张志超，李 谷，储高峰

（中国铁道科学研究院 机车车辆研究所，北京100081）

综合运用技术

重载列车纵向动力学计算程序综述和研制*

张志超，李 谷，储高峰

（中国铁道科学研究院 机车车辆研究所，北京100081）

介绍了国内外重载列车纵向动力学仿真计算程序的发展概况，对空气制动系统模拟、车钩缓冲装置模拟以及数值积分方法等三个关键问题进行了梳理分析，并提出了作者的认识和见解，为今后的重载列车纵向动力学仿真研究提供了有价值的研究思路。在此基础上，建立了重载列车纵向动力学仿真模型，其中包括改进的缓冲器迟滞特性数学模型，并编制了它的计算程序，介绍了该程序的基本要素和总体构成。

重载列车；纵向动力学；缓冲器；仿真计算；空气制动

重载运输是铁路现代化的一个标志。2006年3月28日我国大秦线成功开行了2万t级重载组合列车，大幅度提高了大秦铁路的运输能力，成为世界上年运量最高的重载铁路，为实现国家铁路货运持续发展打下了坚实的基础［1］。2014年4月铁路总公司组织太原铁路局、中国铁道科学研究院等单位成功完成了大秦线3万t级的重载组合列车综合试验，为3万t重载列车的成功开行提供了技术储备。发展重载运输是铁路扩能提效的一个有效途径，已成为我国铁路货运的发展方向。然而，随着重载列车轴重和编组长度的增大以及列车速度的提高，在变化工况时各机车车辆不能同步操纵，前部车辆和后部车辆之间的速度差增大，这势必造成十分严重的纵向冲动，产生很大的纵向车钩力。另外，列车长度的增加还会使得列车所占的线路纵横断面复杂不一，整个列车的受力情况要比一般列车复杂得多。这些因素都使得重载列车发生脱轨、断钩、脱钩等重大事故的可能性要远大于一般列车。因此，重载列车的纵向动力学问题研究对其运行安全性就显得尤为重要。

长期以来，线路试验和数值仿真一直是重载列车纵向动力学问题研究的重要手段［2］。作为重载列车正式开行的前提条件，线路综合试验可以取得大量实测数据，但它需要耗费庞大的人力和物力，涉及线路、信号、供电、列车技术装备等诸多环节和因素，并且试验方案受到试验次数和危险工况的限制。近些年，随着计算机技术的飞速发展，重载列车的仿真技术在重载运输的发展中得到了广泛应用。高性能的数值仿真技术可有效地弥补综合试验研究的不足，它不仅具有速度快、经费少的特点，而且可以模拟不同的列车编组和线路条件、机车车辆结构条件以及实际试验无法实现的各种危险工况，既节约大量试验的人力和物力，又有助于提高试验方案设计的科学性和试验结果分析的准确性。不仅如此，通过仿真计算还可以研究列车操控、制动系统和钩缓装置等对列车动力学性能的影响，从而为列车操控优化和各系统结构改进提供技术支撑。综上所述，大力发展重载列车纵向动力学仿真技术对于提高重载铁路运输能力和保障重载列车运行安全具有现实意义。

1 列车纵向动力学计算程序国内外研究概况

1.1 国外研究概况

重载列车纵向动力学计算程序不仅可以模拟各种列车编组和线路条件、机车车辆技术装备条件下的运行过程，而且可以在列车线路试验之前进行不同列车编组、试验工况甚至装备条件的多方案比选和预测。20世纪60年代以来，随着计算机和新型计算技术的出现及广泛的应用，列车纵向动力学的研究有了迅速的发展，理论研究不断深化，研究成果逐渐转为实用的仿真程序，在国外具有代表性的计算程序主要有以下几种［3］：

（1）TPC（Train Performance Calculator）程序，它是美国的N.W.Luttrell于1973年为配合TTD（Track-Train Dynamics）研究计划而编制的纵向动力学简化程序，可以计算由内燃机车牵引货物列车的速度和距离，可以估算车钩力，还可以估算由于通过曲线而产生的横向力与垂向力的比值。

