贾 亮,魏丽娜,盛中平

(1.东北师范大学 数学与统计学院,长春 130024;2.黑龙江省大庆市第四中学，黑龙江 大庆 163514)

分形维数是分形几何的数学基础,在图像处理和模式识别等领域应用广泛[1-7].文献[1]讨论了盒维数的近似处理问题,提出了盒维数的一个近似形式——规范精度维数,并证明了当覆盖的微精度趋于零时,规范精度维数收敛于盒维数.规范精度维数的收敛性表明其定义是合理的.维数的定义有多种形式[8],一般在数值上并不相等,但都具有一些共同属性.本文针对此问题进行讨论,并提出分形维数的两个重要特性——分形维数的伸缩准则与局部准则,并证明了规范精度维数也同时具有这两种特性.

伸缩不变性是任何一个集合所具有的维数特征,但对于自相似分形,局部维数与整体维数相等时其维数才具有局部不变性.而对一般集合上的维数特征,应该同时具有这两种属性,称其为一般维数特征的伸缩准则与局部准则.

1) 伸缩准则：对于集合F,线性伸缩后得集合λF,则F与λF具有相同的维数,称为维数的伸缩不变性(基本尺度伸缩).

2) 局部准则：对于自相似集合F,与整体相似的局部和整体具有相同的维数,称为维数的局部不变性(基本尺度不变).

当整体伸长与缩短后,参照的基准也做相同的伸长与缩短.所以,在对整体伸长与缩短进行对比时,基本尺度也应随之伸长与缩短.在局部与整体做对比时,或者一个与多个做对比时,参照的基准必须是同一个,即基本尺度保持不变.

定义1[1]已知n中的集合F有界,F的拼贴分解为其拼贴逼近为为基本尺度,F0为基准体,c为其基容数.给出一种r-精度盒覆盖,设δ(≤L)为其盒长,从而微精度r=δ/L.设N为分形F在r-精度盒覆盖下的微盒数,规范盒数定义则dr=dr(F)称为有界集合F在r-精度盒覆盖下的r-精度维数,统称为规范精度维数.

1 伸缩准则

作为用于聚类分析的维数特征,应该同时满足伸缩准则和局部准则.下面证明定义1中的r-精度维数,也具有一般维数特征的伸缩准则,进而说明r-精度维数作为分形维数的合理性.

定理1若n中的任意集合F有界,F的拼贴分解和拼贴逼近分别为和给出基准体F0和基准逼近体E0.设伸缩元为λ∈R{0},得到的集合为

2 局部准则

下面证明自相似集具有局部不变性,即满足局部准则.设E是n维闭集多面体,对任意的λ≠0,λE称为E-类多面体.当用E-类多面体做盒覆盖时,取其盒长为该多面体的直径.下面记Å为A的内部.

定理2已知F⊂n是迭代函数系的吸引子,有wi=Pi+λQi(x)(x∈n,0<λ<1),其中:A是n中的有界闭集;Pi∈n;Qi为n阶正交矩阵.F的自相似维数设此IFS是刚接触的,即wi⊂A,wi⊂A是两两不相交的(i=1,2,…,m),为F的拼贴分解,取≜作为F的拼贴逼近,取F0=w1(F)作为F的基准体.E0=w1(A)作为F的基准逼近体,取E0的直径L作为F的基本尺度,取作为待考察的F自相似局部.令的基准体与F的基准体相同,即对于任意的整数k,给定直径为δ=λk(L/λ)=λk-1L的E-类多面体盒A的λk倍缩小覆盖逼近时,微精度r=δ/L=λk-1.则有

[1] JIA Liang,WEI Li-na,SHENG Zhong-ping.Normal Dimension with Accuracy and Its Convergence [J].Journal of Jilin University:Science Edition,2013,51(3):389-392.(贾亮,魏丽娜,盛中平.规范精度维数及其收敛性 [J].吉林大学学报:理学版,2013,51(3):389-392.)

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