多元函数插值格式的构造方法

2014-01-15崔利宏王晓婉杨一浓

吉林师范大学学报（自然科学版） 2014年2期

崔利宏，王晓婉，杨一浓，鲍焕

(1.辽宁师范大学数学学院，大连 116029;2.大连理工大学数学学院，大连 116029)

1 引言

多元插值问题是计算数学领域中一个非常重要的基本问题,同时也是一个经典的数学问题,在计算数学中占据着核心地位．由于多元插值在许多科研领域有广泛的应用,因此多元插值问题的研究也越来越受到人们的重视．但是,传统的多元差值格式的构造方法，其中的公式十分繁琐,计算量又很大,单纯依赖便携式计算器或手工操作是远远达不到科研生产需要的，因此如果能够使用计算机来解决插值问题的一个很重要的手段,本文就是利用MATLAB数学软件来实现多元插值．

本文参考[1，2]中给出了多元插值问题的定义,提出了文章研究的课题；参考文献[3,4]给出的适定结点组存在性和唯一性的相关定理,并给出了选取适定结点组的几种方法,为下文具体示例中选取适定结点组用MATLAB软件来实现插值做理论铺垫；借鉴文献[5，6],本文选择适当示例用MATLAB软件[7]编程得以实现多元插值格式,并给出了相应插值多项式及被插函数的图像,以便直观地观察插值的效果．

1.1 多元多项式函数插值问题提法

定义1[1]设P1(x,y),P2(x,y),…，Pk(x,y)是一组线性无关的实系数二元多项式

P=Span{P1(x,y)，P2(x,y)，…，Pk(x,y)},

D是R2上的有界闭区域,f∈C(D)q1…qk,是D中互异的点.二元多项式插值问题,寻找p∈P,使得下述插值条件被满足:

p(qi)=f(qi)，i=1,…,k

(1.1)

这样的多项式p(x,y)称为f(x,y)在P中的插值多项式,q1,…,qk称为插值结点.

1.2 多元插值多项式存在性讨论

定义1[3](Haar定理)设S是欧式空间Rn(n≥2)中包含一个内点q的点集.设φ1,φ2,…,φn(n>1)定义于S上,且其中每个函数均在q的一个邻域内连续,则这个函数组在S上不是唯一可解的．

根据Haar定理,在构造多元插值多项式时,插值结点组的选取是一个关键的问题,因为并不是对于任意给定的插值结点组,多元插值多项式都是存在并且唯一的,为求得插值多项式,首要的问题就是选择插值结点组q1,…,qk,使得插值问题(1.1)的解存在并且唯一．

定义2[8-9]若对任意给定的被插函数f(x,y),插值问题(1.1)的解均存在并且唯一,则称q1,…,qk是空间P的适定结点组.

引理1[2]点组q1,…,qk是空间P的适定结点组,必须且只须该点组不在P中的任何一条代数曲线上．

2 主要定理及其证明

关于Pn的适定结点组的选取问题本文给出下列构造方法．

定理2(多元插值函数适定结点组构造方法)若q1,…,qk是Pn的适定结点组,且它们的每个点都不在某条l次(l=1或2)不可约代数曲线q(x,y)=0上.则将在该曲线上任取的(n+3)l-1个不同点与q1,…,qk放在一起,必构成空间Pn+l的一个适定结点组．

3 适定结点组的构造方法

利用定理2可以构造出一系列的适定结点组,例如有以下构造Pn的适定结点组的几个方法:

3.1 直线型结点组

第0步:在R2上任取一点Q1作为结点，

第1步:在R2上任做一条直线l1不通过点Q1,在其上任取两个互不相同的点作为新增加的结点，

………………….

第n步:在R2上任做一条直线ln不同过前面已经选好的点,在其上任取n+1个互不相同的点作为新增加的结点，

图1 添加直线法

图2 添加圆锥曲线法

当n步完成时所得到的的结点组记为Tn,并称它为直线型结点组.根据定理2显然Tn是Pn的适定结点组．(例如图1的取法)

3.2 弧线型结点组

第0步:在R2上任取一点Q1作为结点，

第1步:在R2上任做一条二次不可约曲线l1(可以是椭圆、双曲线或抛物线)不通过点Q1,在其上任选5个互不相同的点作为新增加的结点，

……………….

第n步:在R2上再做一条二次不可约曲线ln不通过前面已经选好的点,在其上任选4n+1个互不相同的点作为新增加的结点，

当n步完成时所得到的的结点组记为H2n,称为2n次弧线型结点组． (例如图2的取法)

定理3H2n是P2n的适定结点组．

证明显然,H2n是P2n的插值结点组.下面只需要证H2n的适定性.用数学归纳法.当n=0时命题显然为真.现在假设命题对n=k为真,来证对n=k+1也为真.用反证法,假若不然,则根据引理2,H2(k+1)必在P2(k+1)中的某条代数曲线

P(x,y)=c00+c10x+c01y+…+c2(k+1)0x2(k+1)

+…+c02(k+1)y2(k+1)=0

设Ik+1的方程是:

Q(x,y)=α00+α10x+α01y+α11xy+

α20x2+a02y2=0

由于它是一条二次曲线,故其二次项系数不全为0,并且如果它不是P(x,y)=0的分量,则根据Bezout定理,它至多和P(x,y)交于4(k+1)个点,但是按照我们的选点规则,lk+1包含4(k+1)个H2(k+1)中的点,也就是说,它与P(x,y)=0有4(k+1)个交点，这就发生了矛盾．因此lk+1一定是P(x,y)=0的分量,从而有分解式:P(x,y)=Q(x,y)P1(x,y)其中P1(x,y)是2k次多项式.由选点规则知,lk+1不通过第k+1步以前所选取的点,因此P1(x,y)=0通过结点组H2k,由引理2,此处的H2n在P2k中不适定,矛盾.故此，该命题得证．

图3 例一的示意图(一次插值)

图4 例一的示意图(二次插值)

图5 例一的示意图(三次插值)

推论1以一点O为圆心做n个不同的同心圆周,在每个圆周上分别取5,9,13,…,4n+1个不同的点,则这些点和点O就作定了P2n中的一个适定结点组．另外添加直线法和添加弧线法可交替使用．一般地,若已知Pn的一个适定结点组Tn,则在不通过Tn的任何一条i次(i=1或2)曲线上再取2(n+1)个点,便可构成Pn+1的适定结点组Tn+1．

注记1[8-9].以上给出的构造多元函数插值适定结点组的方法是与要插值的函数无关的；也就是说只要在实际科研生产中给定了要插值的函数，按照我们给出的构造插值结点组的方法，就一定能够构造出唯一的插值多项式来，通常，只要插值的函数不同，所构造出的插值多项式函数也会不同．