陈淮，万拥军，孙增寿

(1．郑州大学土木工程学院，河南 郑州450001;2．河南交通职业技术学院公路学院，河南郑州451560)

传统小波变换的小波基函数是在欧氏空间内通过基底的平移和伸缩构造的，其基本的变换工具是傅里叶变换，不适合于非欧氏空间［1－5］。Sweldens在总结了Donoho和Lounsbery等研究工作的基础上，提出了一种在时域中采用提升方法构造小波的第二代小波变换方法［6］。第二代小波与传统小波相比有很多优点［7］:它不依赖于傅里叶变换，完全在时域中完成对双正交小波的构造，具有结构化设计和自适应构造的优点;构造方法灵活，可以从一些简单的小波函数，通过提升改善小波函数的特性，构造出具有期望特性的小波，对于现有的传统小波，都能找到相应的提升方案，得到相应的第二代小波;不再是某一给定小波函数的伸缩和平移，适合于不等间隔采样问题的小波构造;算法简单，运算速度快等。正是这些优点，使得第二代小波作为一个信号处理工具，在很多领域显示出了它的优越性［8－9］。本文主要探讨第二代小波在梁桥结构损伤识别中的应用。

1 第二代小波分解与能量变化率指标

1．1 小波包分解

根据小波包空间剖分的完整性，小波包分析能将动态信号无冗余、无疏漏和正交地分解到各个独立的频带内，可精确计算出小波包分解后的各频带能量。结构动力响应初始信号f(t)经j水平的小波包分解之后可表示为［7］

小波包函数的正交特性可表示为:

小波包树的每一组分可以看作对应于特定基函数的调谐滤波器的输出量，因此整个小波包树可以看成一个滤波库。对应于小波包的顶层(低水平分解)，信号的小波包变换结果对于时域具有很好的分辨率，而频域分辨率较差;而小波包的底部(高水平分解)，情况恰恰相反。

1．2 第二代小波包能量变化率指标

第二代小波的构造详见文献［6］。第二代小波的尺度函数和小波函数是对称的、紧支撑的，具有振荡衰减的形状，这与结构出现损伤时的振动信号波形相似。因此，选用它作为基函数，在第二代小波变换的基础上，可以对结构损伤进行识别。

在正交分解条件下，首先定义在j水平下的信号能量Ef:

动态信号经第二代小波分解后，由第二代小波正交性可知:

第二代小波组分能量对信号特性的变化敏感，它可以用来揭示信号的固有特征，因此可应用第二代小波的能量变化率指标对结构损伤位置进行判定。在j水平下，采用式(6)计算信号的组分信号能量，对没有损伤的信号所计算的组分能量表示为具有损伤的组分能量表示为，则定义j水平下信号的小波组分能量变化率Δ(Efj)为:

小波组分能量变化率Δ(Efj)对信号变化特征比较敏感，可通过它对损伤进行判定。当然，这需要具备结构完好状态或没有损伤情况下的振动信号;对一般大、中型桥梁，竣工时都要做成桥静动载试验，获取没有损伤情况下结构的振动信号是可以实现的。

2 基于第二代小波结构损伤识别

基于第二代小波组分能量变化率指标的结构损伤识别方法采用了与基于传统小波包能量变化率指标［10～12］相同的2个重要假定:(1)有损伤和无损伤的结构动力响应信号都是可以得到的;(2)结构所受到的激励必须在同一位置且是同一类型的荷载。基于第二代小波组分能量变化率指标的结构损伤识别方法的具体过程为:(1)对通过传感器所采集的结构动力响应信号进行第二代小波包变换，根据结构类型和损伤程度综合确定小波包变换的分解水平;(2)计算结构动力响应信号的小波包能量变化率指标;(3)进行结构损伤识别。本文采用单边置信区间的统计指标来识别结构损伤［8］。

若用n表示布置在结构上的传感器数目，则经过第二代小波分解后可以得到n个小波组分能量变化率指标。对这些指标进行数理统计，μWPERI和σWPERI分别表示能量变化率指标的均值和方差，则对应于置信水平(1－α)的单边置信限为:

式中，Zα为对应于标准正态分布的累积概率为100(1－α)%时的置信限。此限值可以作为第二代小波组分能量变化率指标对于结构损伤的预警值，如果结构的第二代小波组分能量变化率指标超过此限制，则表明在100(1－α)% 的概率下，结构存在损伤。

