彭振洲，熊静琪，张荃莹，王李立

(电子科技大学机械电子工程学院，四川成都 611731）

工件质量对机床工作台直线电机伺服系统响应性能的影响研究

彭振洲，熊静琪，张荃莹，王李立

(电子科技大学机械电子工程学院，四川成都 611731）

数控机床工作台在运行时其承载的工件质量往往不同且变化范围大，工件质量的变化会对其直线电机伺服系统的性能造成较大影响。分析数控机床工作台直线电机伺服系统在带动不同质量工件的情况下所产生的超调量和调整时间，发现系统超调量随工件质量的增加成单调增的关系；在工件质量一定的情况下采用非线性PID控制来抑制超调量，缩短调整时间，找到非线性PID控制的参数Kd与工件质量之间的对应关系，并进行线性拟合，对非线性PID控制的参数进行调整，使在不同工件质量的情况下均能达到较好的响应性能。

直线电机伺服系统；质量变化；位置控制；变参数非线性PID控制

直线电机驱动的数控机床工作台相比旋转电机加滚珠丝杠的而言，具有高速、高精、大加速度、大行程等优点［1］，但也继承了直线电机伺服系统的缺点。

在结构上，直线电机直接推动工作台，由于没有中间传动机构的缓冲，工作台所受的各种扰动如振动、摩擦、切削力变化等将直接作用于直线电机，从而严重影响直线电机的平稳运行，如何抑制这些扰动对控制系统提出了很高的要求。

众多学者对直线电机伺服系统进行了研究，绝大部分研究都是针对如何抑制直线电机运行过程中的扰动，如振动、摩擦、纹波推力等。并提出了许多控制方法，如PID控制、模糊控制、神经网络控制等，取得了不少成果［2－4］。但是以往学者们的研究多是基于独立的直线电机伺服系统，并不考虑直线电机伺服系统在数控机床中的实际运用情况。而直线电机在机床中应用时所受到的影响因素往往不止前面提到的振动、摩擦、纹波推力这些。

文中所研究的数控机床工作台的特点是需要承载工件进行加工，不同的工件质量相差很大，其控制系统如何能在不同工件质量的情况下均保持良好的控制效果是非常值得研究的。

1 直线电机伺服系统模型

根据d、q轴电流法建立直线电机的电流模型［5］:

式中:f(t）为直线电机输出推力；m为直线电机伺服系统运动部件的质量；x、、为直线电机的位移、速度和加速度；fload(t）为直线电机所受的外部载荷；ffric(）为直线电机所受的摩擦力；fn(t）为直线电机所受的其他外部扰动。

摩擦力采用LuGre模型来进行估算［7］:

式中:fc为静摩擦力；fs为动摩擦力；为测得的润滑系数；B为黏滞摩擦系数；sgn(）为符号函数，其符号与速度符号相同。

在直线电机低速运行时，纹波推力是影响直线电机运行的另一个主要因素。纹波推力的产生与直线电机的结构有关，为直线电机的端部效应与齿槽磁阻效应造成的推力谐波。其数学模型一般可以表示为［7］:

其中:Ar、ω是与直线电机结构相关的系数。

2 运动部件质量变化对系统的影响

之前学者们的研究大部分都是基于单个的直线电机进行，并未与实际数控机床相结合。在数控机床这个实际系统中，影响直线电机伺服系统运动的因素更加复杂和多变。例如文中研究的数控机床工作台这个系统，因工作台本身运行时需要承载工件，而对于不同的工件，其质量是不一样的，甚至质量差异非常大。因此在工作台的直线电机伺服系统中，除了上文提到的那些影响因素外，其动力学公式中的质量项m也不是固定的，并且m的变化是非线性有界的。

在数控机床工作台直线电机伺服系统中，运动部件质量m因工件质量不同而发生变化。质量的变化也成为影响伺服系统运行的因素之一，而影响到底有多大，文中将从理论上进行分析。

2.1 系统固有频率

分析系统质量对其响应性能的影响，前提是要求出系统的固有频率。对于直线电机伺服系统，根据式(3），其动力学方程为:

求解系统固有频率，假设无摩擦、无外力，即系统无阻尼自由振动

其中:k为系统刚度。由以上分析可知系统固有频率ωn与系统质量成反比，与刚度成正比。

2.2 第一次达到稳态的时间

在求得直线电机伺服系统的固有频率之后，可以利用固有频率求得理想状态下系统第一次到达稳态的时间。根据二阶系统第一次达到稳态的时间得:

