分离变量法在数学物理方程中的应用

2013-12-08智丽丽李艳青

昌吉学院学报 2013年1期

智丽丽李艳青

（1,2.昌吉学院物理系新疆昌吉 831100）

1 分离变量法的概述

分离变量法关键是把分离变数形式的试探解代入偏微分方程，从而把它分解为几个常微分方程，问题转化为求解常微分方程［1-6］。另一方面，代入齐次边界条件把它转化为常微分方程的附加条件，这些条件与相应的常微分方程构成本征值问题。虽然我们是从驻波引出解题的线索，其实整个求解过程跟驻波并没有特殊的关系，从数学上讲，完全可以推广应用于线性齐次方程和线性齐次边界条件的多种定解问题。这个方法，按照它的特点，叫做分离变量法。

2 分离变量法求解方程的应用

2.1 第一类边界条件定解问题的求解

研究两端固定的均匀弦的自由振动，即定解问题

这里研究的弦是有限长的，它有两个端点，波就在这两端点之间往复反射，两列反向行进的同频率的波形成驻波。这就是启发我们尝试从驻波出发解决问题。这样，驻波的一般表示为

在这里自变数x只出现于X之中，自变数t只出现于T之中，驻波的一般表示式具有分离变数的形式。

那么，在两端固定的弦上究竟有哪些驻波呢？把驻波的一般表示式（4）代入弦振动方程（1）和边界条件（2），得

条件（6）的意义很清楚：不论在什么时刻t，X（0）T（t）和X（l）T（t）总是零。这只能是

注意：由于边界条件是齐次的，才得出（7）这样简单的结论，现在再看方程（5），用a2XT遍除各项即得。左边是时间t的函数，跟坐标x无关；右边则是坐标x的函数，跟时间t无关。两边相等显然是不可能的，除非两边实际上是同一个常数。把这个常数记作-，这可以分离为关于X的常微分方程和关于T的常微分方程，前者还附带有条件（7），

先求解X，将λ＜0,λ=0,λ＞0三种可能性逐一加考察。

②λ=0,方程（8）的解是X(x)=C1x+C2积分常数C1和C2由条件（1.7）确定，即，由此解出C1=0,C2=0,从而X(x)≡0，所求驻波u=XT≡0,没有意义。于是，λ=0的可能性也排除了。

③λ＞0，方程（8）的解是X(x)=C1cos+C2Sin，积分常数C1和C2由条件（7）确定，即，如Sin≠0,则仍然解出从而u(x,t)≡0，同样没有意义，应序排除。现只剩下一种可能性：于是，（n为正整数），即

当λ取这样的数值时，

C2为任意常数。请注意，（11）正是博里叶正玄级数的基本函数族。这样，分离变数过程中引入的常数λ不能负数或零，甚至也不能是任意的正数，它必须取（10）所给出的特定数值，才可能从方程（8）和条件（7）求出有意义的解。常数λ的这种特定数值叫作本征值，相应的解叫作本征函数。方程（8）和条件（7）则构成所谓本征值问题。

其中A和B积分常数，把（11）和（12）代入（4），得到分离变数形式的解

n为正整数，这就是两端固定弦上的可能的驻波。每一个n对应于一种驻波，这些驻波也叫作两端固定弦的本征振动，在x=κl n(κ=0,1,2,....n)共计n+1点上，sin(nπx l)=sinκπ=0,从而un(x,t)=0。这些点就是驻波的节点，相令节点间隔l n应为半波长，所以波长=2l n。

本征振动（13）的角频率（又叫圆频率）是ω=nπa l，从而频率 f=ω 2π=na 2l。n=1的驻波除两端x=0和x=l外没有其它节点，它的波长2 l在所有本征振动中是最长的，相应地，它的频率a 2l在所有本征振动中最低的。这个驻波叫作基波。n＞1的各个驻波分别叫作n次谐波。n次谐波的波长2l n是基波的1 n,频率na 2l则是基波的n倍。

以上本征振动是满足弦振动方程（1）和边界条件（2）的线性独立的特解。由于方程（1）和边界条件（2）都是线性而且齐次的，本征振动的线性叠加