（2）DTAM（Detailed longitudinal Train Action Model）程序，它是由美国铁路协会AAR（Association of American Railroads）为研究和模拟列车纵向力而研制的，不仅可以适用于装有普通或车端缓冲器的车辆，而且可适用于装有滑动中梁的车辆，它采用了3种积分方法：Hamming方法、四阶R-K及Newmark-β法，其计算结果得到了SP环线列车试验的检验。

（3）TOS（Train Operations Simulator）程序，它是TFD研究计划的一部分，主要用于脱轨事故调查、列车组成的研究、牵引动力的选择、列车操纵的训练工具、信号间隔的确定以及定线设计。

（4）TDA（Train Dynamics Analyzer）程序，它是完全实用化了的固定装置。它不仅具有列车动力分析所必需的计算程序，而且配备有专用的小型计算机系统、显示系统和司机控制台。模拟与试验对比研究的结果表明：在实时基础上TDA模拟具有相当大的准确性。

1.2 国内研究概况

我国在“七五”及“八五”期间，国家立项对重载列车系统动力学进行了系统深入的研究，取得了多项研究成果，为发展铁路重载运输打下了理论基础。其中具有代表性的研究工作如下：

（1）中国铁道科学研究院于1985年成功开发了我国第一套列车纵向动力学仿真软件Train Operation Simulation，并将其改为微机版本的列车纵向动力学计算程序TOSPC。该软件经过近些年多次的应用被不断发展和完善［4-8］，它的主要功能包括：①具有完整的列车牵引计算功能，可以进行重载组合列车牵引计算；②具有实时动态显示仿真计算结果的功能，提供列车操纵运行图，便于应用和分析；③可以精确模拟不同列车编组情况、线路条件、机车车辆技术装备条件，包括大秦线重载列车所采用的Locotrol（列车无线同步遥控装置）技术；④可以与试验结果进行互补和互为验证，特别是补充提供更多的数据，如所有钩位纵向力和纵向加速度的时间历程等；⑤可以对比机车黑厘子记录的数据，反演重载列车的实际运行情况和进行故障分析。

（2）大连交通大学魏伟课题组在重载列车空气制动系统仿真方面做了许多卓有成效的工作［9-14］。他们采用气体流动理论，将列车空气制动系统视为由主管和支管连接多个具有容积气缸的模型，管内气体流动由一维非稳定、不等熵、有热传导的气体流动连续方程、动量守恒方程和能量守恒方程来描述，各气缸内气体状态通过定容积开口系统热力学第一定律来计算，并采用特征线方法将系统偏微分方程在特定方向上转化为常微分方程，再通过数值计算方法求解。他们利用该方法研究了不同编组情况下列车在常用制动、紧急制动以及缓解情况下制动系统内气体状态的变化。在此基础上，他们还开发了一套列车空气制动和纵向动力学联合仿真系统，该系统具备同步仿真列车制动系统和纵向动力学的功能，并且还具有良好的制动特性、车钩力、加速度等参数的同步计算、数值显示及图形显示功能。

（3）西南交通大学在“七五”期间主持了国家重点科技攻关项目——重载列车动力学研究，并基于比较详细的动力学模型建立了针对我国列车条件的纵向动力学模型，且编制了相应的计算程序［15-19］，该程序能在当时的计算条件下较好地完成复杂的列车纵向动力学计算。近些年，池茂儒等［20］基于循环变量的模块化建模方法建立了三维长大重载列车动力学分析模型，解决了自由度太过庞大的难题，能够实现重载列车各机车车辆垂向、横向和纵向动力学的综合计算功能，充分考虑了各机车车辆3个方向间的动力学耦合作用。但该方法的有效性和实用价值有待实际应用的验证。