3 结构损伤识别数值模拟

为了验证采用第二代小波包能量变化率指标进行结构损伤识别的准确性，以简支梁为研究对象，梁长为6 m，被分成30个单元，如图1所示，简支梁的密度和弹性模量分别为7 800 kg/m3和2．0×105MPa，梁横截面面积和惯性距分别为0．02 m2和1．666 7×10－5m4。为了模拟实际的冲击荷载，采用矩形冲击荷载模型，荷载幅值为100 N，持时为0．005 s，作用点距简支梁左端0．4 m处。通过Ansys有限元程序计算得到冲击荷载作用下简支梁有限元节点位移动力响应信号，采样频率1000 Hz。在此算例中，将位移动力响应信号看作测量的结构动力响应信号进行数值仿真模拟。

在数值仿真模拟中，设定3种不同结构损伤程度和位置，结构损伤程度的改变采用降低单元刚度来实现。为了叙述简便，将没有损伤的简支梁标记为D0，具有损伤的简支梁依次标记为D1～D3，具体损伤工况如下:工况1(D1)中:第15和16单元的刚度降低20%;工况2(D2)中:第8，9，15和16单元的刚度均降低10%;工况3(D3)中:第8，9，15和16单元的刚度均降低20%。

虽然算例是以等截面梁为例，但损伤指标是结构损伤前后的提升小波能量变化率，只要具备结构损伤前的动力响应信号，上面所提出的损伤识别方法也适用于常用的变刚度梁。

图1 模拟简支梁Fig．1 Simulation of a simply supported beam

3．1 基于第二代小波能量变化率的损伤识别

选择双正交小波bior1．1的提升小波对简支梁的29个节点动力位移响应信号进行水平8的小波分解，则每个节点有9个组分分量。为了进一步了解分解水平对损伤识别结果的影响，同时也对所有节点的位移响应信号进行9水平分解，相应有10个组分能量。2个水平的计算结果基本一致，可以认为采用分解水平8时，即可满足损伤识别精度。

首先对所有结构位移动力响应信号进行分解，其次，采用式(7)计算每一个节点的第二代小波组分能量变化率指标Δ(Efj)。对于有损伤的简支梁，可以得到29个第二代小波能量变化率指标值，统计分析这29个第二代小波能量变化率指标，先计算均值 μWPERI和方差 σWPERI，假定 α =0．02，则对应于置信水平为98%的第二代小波组分能量变化率指标的置信上限UL可通过式(8)获得。对于有损伤的简支梁，可以将小波组分能量变化率指标和置信上限UL之差与简支梁有限元节点号绘成柱状图。在图2(a)中可以明显看出:在节点14、15和16上出现的小波能量变换率指标较大，可以判定在这些节点之间存在损伤，这较好地指出了简支梁的损伤位置;在图 2(c)中，在节点 6，7，8，9，13，14，15和16上出现的小波能量变换率指标也较大，也较好地指出了简支梁的损伤位置。采用以上方法，可以较好地从柱状图中判定出简支梁的3种损伤位置。从计算过程来看，基于二代小波能量变化率的损伤识别方法比基于小波包能量变化率的损伤识别方法要简单，且计算速度更快。

图2 损伤梁的柱状图Fig．2 The histogram of damage beam

3．2 信号含有噪声的结构损伤识别数值仿真分析

由于实测的动态信号不可避免地会含有噪声，因此，需要讨论使用第二代小波能量变化率指标对含噪声的动态信号进行结构损伤识别的情况。

由于现场实测的动力信号都含有一定的噪声，现向提取的信号中加入5%的高斯白噪声。通过采用提升后的bior1．1小波对该动态信号进行8水平分解，把小波组分能量变化率指标和置信上限UL之差与简支梁有限元节点号绘成柱状图如图3所示。从图3可以看出，噪声对采用第二代小波能量变化率方法进行结构损伤定位的影响较大，无法直接使用该方法对含噪声的结构动态信号进行结构损伤定位。

图3 含噪声5%的损伤梁的柱状图Fig．3 The histogram of damage beam under 5%noise

对含有5%噪声的信号降噪处理后，再用第二代小波能量变化率指标进行结构损伤定位。通过对降噪后信号采用bior1．1的提升小波进行第8水平的小波分解，提取第二代小波能量变化率，并在置信水平为98%的条件下绘制3种损伤情况对应的直方图，如图4所示。从图4可以看出，直方图很好地指出了结构的损伤位置。

