朱 宏,李 晗，付 军*

(1.吉林师范大学 计算机学院，吉林 四平 136000;2.吉林师范大学 数学学院，吉林 四平 136000)

1 问题的提出

种群系统的最优控制问题一直被生物数学工作者所关注[1-10].文[1-4]分别研究了加权种群系统和周期种群系统的有关控制问题；文[5-6]分别讨论了种群扩散系统的边界控制与分布控制；文[7-9]分别讨论了非线性种群系统的解及其边界控制；文[10]证明了一类非线性周期种群系统最优收获控制的存在性.本文继文[10]讨论控制为最优的必要条件和确定最优控制的最优性组.具体研究如下系统(S)：

(1.1)

(1.2)

p(a,t)=p(a,t+T),(a,t)∈Q，

(1.3)

p(a,0)=p0(a),a∈(0,A)，

(1.4)

(1.5)

其中p(a,t)为t时刻年龄为a的单种群年龄密度分布函数；N(t)为t时刻的种群个体总数；μ(a,t;N)为平均死亡率；β(a,t;N)为平均出生率；f(a,t)为外界向种群生存环境的迁入率；v(a,t)为种群的收获率,是系统(S)的控制量；A为种群个体最高存活年龄，0

在周期环境下,研究控制问题:

(1.6)

其中

(1.7)

允许控制集

U={v∈L∞(Q),0≤v(a,t)=v(a,t+T)≤L,∀(a,t)∈Q}．

(1.8)

假定下列条件成立：

我们得到了最优收获控制的存在性定理：

定理1.1[10]设p(v)∈L∞(R+；L1(0,A))为问题(1.1)-(1.5)所支配的系统(S)的状态，允许控制集U由(1.8)给出，性能指标泛函J(v)由(1.7)给出，则在U中存在一个最优控制u，使得

2 主要结论

本节讨论u∈U为系统(S)的最优收获控制的必要条件及确定最优控制的最优性组.记uλ=u+λ(v-u),0<λ<1，

(2.1)

(2.2)

现在证明收获控制u∈U为最优的必要条件.

定理2.1设u∈U是系统(S)关于指标泛函问题(1.7)的最优收获控制,则u∈U满足不等式:

(2.3)

即u∈U为系统(S)的最优收获控制的必要条件是u满足不等式(2.3).

证明由性能指标泛函J(v)的结构(1.7)和u∈U为最优收获控制,有

0 ≤J(u)-J(uλ)

上式两边除以λ>0，令λ→0+取极限得

(2.3)

下面我们导出确定最优控制u∈U的最优性组.为了变换不等式(2.3),定义伴随状态q(a,t;v)=q(v):

(2.4)

上述问题(2.4) 容许唯一解q(u)∈L∞(R+；L1(0,A)).由下面的定理给出.

定理2.2假设定理1.1的条件成立.设u∈U是系统(S)的最优控制,p(u)∈L∞(R+；L1(0,A))是问题(1.1)-(1.5)的广义解,则伴随问题(2.4)容许唯一的广义解q(u)∈L∞(R+;L1(0，A)).

(2.5)

综上所述，我们得到本文的主要结果.

定理2.3设p(u)∈L∞(R+；L1(0,A))是系统(S)即问题(1.1)-(1.5)的解,性能指标由式(1.7)给出定义,容许控制集合U由(1.8)式确定,若u∈U为系统(S)关于式(1.7)的最优控制,则u∈U由方程(1.1)-(1.5)(其中v=u)及伴随方程(2.4)和变分不等式(2.6)所构成的最优性组的联立解{u,p,q}确定.

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