（4）北京交通大学也针对列车纵向动力学问题进行了相关研究工作［3，21］，其中丁莉芬［3］提出了一个基于非惯性坐标系的车钩缓冲系统模型，建立了基于有限元和多体理论的重载货车空气制动系统数学模型，完善了列车纵向动力学问题的研究理论和方法。

2 列车纵向动力学仿真计算的关键问题

列车纵向动力学计算是一个涉及机车牵引制动、各机车车辆空气制动、车钩缓冲装置、列车编组、运行操控、线路条件、数值计算方法等多方面的复杂问题。其中最为关键的问题集中在列车空气制动系统模拟、车钩缓冲装置模拟和数值积分计算3个方面。

2.1 列车空气制动系统模拟

目前，我国重载运煤列车都是由西部的高海拔地区向接近海平面的沿海港口地区运行，在其中的长大下坡区段，牵引机车都需要在发挥最大电制动力的同时多次施加小减压量的循环空气制动才能控制列车运行速度，因此这些制动工况下重载列车制动不同步所引起的纵向冲动和运行安全性问题便成为开行重载列车的核心问题之一［22］。

准确模拟重载列车的制动工况是以具有准确的空气制动力输入为前提的。目前国内外学者对于空气制动力的计算主要有两种方法：一是采用等波速传播的制动特性，二是以气体流动理论为基础的制动系统仿真工作。

文献［4-8，15-21］中都是采用第一种研究方法，他们不考虑机车车辆位置、机车排风负荷差别、列车管泄漏等各种因素的影响，将制动波速假设为常值。在此假设下各机车车辆制动延时取决于它与机车的距离，各制动机模型主要根据具有实际经验的专家知识或试验数据来建立，闸瓦处的制动力通过制动缸压力和闸瓦摩擦系数来得到。整个过程可分为制动信号传递（制动波速）、空气制动压力变化（制动缸升压）和制动力的产生（基础制动）3个子程序来模拟。这种方法相对简单，易于编程计算，制动力输入计算不会花费太多时间，但是由于它是一种没有考虑各种外界因素影响的理想状态，所以计算制动力会存在一定的误差。

文献［9-14，22-24］中都采用了第2种研究方法，他们将包括列车管、制动缸、副风缸、三通阀等在内的空气制动系统考虑为连续流动气体，利用气体流动理论建立非稳定流动气体状态方程以及边界条件，进而通过数值方法计算各个时刻各机车车辆的列车管压力、制动缸压力等，最后通过基础制动装置和闸瓦摩擦系数来得到空气制动力大小，并将其输入到列车纵向动力学计算主程序中。其中，魏伟等［9-14］认为空气制动系统中的管路均为细长管，即管直径与长度相比很小，从而忽略了管内气体的横向流动效应，将其视为一维的、有摩擦的、非等嫡不定常流动的连续气体。而刘金朝等［23-25］应用计算流体动力学中的有限体积法建立了货物列车空气管系的三维充气特性模型，能够同时求解主管、支管的压力和速度，避免了一维模型中人为解耦不当而出现的问题。这些方法能够更为真实地模拟列车空气制动系统的实时状态，所得制动力相对更准确，但是由于这种空气制动系统仿真计算步长较列车纵向动力学仿真计算步长更小，其计算代价较大。

这两种研究方法各有特点，对于列车纵向动力学计算来说，哪种方法更适合主要取决于两个问题的解答：（1）相同制动工况下采用两种方法计算所得空气制动力存在多大差异？（2）二者之间的这种差异对整个列车的纵向动力学性能有多大的影响作用？

2.2 车钩缓冲装置模拟

车钩缓冲装置作为传递和缓和列车运行过程中或在调车时所产生的纵向力和冲击力的装置，在列车的运行过程中发挥着极其重要的作用，是重载列车关键技术之一。缓冲器的性能直接影响着列车牵引总重、运行速度、车辆的总重、编组作业效率、货物完好率等涉及铁路运输效能的主要技术经济指标。因此，在列车纵向动力学模拟中，车钩缓冲装置动力学模型的准确性至关重要。

