莫根林，吴志林，冯杰，刘坤

(南京理工大学 机械工程学院，江苏 南京210094)

0 引言

弹道明胶被广泛地用作人体组织的替代物，用于人体创伤的评估。它具有透明性质，利用高速摄影可以方便地获得弹头在其中的位置和方向信息。实验表明步枪弹在明胶中的翻滚角度能够大于90°，此时小攻角条件下的弹道方程不再适用，需要建立能够描述弹头在大攻角条件下运动的弹道模型［1］。

文献［2］中:假设弹头阻力和速度呈正比，建立了弹头的水平运动方程;假设弹头竖直方向的受力和弹头的转矩仅和弹头的攻角有关，建立了弹头的竖直运动方程和绕质心的转动方程;根据实验数据拟合得到了阻力系数和攻角的关系。Weinacht 等［3］在文献［2］的基础上获得了弹头在任意起始攻角下转动方程的解析解。Peters 等［4］采用修正的伯努利方程建立了弹头质心的水平运动方程，在弹头的平面转动方程中引入了动力矩系数和静力矩系数，建立了力矩系数和弹头外形的联系。文献［5 -6］假设弹头质心的速度方向水平不变、阻力系数CD和法向力系数CN为偏角φ 的函数，利用实验数据对模型假设进行了验证;刘坤等［7］在弹头的平面弹道模型中区分了攻角和偏角的概念，从而平面模型中考虑了弹头竖直方向的运动。上述建立的模型均为平面弹道模型，没有考虑弹头的运动平面和拍摄平面的关系，也没有考虑弹头转动对侵彻过程的影响。

为了获得弹头运动规律，首先需要确定弹头的受力。在靶板的侵彻动力学中，弹头表面和侵彻介质的相互作用力通常用弹头的几何尺寸和动力学参数表示［8］。将接触应力表达为微元速度和靶标强度的方法分别在铝板、混凝土靶、岩石靶和钢板的侵彻实验中得到了有效验证［9-11］。本文将侵彻明胶弹头表面的微元应力表达为微元速度和明胶强度的函数，通过步枪弹侵彻明胶的实验，对该模型进行间接验证。

1 模型

1.1 现象描述

现有步枪弹弹头侵彻明胶过程中会发生失稳翻滚，步枪弹在30 cm 明胶块中的位置和姿态变化示意图如图1所示。

图1 弹头在明胶中的运动过程Fig.1 Penetration process of rifle bullet in gelatin

从图中可以看出，弹头侵彻过程中质心在水平方向和竖直方向均有位移变化，弹头姿态的变化是空间的而不是平面的，弹头攻角能够达到几十度。为了描述弹头在明胶中的空间运动，必须确定弹头任意时刻受到的合力和合力矩。

1.2 模型假设

为简化模型，提出如下假设:

1)弹头为刚性体，不考虑弹头侵彻过程中的弹塑性变形;

2)弹头为旋转体，不考虑其表面划痕等因素的影响;

3)弹头在明胶中的运动时间一般小于1 ms，所以不考虑重力影响;

4)根据文献［9 -11］，假设微元面侵彻明胶时的受力为F，可以表示为

式中:a、c 为力学系数;v 为面元的速度;dS 表示面元的面积;n 为面元的外法线方向。

1.3 几何和动力学参数

旋转体弹头可以看作是一条曲线绕中心线旋转形成的实体。由于曲线可以近似看为微小直线段的组合，因此弹头表面可以看作是很多圆锥面的组合，对弹头表面的受力分析可以简化为对锥面的受力分析。

为了分析锥面上任意位置微元的受力。建立惯性坐标系O'x'y'z'和连体坐标系Oxyz，如图2所示。令O'x'y'z'的基矢量为i'、j'和k'，Oxyz 的基矢量为i、j 和k.采用欧拉角描述连体坐标系相对惯性坐标系的转动，其中φ、ψ 和θ 分别为自转角、进动角和章动角。θ 为Oz 轴与O'z'的夹角，原点O 位于弹头的质心位置，Oz 与弹头的对称轴重合。zt和zb分别为微元顶面和底面的z 坐标，R2和R1分别为微元顶面和底面圆面的半径。锥面上任意z 位置处A 点速度为