由式 (11）可以看出:系统达到稳态的时间与系统质量正相关，与系统刚度负相关。

2.3 最大超调量分析

下面求解直线电机伺服系统的最大超调量，根据二阶系统最大超调量公式得:

将阻尼系数代入到上式得到最大超调量与系统质量的关系:

由上式可见系统最大超调量与系统质量正相关。

通过以上分析可知:质量的变化将非常显著地影响整个系统的最大超调量和稳态时间。而这两个量也将直接关系到伺服系统的运行精度，因此如何将质量变化对控制系统造成的影响尽可能降低，以保证xy工作台在任何工况下都有良好的精度，成为后文中控制系统设计的入手点。

3 位置控制器设计

对直线电机伺服进行位置控制，首要目标就是要使伺服系统的输出位置与输入的期望位置一致；同时要求超调量尽可能小，到达期望位置的时间尽可能短。对于数控机床工作台而言，工作台的输出位置准确与否，直接关系到最后的加工精度。因此对于工作台的直线电机伺服系统来说，位置控制系统的性能好坏尤其重要。

3.1 运动部件质量变化对PID位置控制器的影响

在多种多样的控制方法中，最简单实用的是经典的PID控制方法，这种控制方法在直线电机伺服系统中得到广泛使用。

常见的PID控制方法公式如下式:

控制器的结构相对固定，控制效果的好坏取决于Kp，Ki，Kd这3个参数。设计的PID控制系统如图1 所示。

图1 PID位置控制仿真图

PID控制运用于工作台的位置控制环节时，能否成功应对系统运动质量变化呢?下面通过仿真实验来进行分析，设定系统运动部件质量分别为80、180、280 kg。其中质量为80 kg时为基准状态，PID控制参数整定在80 kg的状态下完成。

采用ZN法整定并反复调整PID控制参数，得到控制参数为Kp=51，Ki=0，Kd=1。

进行系统仿真时，设定最大推力2 kN，最大速度为1 m/s，最大加速度为2g，有幅值为100 N的随机扰动，输入信号为从t=1 s开始幅值为1的阶跃信号。仿真结果如图2所示，响应结果整理见表1。

图2 不同质量下的PID位置控制响应

表1 系统响应参数

由以上分析可知:在80 kg的基准状态下，系统无超调量；当质量发生变化时，系统的稳态时间及超调量均变大，质量为180 kg时最大超调量达到2%；当质量为280 kg时，最大超调量达到5%。由此可见:在位置控制环节PID控制整定好参数后，能在基准状态下做到无超调量和响应迅速；但是当质量发生变化后，PID控制并不能达到像在基准状态下那样的控制效果，其超调量达到5%之多。

因此要使工作台在不同质量情况下均达到满意的控制效果，其控制方法应该对系统质量变化不敏感或者不依赖具体系统。

3.2 针对系统运动质量变化设计位置控制器

经典PID控制只有两三个参数，控制过程是线性化的，要求被控对象模型精度较高并且为线性。并且系统模型的参数变化对PID控制的影响很大，参数的变化造成控制系统的鲁棒性变差。而且，PID控制的3个参数之间关联性很大，整定参数时需要综合调整，非常麻烦，并且不容易取得最好的控制效果［8］。因此PID控制虽然使用很多，但是其控制效果让人满意的比例并不高。而非线性PID控制器理论在这方面比 PID 控制方法好［9］。

非线性PID控制的基本原理是:采用系统输入量与输出量之间的差值e作为非线性控制器的输入量，针对传统PID控制在阶跃响应情况下的特点，详细分析响应曲线每个环节的变化情况，根据变化情况设计每个环节的非线性函数；然后把各个环节的非线性函数进行组合输出，输出量即为非线性PID控制器的输出控制量。非线性PID控制器各环节的非线性函数设计过程如下，图3是典型的二阶系统在阶跃信号下的响应曲线。

(1）建立比例函数Kp(e）

图3 典型阶跃响应曲线

在非线性PID控制中，比例环节的作用是降低系统偏差，提高响应速度。当系统偏差量较大时，Kp(e）也应该较大，当系统偏差量较小时，Kp(e）也应该较小。图中上升阶段OA段，初始偏差量很大，因此比例函数Kp(e）也应该很大，当输出量不断上升，偏差减小，要防止出现较大超调量，Kp(e）应该变小；当出现超调时即AB段，Kp(e）应该随着超调量的增加而变大，这样反向控制迅速减少超调量；在BC段，Kp(e）应随着超调量的减小而减小，逼近稳态；在CD段，Kp(e）应逐渐增大；在DE段，Kp(e）应逐渐减小。按照这些变化规律，构造出比例函数:

式中:Kp1、Kp2均为比例函数Kp(e）的待定系数。

(2）建立微分函数Kd(e）

非线性PID控制的微分环节的作用是提高系统阻尼，提高调节速度，降低到达稳态的时间，同时可以预见偏差变化趋势。当偏差很小时，Kd(e）应该较大，当偏差较大时，Kd(e）应该较小，这样可以大大增加控制系统的敏感程度。在图3中，OA、BC、DE段，Kd(e）的值应该随着偏差减小而增大；在AB、CD段，Kd(e）的值应该随着偏差的增大而减小。按照这些变化规律，构造出微分函数:

式中:Kd为比例函数的待定系数。

(3）建立积分函数Ki(e）

非线性PID控制中，积分环节的作用是消除系统的稳态偏差。当系统偏差量较小时，积分函数Ki(e）应该取较大值，当偏差量较大时，Ki(e）应该取较小值，这样可以提高控制器在小偏差时的反应速度，同时保证系统没有稳态偏差。按照这些变化规律，构造出积分函数:

式中:U(t）为非线性PID控制器的输出。

3.3 非线性PID控制应用于位置控制环节的效果

非线性PID控制器设计好后，在Simulink中搭建其仿真模型，如图4所示，图中是非线性PID控制器的子系统结构图，输入信号是系统偏差量e，输出信号是非线性PID控制器的控制量。

图4 Simulink中NLPID控制器仿真图

非线性PID控制器有4个参数需要整定，分别是Kp1、Kp2、Ki、Kd。传统的PID控制参数整定方法不再适合用来整定非线性PID控制的参数，采用非线性控制优化工具箱进行优化并适当调整，得到非线性PID 控制中 Kp1取75，Kp2取200，Ki取2，Kd取1。

进行系统仿真时，设定最大推力2 kN，最大速度为1 m/s，最大加速度为2g，有幅值为100 N的随机扰动，输入信号为从t=1 s开始幅值为1的阶跃信号。

在系统质量发生变化时，控制系统能否保持住良好的控制效果是文中关注的重点。下面针对系统质量发生变化时进行仿真，检验非线性PID控制的效果。设定系统质量分别为80、180、280 kg，仿真结果如图5所示，响应结果整理见表2。

图5 不同质量下非线性PID的响应曲线

表2 系统响应结果

对比图2与图5以及表1与表2的结果:非线性PID控制与PID控制相比，在上升阶段两者均以最快速度迅速接近稳态位置，基本无差异；在快接近稳态位置时，因非线性控制能更长时间地保持最快速度，在即将达到稳态位置时能迅速进行调整并趋于稳态，非线性PID控制到达稳态的时间比PID更少。

在保证稳态时间与前文传统PID控制时相同的情况下，当质量为80 kg即基准状态下时，系统响应迅速，无超调量无稳态偏差；当质量为180 kg时，系统出现1.8%的超调量，无稳态偏差；当质量为280 kg时，系统出现3.5%的超调量，无稳态偏差。可见非线性PID控制能较好地应对系统质量发生变化时，产生较大超调量的情况，将最大超调量控制在3.5%以内，其控制效果优于传统PID控制。

3.4 变参数非线性PID控制

由以上内容可以看出:非线性PID控制虽然效果优于PID控制，但是效果并不是非常明显，在280 kg的情况下，只是将最大超调量从5%降到3.5%，稳态时间提高0.05 s。

究其原因，非线性PID控制仍然对系统参数比较敏感，非线性PID在设计和参数整定的过程中还是需要考虑到系统的参数，这样就造成了与PID控制一样的问题。以质量为80 kg为基准整定出来的参数在质量变化过大的情况下仍然难以发挥出最好的控制效果。

考虑到系统质量变化非常大，从最小质量80 kg到最大质量280 kg，质量变化了3.5倍。这一变化跨度太大，常见的控制方法难以在各种质量情况下均发挥出最佳效果。例如鲁棒控制在参数变化50%以内效果较好，但是参数变化超过100%时控制效果就不好了。

因此，考虑设计一种控制方法，使该控制方法的参数能随着系统质量的变化而自适应地发生变化，这样就可以在每种质量情况下均达到最好的控制效果。

但是由于工作台在实际工作中，不同工况下系统运动部件质量是非线性变化的。而且，考虑到直线电机伺服系统的复杂性，以及工作过程中的各种扰动。在这样的情况下，很难找到系统的最大超调量以及稳态时间跟系统质量之间的线性关系。