图1是车钩缓冲器特性曲线示意图。车钩缓冲装置具有两个典型的力学特征：（1）无论车钩承受拉力还是压力，缓冲器本身都是受压的，即车钩缓冲装置具有相同的拉压特性；（2）缓冲器的加载阻抗特性曲线和卸载阻抗特性曲线不一致，具有非线性迟滞特性。因此，缓冲器的数学模型应该包含这两个力学特征，并同时考虑车钩间隙、缓冲器初压力、底架刚性冲击等因素。另外，当缓冲器在加载和卸载之间转换时，其阻抗力会发生跳跃，从而引起开关效应，这往往会造成求解速度大幅度降低，有时甚至会使问题无解或者多解。因此，在缓冲器阻抗力发生跳跃突变时应该进行一定的过渡处理，从而保证计算求解的连续性和有效性，并提高计算效率。以下是几种较为常用的缓冲器数学模型。

文献［4-6］借助描述车辆悬挂系统悬挂力的数学方程来模拟MT－2型缓冲器的干摩擦阻尼迟滞特性，所建立车钩力的数学方程为

式中Ft为当前时间步长的车钩力；FENVt为对应于缓冲器加载或卸载时的阻抗力；β为控制上下边界力连线变化率的控制参数，其值应根据试验图选定。通过β调整加载和卸载阻抗力两端连线的变化程度，β愈大，连线变化愈平缓；β愈小，则其变化愈陡。

吴庆等［26-27］将缓冲器加载与卸载特性定义为两个缓冲器行程的函数fu（x）和fl（x），如图1所示，假定在某一特定行程下缓冲器的迟滞力为

为了对加载和卸载阻抗力切换时进行过渡处理，定义了一个缓冲器阻尼迟滞特性的卸荷速度，它的作用是确定缓冲器恢复力在加载特性与卸载特性函数间切换的速率。引入符号函数sign（v），则可以得到钩缓系统数学模型

其中Δv为被连接的两车体相对速度；f（x）视不同工况取fu（x）或fl（x）。

齐朝晖［28］利用接触力学方法，给出了摩擦式缓冲器阻抗力与缓冲器行程变化率之间的关系；根据处理静摩擦开关效应的相关理论，提出一种处理阻抗力曲线间断点的实用方法。

总体来看，这些缓冲器数学模型都是基于非线性的缓冲器加载和卸载曲线建立的，它们的不同主要体现在对加载和卸载时阻抗力突变的过渡处理方法上。这些数学上的处理方法能有效提高数值积分计算的连续性和高效性，但对列车纵向动力学影响更为显著的应该是缓冲器加载和卸载曲线，这些特性曲线的准确性直接影响着仿真计算结果的准确程度。一般来说，缓冲器特性曲线可根据缓冲器静压试验、落锤试验得到，也即缓冲器静态特性或准静态特性；也可以通过列车动力学试验来得出，即缓冲器动态特性。利用动态特性，可以更加真实地反映缓冲器性能，应该充分地利用重载列车综合试验的试验数据来拟合得到各种运用缓冲器的动态特性曲线，从而有效提高仿真计算的准确性。

2.3 列车纵向动力学数值积分方法

列车纵向动力学方程是一个非常复杂的非线性方程，它包含许多非线性因素，如缓冲器的非线性阻抗特性、车钩间隙、牵引与制动的非线性工作特性等。目前，求解非线性动力方程主要采用直接数值积分方法，工程应用的动力响应直接积分方法分为显式和隐式两大类：常用的隐式方法有Newmark-β法、Wilson-θ法和Houbolt法；常用的显式方法有中心差分法、具有梯形法则的二循环迭代法、Newmark快速显式积分方法以及预测—校正积分方法［16-17］和精细积分方法（PIM）［29-30］。