图4 降噪后损伤梁的柱状图Fig．4 The histogram of damage beam after noise reduction

对比降噪前后基于第二代小波能量变化率的简支梁柱状图可以看出:基于第二代小波能量变化率的结构损伤识别方法不能应用于降噪前的结构识别损伤，可应用于降噪后的结构识别损伤。这是因为噪声多为高频信号，小波包对动测信号的高频部分做了更细的划分。因此，在应用小波包能量变化率指标进行损伤定位时，需要先对采集的信号进行降噪处理。

4 结论

(1)第二代小波能量分布向量对结构损伤比较敏感，结构损伤位置处第二代小波能量变化率指标和置信上限UL之差远远高于其它测点，据此可识别与判定结构损伤位置。

(2)基于二代小波能量变化率的损伤识别方法比基于小波包能量变化率的损伤识别方法简单，计算步骤明确，计算机实施方便，运算速度更快，对桥梁在线健康检测中的损伤识别和定位具有重要的应用价值。

(3)噪声对基于第二代小波能量变化率指标的结构损伤识别的影响较大，在实际工程应用中，应先对现场实测的结构动力响应信号进行降噪处理，然后再应用第二代小波能量变化率指标对结构损伤进行识别和定位。

［1］Al－khalidy A，Noori M，Hou Zhikun，et al．Health monitoring systems of linear structures using wavelet analysis［J］．International Workshop on Structural Health Monitoring，1997:164 －75．

［2］Al－ khalidy A，Noori M，Hou Zhi－ Kun，et al．A study of health monitoring systems of linear structures using wavelet analysis［J］．ASME PVP，1997，347:49 －58．

［3］Robertson A N，Park K C，Alvin K F．Extraction of impulse response data via wavelet transform for structural identification［J］．Journal of Vibration Acoust，1998，120:252－260．

［4］Robertson A N，Park K C，Alvin K F．Identification of structural dynamics models using wavelet－generated impulse response data［J］．Journal of Vibration Acoust，1998，120:261－266．

［5］Kitada Y．Identification of nonlinear structural dynamic systems using wavelets［J］．Journal of Engineering Mechanics，1998，124(10):1059 －1066．

［6］何正嘉，訾艳阳，张西宁．现代信号处理及工程应用［M］．西安:西安交通大学出版社，2007．HE Zhengjia，ZI Yanyang，ZHANG Xining．Modern signal processing and engineering application［M］．Xi’an:Xi’an Jiaotong University Press，2007．

［7］葛哲学，沙威．现代信号处理及工程应用［M］．西安:西安交通大学出版社，2007．GE Zhexue，SHA Wei．Modern signal processing and engineering application［M］．Xi’an:Xi’an Jiaotong University Press，2007．

［8］任伟新，韩建刚，孙增寿．小波分析在土木工程结构中的应用［M］．北京:中国铁道出版社，2006．REN Weixin，HAN Jiangang，SUN Zengshou．Wavelet analysis and its application in civil engineering structures［M］．Beijing:China Railway Press，2006．

［9］孙增寿，范科举，张波．基于第二代小波变换的结构损伤检测研究进展［J］．郑州大学学报:工学版，2010，31(1):1－5．SUN Zengshou，FAN Keju，ZHANG Bo．New development of research on the second wavelet transform based structural damage detection［J］．Journal of Zhengzhou U-niversity:Engineering Science，2010，31(1):1 －5．

［10］ Han Jiangang，Ren Weixin，Sun Zengshou．Wavelet packet based damage identification of beam structures［J］．International Journal of Solids and Structures，2005，42(26):660 －662．

［11］韩建刚，任伟新，孙增寿．基于小波包变换的梁体损伤识别［J］．振动、测试与诊断，2006，26(1):5 －10，73．HAN Jiangang，REN Weixin，SUN Zengshou．Damage detection of beams based on wavelet packet analysis［J］．Journal of Vibration，Measurement＆ Diagnosis，2006，26(1):5 －10，73．

［12］傅勤毅，熊施园．基于小波分析的齿轮箱故障诊断［J］．铁道科学与工程学报，2013，10(1):112－116．FU Qinyi，XIONG Shiyuan．Fault diagnosis in gearbox based on wavelet transform［J］．Journal of Railway Science and Engineering ，2013，10(1):112 －116．