式中:vc为质心运动速度;ω 为弹头转动角速度;rA为A 点相对矢径。

图2 锥面和连体坐标系Oxyz 与固定坐标系O'x'y'z'关系Fig.2 Schematic of a frustum of a cone with body coordinate system Oxyz in fixed coordinate system O'x'y'z'

转动角速度ω 可以表示为

式中:ωx、ωy和ωz为角速度在x、y 和z 方向的分量，表达式为

矢径r'A可表示为

式中:r'c为弹头质心的矢径;rA可以表示为

ρ 和δ 分别为rA在Oxy 平面的投影向量的模和投影向量与x 轴的夹角。

采用坐标z 和δ 表示微元的面积dS，可得

A 点的外法线方向n 可以表示为

式中:

将(2)式～(9)式带入(1)式即可求得任意位置点出的受力F.将F 对质心O 点取矩得

1.4 运动方程

根据高等动力学理论［12］，弹头的质心运动方程可以表示为

式中:m 表示弹头质量;x'c、y'c和z'c表示弹头质心在固定坐标系中的坐标;∑Fx'、∑Fy'和∑Fz'为弹头在i'、j'和k'方向所受的合力。

弹头的欧拉运动方程可以表示为

式中:Jx、Jy和Jz分别为弹头绕x 轴、y 轴和z 轴的转动惯量;∑Mx、∑My和∑Mz为弹头绕x 轴、y轴和z 轴的力矩分量。

对(4)式、(11)式和(12)式整理可得x'c、y'c、z'c、φ、ψ 和θ 表示的刚体的空间方程为

式中:k1、k2和k3分别为

利用数值积分，将(1)式和(10)式得到的∑Fx'、∑Fy'、∑Fz'、∑Mx、∑My和∑Mz带入(13)式和(14)式。在初始条件已知的情况下，通过4 阶龙格-库塔法即可得到弹头位置和姿态的变化规律。

2 实验验证

实验中选用10%的弹道明胶，明胶块尺寸为30 cm×30 cm×30 cm，明胶块在使用前在4 ℃保温箱中保温24 h.弹道枪距离明胶块50 m 发射7.62 mm步枪弹侵彻明胶块，通过光电靶测量明胶前1 m 处弹头速度，采用1.5 MHz 帧频的高速摄影从侧面拍摄弹头在明胶中的运动姿态。图3为高速摄影和明胶块在固定坐标系中相对位置示意图。图4为弹头在明胶出口位置的实验图像，可以看出弹头在出口时几乎没有塑性变形，因此可以将侵彻过程中的弹头看作刚性体。

图3 高速摄像机和明胶块在固定坐标系O'x'y'z'中的位置Fig.3 Positions of the high-speed camera and gelatin block in O'x'y'z'

图4 明胶块出口处的7.62 mm 弹头Fig.4 7.62 mm bullet at exit of the gelatin block

模型中的初始参数如表1和表2所示，下标“0”表示相应物理量的初始值，其中弹头的角速度分量通过理论计算得到［13］。由于高速摄影获得的平面图像无法确定三维空间的欧拉角，所以初始欧拉角由试算得到。实验表明空气中弹头欧拉角的取值必须保证弹头的攻角比较小［13-14］，因此弹头侵彻明胶的初始欧拉角必须是一个较小值。根据表1和表2可以得到弹头攻角为3.5°，可以认为给定的初始值是合理的。明胶的力学参数根据钢球侵彻明胶的实验数据拟合得到［15］。

表1 7.62 mm 弹头的初始位移和速度分量Tab.1 Initial displacements and initial velocity components of 7.62 mm projectile

表2 7.62 mm 弹头的初始欧拉角和初始角速度Tab.2 Initial Eulerian angles and initial angular velocities of 7.62 mm projectile

理论计算结果和实验值的比较如图5～图7所示。图5为弹头质心z＇c坐标随时间的变化，最大实验误差7.8 mm，平均实验误差3.1 mm;图6为y＇c随z＇c的变化，最大实验误差2.3 mm，平均误差2.1 mm;图7为弹头在O'y'z'平面投影转角随z＇c坐标的变化，最大实验误差8.9°，平均误差2.3°.可见，实验值和理论值之间的误差较小。