翟婉明［16-17］基于Newmark方法发展了一类新的显式二步积分方法和另一类预测—校正积分方法，这两种方法均可以是“自起步”的，无须附加初始值计算程序，并且积分过程简捷，尤其是积分中只要质量矩阵为对角阵而不管阻尼阵的形式如何，均可不解高阶方程组，可大大提高积分速度，适用于大型非线性动力学问题的数值计算及动态仿真。常崇义［5］等提出了一种基于Newmark-β的高精度平衡迭代算法来求解重载列车系统纵向动力学响应，具有较好的精度。另外，钟万勰［29-30］提出了一种无条件稳定的显式逐步积分方法——精细积分法（PIM），其积分步长的选取不受结构自振特性的制约。这种方法已经解决了许多系统非线性求解问题，可以尝试将其应用于重载列车纵向动力学的积分计算中。

重载列车纵向动力学计算往往规模庞大，长大重载组合列车中机车车辆能达到数百辆之多，而且为了模拟列车起动牵引、循环制动等工况，常需要连续计算“列车运行数百秒”的工况；并且大量存在的非线性因素更加大了计算难度。因此，列车纵向动力学积分计算方法必须做到精确高效，只有这样才能适应重载列车纵向动力学计算分析的需要。

3 重载列车纵向动力学计算程序

本文在现有研究成果的基础上建立了重载列车纵向动力学模型，各机车车辆纵向作用力包括机车牵引力、机车电制动力、列车空气制动力、前后车钩力、列车运行阻力等，其中钩缓系统采用改进的具有迟滞特性的数学模型，系统动力学方程采用Newmark显式积分方法［16-17］进行求解。

3.1 重载列车纵向动力学模型

重载列车纵向动力学模型如图2所示，一般取单节机车车辆为一个分离体，假设只具有纵向自由度的单质点模型，整列车的自由度等于组成列车的机车车辆的总辆数n。

图3给出了其中第i节车辆的受力分析示意图，根据达朗贝尔原理可以得到它的纵向动力学微分方程为

其中mi为第i节车辆的质量；xi、˙x和¨x分别为第i节车辆的纵向位移、纵向速度和纵向加速度；F为第i节车辆所受的前车钩力，当i＝1时为第i节车辆所受的后车钩力，当i＝n时为第i节车辆的运行阻力，包括运行阻力、坡道阻力、曲线阻力和起动阻力等；为牵引力，仅作用于牵引机车；为电制动力，仅作用于机车；F为第i节车辆空气制动力，作用于机车车辆。

根据《列车牵引计算规程》［31］，重载列车纵向动力学方程中的机车牵引力可根据机车牵引特性曲线、机车牵引操控信息以及机车运行速度来确定；机车电制动力可根据机车电阻或再生制动特性曲线、机车制动操控信息以及机车运行速度来确定；列车的运行阻力也可按照相应的计算公式来确定。

3.2 钩缓系统数学模型

如图2所示，根据缓冲器的物理特性，其阻抗特性可分为非线性的刚度特性和迟滞特性两部分，即缓冲器阻抗力可以由表征刚度特性的弹簧力和表征迟滞特性的迟滞力组成。因此，可将某一特定行程x下的弹簧力fk和迟滞力fhys分别定义为

当缓冲器在加载和卸载之间转换时，其阻抗力会发生跳跃，在此通过定义切换速度ve来对其进行数学上的过渡处理。当耦合的两连接点相对速度|Δv|≥ve时，缓冲器迟滞力为fhys；当|Δv|＜ve时，其迟滞力定义为

引入符号函数sign（Δv·x），可以得到缓冲器的数学模型

其中FC（x，Δv）为当前缓冲器作用力。将式（6）～式（8）代入式（9）便可得到缓冲器的数学模型

如前所述，采用缓冲器的动态特性曲线，能够更好地反映缓冲器的实际工作性能。因此本文通过对大量的重载线路试验实测数据进行拟合插值处理，来得到多种缓冲器的动态特性曲线。图4给出了由某次重载试验的实测数据拟合插值得到的QKX100胶泥缓冲器阻抗特性曲线。

