是一次函数y=-x+1,与x轴的交点坐标为(1,0);②当此函数为二次函数时,k≠1,△=(-k)2-4(k-1)=(k-2)2。在二次函数的图象与x轴交点的个数与△的符号有关,因此要分△>0、△=0两种情况分析:△>0,即k≠2时,有两个交点(1,0)、(■,0);△=0,即k=2时,有一个交点(1,0)。

(4)分类思想在几何操作中的运用。在解答几何问题时,要根据题意分析清楚符合条件图形的各种可能形状、位置,抓住相关对象性质,分类各种符合条件的图形。

例4:已知△ABC的边AB=6,AC=2■,BC边上的高AD=3。(1)求BC的长;(2)如果有一个正方形的一边在已知△ABC边上,另外两个顶点在AC、BC上,求这个正方形的面积。

分析:过△ABC的顶点A向对边作垂线,垂足可以在BC上,也可能在BC的延长线上,要分两种情况进行讨论。(如图)

总之,分类讨论思想作为一种重要的思想方法,对于培养学生思想的缜密性、严谨性具有重要意义,我们数学教师在数学解题中要循序渐进地渗透分类讨论的思想方法,以提高学生的解题能力,培养学生的发散思维能力。

(作者单位:江苏省滨海县八巨初级中学)

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