综合以上分析，考虑在非线性PID控制的情况下，将系统质量分成多段，每段中取一个基准质量，针对每个基准质量整定一次PID参数。这样可以保证在每个小的质量段内均有较好的控制效果，从整体上大大提高了控制效果。

选取质量点为80、130、180、230、280 kg。通过反复试验，整定非线性PID参数时对于不同质量情况，只需适当调整Kd值就可达到较好效果。通过反复试验确定各参数如表3所示，为了便于调节，以及控制系统设计上的便利性，在不同质量情况下只调节参数Kd。

表3 选定质量点下非线性PID控制的参数

参数确定后进行控制系统仿真，仿真设定最大推力2 kN，最大速度1 m/s，仿真结果如图6所示，结果整理见表4。

图6 不同质量下非线性PID响应

表4 系统响应结果

因控制系统参数是针对以上各质量点所整定，从仿真结果可以看出:在各质量点情况下系统超调量几乎为零，达到稳态的时间也很短，最大仅为1.18 s。相比前文中在这几个质量点下最大超调量达到3.5%，稳态时间为2.45 s，提高非常大。控制系统参数是专门针对这几个质量点整定的，保证了这几个质量点情况下的控制效果，对于其他质量点由于未进行参数整定，尝试寻找Kd与m之间的关系。

3.5 线性拟合

前文中将质量变化范围进行分段已经收到了比较好的效果，但是只针对少数几个质量点来调整Kd毕竟难以使系统一直保持最好的响应，于是考虑寻找Kd与m直接的关系。以运动部件质量m为x轴，以Kd为y轴绘制坐标系如图7所示。

从图中可以看出Kd与m之间有很强的线性关系。于是在MATLAB中采用线性回归的方法建立Kd与m之间的函数关系。MATLAB中指令如下:

找到了非线性PID控制的参数Kd与工件质量之间的函数关系后，利用这个函数表达式，可以对非线性PID控制的参数Kd进行动态调整，这样不论运动部件质量如何变化，都有与之相应的Kd值来对非线性PID控制器进行调整。这样可以保证工件质量发生变化时，控制系统始终都能发挥出最好的控制效果。

下面通过仿真来验证其控制效果，取运动部件质量分别为100、150、200和250 kg这4个点进行仿真实验，仿真结果如图8所示。

图7 运动部件质量m与K d之间的关系

图8 不同质量下非线性PID响应

从图中可以看出:在各个质量情况下，系统的超调量几乎均为零，且调整时间也比前文的要短。可见通过线性拟合得到Kd与m的关系，然后动态地调整Kd值能使系统一直保持最佳控制效果。

4 结论

研究了数控机床工作台直线电机伺服系统在承载不同质量的工件时的响应性能，得到以下结论:

(1）验证传统PID控制在工件质量变化时的不足，得到PID控制在系统质量发生变化时无法发挥较好的控制性能的结论。

(2）设计了非线性PID控制来减少工件质量变化对系统响应性能的影响。

(3）找到非线性PID控制的参数Kd与工件质量之间的对应关系，并进行线性拟合得到函数式。

(4）根据函数式对非线性PID控制的参数Kd进行动态调整，使在不同工件质量的情况下均达到了最好的响应性能。

［1］BUDIG P K.The Application of Linear Motors［C］//Proceedings of the Third International Conference on Power E-lectronics and Motion Control，PIEMC2000，2000:1336-1341.

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Research on Machine Table Linear Motor Servo System Response Performance Im pacted by Quality

PENG Zhenzhou，XIONG Jingqi，ZHANG Quanying，WANG Lili
(School of Mechatronics Engineering，University of Electronic Science and Technology of China，Chengdu Sichuan 611731，China）

The workpiece quality that the CNCmachine table hold at runtime is often different and changes in range.The workpiece quality change has great impact on the performance of the linearmotor servo system.The CNCmachine table linearmotor servo system overshoot and adjustment time in case it drove workpieceswith differentquality were analyzed.The relationship between the system overshoot and the workpiece quality was found out.Nonlinear PID controlwas used to suppress overshoot in the case of a certain quality of theworkpiece.And the adjustment timewas cut down.the The corresponding relationship between the nonlinear PID control parameter Kd and workpiece quality was found out.With linear fit，nonlinear PID control parameters could be adjusted.So better response performance can be achieved in differentworkpiece quality.

Linearmotor servo systems；Quality change；Position control；Variable parameter nonlinear PID control

TP273

A

1001－3881(2014）10－006－6

10.3969/j.issn.1001-3881.2014.10.002

2013－04－07

彭振洲 (1987—），男，硕士研究生，主要研究方向为复杂机电系统建模与仿真。E－mail:p.zz@163.com。