3.3 列车空气制动力

本文采用制动波等波速传递的方法来计算空气制动力。某一时刻，在各机车车辆的车轮上所产生的空气制动力取决于制动装置、制动管减压量、制动延时和该车辆距机车的距离。制动装置的特性决定着列车管中压力曲线的形状；列车管减压量决定着能在闸瓦上产生的最大制动力；制动延时标志着制动系统的反应速度；车辆位置则决定着该车开始制动的时间。

列车第i节车辆的空气制动力按下式计算

其中Nwi为第i节车辆的轮轴数量；Ki为第i节车辆的闸瓦压力；μKi为第i节车辆的闸瓦与车轮间的摩擦系数。

根据《列车牵引计算规程》［31］，闸瓦压力有两种计算方法：实测闸瓦压力计算法和换算闸瓦压力计算法。换算计算方法是一种简化算法，它以每节机车车辆的制动力数值保持不变为前提进行换算。与实测闸瓦压力计算法相比它不需要机车制动装置计算传动效率、制动倍率、制动缸数等参数，程序编写相对简单，因此本文采用换算闸瓦压力计算法。类似地，闸瓦摩擦系数也分为实测摩擦系数和换算摩擦系数，这里采用换算摩擦系数。

在计算第i节车辆的空气制动力时，首先根据第i节车辆距机车的距离和压力波传播速度来确定其制动延时；然后由列车管减压量来确定制动缸最大压力，并由制动缸升压曲线给出当前时刻的制动缸压力，计算出换算闸瓦压力；再根据车辆速度和闸瓦类型计算出换算摩擦系数；最后由式（11）计算出该车辆的空气制动力数值。

3.4 重载列车纵向动力学计算程序结构框架

根据重载列车纵向动力学模型编制仿真计算程序，其结构框架图如图5所示。图中虚线框内的3个子程序为计算参数输入子程序，其中列车参数子程序主要输入各机车车辆的长度、质量、类型、编组情况等，列车操控信息子程序主要输入机车牵引和电制动的操控信息、各机车Locotral同步时间、空气制动波速等，列车阻力参数子程序主要输入基本阻力、坡道阻力和曲线阻力的计算参数。

4 结束语

随着重载铁路运输的快速发展，重载列车的运行安全性问题始终是最急需解决的问题。重载列车纵向动力学仿真计算对于研究重载列车的纵向冲动、牵引制动特性、钩缓稳定性等都具有重要的作用。本文在梳理国内外列车纵向动力学计算程序发展的基础上，对空气制动力模拟、车钩缓冲装置模拟和数值积分方法等3个关键问题进行了分析。除此以外，本文提出了缓冲器迟滞特性的改进数学模型，建立了重载列车纵向动力学运动方程并编制了计算程序，最后介绍了该程序的结构框架。

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Summary and Development of the Longitudinal Dynamic Calculation Program for Heavy Haul Trains

ZHANG Zhichao，LI Gu，CHU Gaofeng
（Locomotive＆Car Research Institute，China Academy of Railway Sciences，Beijing 100081，China）

The development of the heavy haul train longitudinal dynamic calculation program at home and abroad is summarized and introduced firstly in the paper.Then the key problems of the train air brake simulation，the coupler and draft gear simulation and numerical integration method are discussed and analyzed，and some valuable suggestions are given for the further research.On this basis，the train longitudinal dynamic model and its calculation program including the improved non-linear draft gear mathematical model are established and introduced in detailed finally.

heavy haul train；longitudinal dynamic；draft gear；simulating calculation；train air brake

U260.13；U292.921

A

10.3969/j.issn.1008－7842.2014.06.01

1008－7842（2014）06－0001－07

*国家自然科学青年基金资助项目（11202245）

2—）男，助理研究员（

2014－04－24）