图5 z＇c与t 的关系Fig.5 z＇c vs.t

图6 y'c与z＇c的关系Fig.6 y＇c vs.z＇c

图7 O'y'z'平面投影转角φx'与z＇c的关系Fig.7 Projection angle φx' vs.z＇c on O'y'z'

3 讨论分析

3.1 章动角和平面投影转角

理论计算得到的弹头章动角θ 和弹头在O'y'z'平面投影转角φx'的关系如图8所示。它们的关系可表示为

弹头的平面运动模型中，若假设弹头在高速摄影拍摄平面内运动［4-7］，此时其进动角为0°，从(15)式可知，θ 和φx'的大小相同;在空间运动中，当进动角变化或不为0°时，θ 和φx'将有很大的不同。因此平面模型的实验验证需要确定弹头的运动平面。

图8 投影角φx'和θ 的比较Fig.8 Comparison between φx' and θ

弹头外形在弹尖和弹尾处变化比较剧烈，与该处接触的明胶必然处于应力集中状态。明胶在轴对称膨胀过程中，该处也就较容易产生径向裂纹。显然裂纹方向的变化是由弹头的进动角变化引起的，所以弹头在明胶中进动角的变化可以从明胶中的裂纹方向看出。图9为第2 节中7.62 mm 弹头进动角(理论值)随侵彻距离的变化。图10为明胶中裂纹方向变化形成的裂纹曲面，和图9中的曲线变化相似，明胶中的裂纹方向在0.25 m 前基本不变，在0.25 m 后发生剧烈变化。图10进一步表明了模型假设的合理性。

图9 进动角随z＇c的变化Fig.9 ψ vs.z＇c

3.2 力学系数a 和c

图10 明胶中的裂纹曲面Fig.10 Curved surface of cracks in gelatin block

明胶是一种应变率相关材料。Kwon 等［16］利用单轴压缩实验获得了10%明胶应变率在2 000 ～3 200 s-1之间时，应力与应变的实验数据;Cronin 等［17］通过单轴压缩实验得到了应变率为0.01 s-1、10 s-1、117 s-1和1 552 s-1时，应力与应变的实验数据;Moy 等［18］采用拉伸实验得到了应变率为0.001 s-1、0.01 s-1和1 s-1时，应力与应变的实验数据。上述实验均表明明胶的力学性质与应变率具有较大相关性。对于明胶的本构模型，文献［19 -20］建立了准静态条件下的明胶超弹性本构模型和粘弹性固体模型。

Shepherd 等［21］通过实验获得了冲击速度75 ～860 m/s 时，20% 明胶的雨贡纽曲线。文献［16 -21］中的实验数据是在明胶不存在剪切破坏的条件下获得的。在破片侵彻实验中可以观察到弹道周围的明胶存在明显的剪切破坏，这种破坏对侵彻过程的影响程度尚不清楚。因此不能直接从上述文献中得到10%明胶的力学参数a 和c.

Mo 等［15］采用本文的面元积分方法，对直径3 mm、4 mm 和4.8 mm 球形破片侵彻明胶的实验数据进行了拟合，间接确定了模型中的力学系数。本文力学系数a 和c 的取值与文献［15］相同。实验中破片撞击速度在600 ～800 m/s 范围。对于低速100 ～300 m/s 情况下，明胶的力学系数是否保持不变;明胶力学系数是否和破片外形的关系都有待进一步研究。将在实验中增加对柱形和菱形破片的侵彻研究，并采用不同发射速度研究速度对力学系数的影响。

4 结论

本文在弹头表面受力模型的基础上，分析了旋转体弹头的受力，运用4 阶龙格-库塔法通过求解刚体的空间运动方程，得到了7.62 mm 步枪弹侵彻明胶过程的质心位置、空间姿态变化规律。理论计算值和实验值误差较小，从而间接证明了表面受力模型的合理性。模型中力学系数是从球形破片侵彻明胶的实验中间接得到的，它们随冲击速度、破片外形的影响有待进一步研究。

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