唐方旭

(天津财经大学珠江学院基础课部，天津，301811)

一、引言

定积分起源于求图形的面积和体积等实际问题。古希腊的阿基米德用“穷竭法”，我国的刘徽用“割圆术”，都曾计算过一些几何体的面积和体积，这些均为定积分的雏形。直到17世纪中叶，牛顿和莱布尼茨先后提出了定积分的概念，并发现了积分与微分之间的内在联系，给出了计算定积分的一般方法，方使定积分成为解决有关实际问题的有力工具，并使各自独立的微分学与积分学联系起来，构成完整的理论体系——微积分学。

二、定积分的定义

定义1[1]设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，用(a,b)内的n-1个分点

a=x0

故Dirichlet函数在[0，1]上不可积。

例3 何时有λ→0⟺n→∞?

利用此公式可以计算一类极限问题。

定义2[2]设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，将[a,b]区间进行n等分

三、定积分定义的应用

利用定积分定义求解一类极限问题。

理论依据：设函数f(x)在区间[0,1]上可积分，则

实例分析：

分析：将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限。若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0，1]n等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限。

例4[4]极限

=________

例5 求极限

四、小结

[1] 卢兴江，金蒙伟.微积分[M].杭州：浙江大学出版社，2012.

[2] 柳洁冰，张宏亮.关于定积分定义及可积条件的讨论[J].科教文汇：上旬刊，2011(3).

[3] 陈仲.高等数学竞赛题解析教程[M].南京：东南大学出版社，2010.

[4] 田勇.硕士研究生入学考试历年真题解析：理工数学二[M].北京：机械工业出版社，2002.

[5] 张瑜.21世纪高职高专课程改革新教材：高等数学竞赛教程[M].苏州：苏州大学出版社，2009.