马 季，吴向尧*，刘晓静，巴 诺，张斯淇，李 宏，郭义庆

(1.吉林师范大学 物理学院，吉林 四平 136000；2．中国科学院 高能物理研究所，北京 100049)

0 引言

1987年Yablonovitch和John分别独立提出光子晶体(photonic crystal)概念[1-2]，它是一种折射率呈周期性排布的介电结构．光子晶体最显著的特征是存在光子带隙，也就是说光子晶体对于某些频率的光而言是“禁止”通过的，从而使其在新科技中有很大的应用价值.例如，抑制和增强自发辐射、非线性光子晶体限幅器、光波束分裂与合成、非线性激光器、通信传输、光子开关及光脉冲压缩器等．根据光子晶体的结构可分为一维光子晶体，二维光子晶体，三维光子晶体．它的诸多的新奇的光学传输特性已经受到广泛关注[3-6].近年来许多专家学者投身于光子晶体实验和理论的研究[7-9]．光子晶体和半导体在基本模型和研究思路上有许多相似之处，事实上人们可以通过设计和制造光子晶体及其器件，达到控制光子运动的目的，这就使得人们操纵和控制光子的梦想成为可能[10-11]．在本文中，我们详细地讨论了一维新型线性函数光子晶体的光学传输特性，即研究了光子晶体透射率和频率之间的关系以及正反入射时光子晶体内电场的分布情况．由文献[12]中提出函数光子晶体的概念，本文在它的基础上，提出了新型线性函数光子晶体，即折射率是空间位置的线性函数．本文具体研究的是线性折射率函数的一维函数光子晶体，研究了一维函数光子晶体相对的透射率特性及电场强度在一维函数光子晶体中的分布，从而得到一些不同于常规光子晶体和特殊函数光子晶体的新的结论．

1 光在函数光子晶体中的运动方程

光在一维函数光子晶体中折射率为n=n(z),其运动轨迹为xz平面上是曲线．入射光入射到介质分界面上的A点，曲线AB和BC分别表示光在介质中的入射路径和反射路径，如图1所示.

图1 光在一维函数型介质中的传播路径

光的运动方程可以由费马原理得到:

(1)

(2)

(3)

把方程(3)转换成:

(4)

对于A和B两个端点，它们变化为零，即δz(A)=δz(B)=0，对于任意变量dz，方程(4)可以转换为:

(5)

简化方程(5)得:

(6)

方程(6)即是光在一维函数型介质中的运动方程．

2 光子晶体传输矩阵及电场分布的推导

图2 在任意介质层中光传播的情况

在两种介质的交界面处，由边值关系知：

(7)

用此方法计算出射面得到：

(8)

(9)

(10)

以上，xA是A在x轴方向的投影，xB是B在x轴方向的投影，介质的光学厚度用b表示．

对方程(6)两边积分：

(11)

得：

(12)

(13)

Ei2=Et1eiδb

(14)

其中：

(15)

相类似的，

(16)

(17)

(18)

其中:nb(0)=nb(z)|z=0,nb(b)=nb(z)|z=b

图3光在光子晶体中的传输图示

由上面的推导，我们可以设计一维一般函数光子晶体，其结构如图3所示．两介质层的厚度分别为a、b．折射率分别为na(z)、nb(z)，同上，得到介质层A的传输矩阵为：

(20)

其中：

(21)

(22)

(23)

(24)

这样便得到一个周期的传输矩阵M为：

M=MB·MA

(25)

当nb(z),na(z)分别为常数时，M矩阵(25)就与常规光子晶体M矩阵完全相同．

一般函数光子晶体中的方程为：

(26)

由方程(26)得到透射系数t为：

(27)

透射率为：

T=t·t*

(28)

图4 光在线性函数光子晶体中的传输示意图

光在一般函数光子晶体中传输的电磁场示意图如图4所示．基于上述传输矩阵原理，我们还可以研究在光子晶体中的光电场分布，可写为:

(29)

由方程(29)得到：

方程(30)中n0=1．根据Et=E0i·t，有:

(31)

电场分布公式为：

(32)

3 数值分析

通过上面的理论计算，我们可以对一般函数型光子晶体的透射率及其电场分布进行研究．折射率分布函数为：

(33)

(34)

图5 线性函数光子晶体折射率函数分布曲线

在下面所有计算中，主要参数取为：nb(0)=na(0)=1.2，nb(b)=na(a)=1．48，即取图5所示的折射率线性分布函数．入射角θ=0，中心频率ω0=1.216×1015Hz，介质层A、B的厚度为b=a=161.46 nm，周期数N=16．

图6光正入射时一般函数光子晶体的透射率曲线图7光反入射时一般函数光子晶体的透射

图8光正入射时的电场分布图9光反入射时的电场分布

4 结论

综上所述，我们提出了一种新型线性函数光子晶体，它的折射率是空间位置的函数．通过计算，我们得到一些不同于常规光子晶体的新的结论:(1) 当介质层A、B折射率分布函数为线性增加时，函数光子晶体透射率大于1；(2)当介质层A、B折射率分布函数为线性减小时，函数光子晶体透射率小于1；(3) 当光正入射时，电场强度得到显著地增强，实现了光的放大．当光反入射时，电场强度得到明显减弱，实现了光的衰减．由于正入射时光放大，反入射时光衰减，因此该函数光子晶体可作为光子二极管．可见，函数光子晶体可以用来优化设计光学器件，因此具有广阔的应用前景．

[1]Yablonovitch E.Inhibited spontaneous emission in solid-state physics and electronics[J].Phys.Rev.Lett,1987,58(20):2059～2062.

[2]S.John.Strong localization photonsin certain disordered dielectricsuper-lattices[J].Phys.Rev.Lett.,1987,58(23):2486～2489.

[3]胡明列,宋有建,刘博文,等.光子晶体光纤飞秒激光技术研究进展及其前沿应用[J].中国激光,2009,36(7):1660～1670.

[4]倪培根.光子晶体制备技术和应用研究进展[J].物理学报,2010,59(1):340～350.

[5]王清月,胡明列,柴 路.光子晶体光纤非线性光学研究新进展[J].中国激光，2006,33(1):57～66.

[6]刘晓静,李 娜,张斯淇,等.一维新型阶梯函数光子晶体透射特性[J].光子学报,2012,41(10):1193～1199.

[7]M.Scalora,J.P.Dowling,C.M.Bowden,et al.The photonic band edge optical diode[J].J.Appl.Phys.,1994,76(4):2023～2026.

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[9]巴 诺,王清才,刘晓静,等.一维正弦型函数光子晶体带隙结构研究[J].吉林师范大学学报(自然科学版),2012,33(1):34～37.

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[12]王光怀，王清才，吴向尧,等.一维函数光子晶体的研究[J].物理学报，2012,61(13):1342081-1～11.