周 臻，孟少平，吴 京

（东南大学混凝土及预应力混凝土结构教育部重点实验室 南京，210096）

引 言

弦支穹顶结构是大跨度、大空间结构中广泛采用的一种新型预应力空间结构体系。由于其具有新颖的结构形式、优雅的结构造型、多样的空间形体、良好的力学性能和强大的跨越能力，近些年来被广泛应用于体育馆、展览馆、影剧院、会堂和候车厅等公共建筑，已成为21世纪最具现代感和发展潜力的绿色承重结构体系之一。目前，有关弦支穹顶结构的静力分析、稳定性和施工过程分析等研究较多［1－8］，而对于弦支穹顶尤其是大跨椭球形弦支穹顶的动力性能研究则相对较少［9－10］。由于弦支穹顶结构的工程应用日益增多，迫切需要研究此类工程的抗震性能。

笔者以常州市体育中心体育馆大跨椭球形弦支穹顶为研究对象，利用有限元软件ANSYS建立了三维空间有限元模型。基于子空间迭代法求解结构振动模态，采用考虑结构静力初始状态的非线性动力分析方法，研究了结构的抗震性能。

1 有限元模型建立

常州市体育中心体育馆屋盖为一大跨椭球型弦支穹顶结构，长轴为120m，短轴为80m，矢高为21.45m。整体结构由单层网壳与索杆体系构成。单层网壳由14环径向杆和环向杆构成，其网格形式为中心6环凯威特、外围8环联方形，杆件采用圆钢管（截面规格如表1所示），节点采用相贯焊节点。索杆体系的撑杆采用Q345B圆钢管（Φ180×10mm），索系采用Levy布置方式（含6环径向索和环向索），拉索采用1670级高强钢丝束，其截面规格与初始预应力如表2所示。结构周边为铰接支座，承受竖向2.18kN／m2均布恒荷载（为不包含结构自重的标准值）。

表1 单层网壳杆件截面规格 mm

表2 拉索截面规格和初始预应力

利用有限元软件ANSYS建立数值模型。单层网壳杆件采用Beam188梁单元，拉索采用仅拉非线性索单元link10模拟，撑杆采用两端铰接的拉压等效杆单元link8模拟，撑杆的初始预应力采用等效降温法模拟。单层网壳和撑杆材料弹性模量为2.06×105MPa，拉索为1.95×105MPa。整体结构的平面图和立面图如图1和图2所示，Levy索系布置如图3所示。为了描述结构的地震响应分析结果，图1中给出了3个节点编号D1，D2和D3，两根杆件编号G1，G2和一根拉索编号S。

图1 椭球形弦支穹顶平面图

图2 椭球形弦支穹顶立面图

图3 Levy索系布置平面图

2 振动模态分析

结构振动模态的广义特征值方程［11］为

其中：K为经边界条件处理或静力凝聚后的总刚；M为质量矩阵；ω，Φ分别为结构的自振频率和振型向量。

在此采用子空间迭代法求解振动模态的广义特征值问题。在模态分析前先进行结构在结构平衡态（自重、屋面恒载和预应力效应共同作用）的几何非线性静力分析，然后以此分析结果为基础进行结构的振动模态分析。式（1）中的K应为结构线性刚度矩阵、几何刚度矩阵与应力刚化矩阵的叠加，这样能够真实反应结构实际状态的振动特性。表3为椭球形弦支穹顶结构的前12阶频率，前4阶振型如图4所示。

表3 椭球形弦支穹顶前12阶频率

图4 椭球形弦支穹顶前4阶振型图

由表3和图4可知，椭球形弦支穹顶结构的频率分布较为密集，这也是空间结构振动模态的一个重要特征。结构基本振动频率为2.042，相应的自振基本周期为0.49s，相对于其跨度而言基频较高，表明该大跨穹顶结构在较高矢跨比和索杆弦支体系的双重影响下具有较高的整体刚度。

3 非线性时程分析方法

采用Newmark法联合Newton－Raphson增量迭代法对索承网壳结构进行非线性动力分析。第i＋1时刻结构的Newmark增量型振动方程［11］为

在同一时间步内，采用Newton－Raphson增量迭代法考虑几何非线性的影响。

由于在非线性动力分析时，结构构件的内力大小会影响构件的刚度矩阵，进而影响整体结构的非线性动力响应，因此结构的初始状态会影响结构的非线性动力分析结果，必须在非线性动力分析时加以考虑。结构的初始状态包括结构自重、屋面恒载和预应力效应等。现有的结构非线性动力分析研究忽略了结构初始状态的作用，或者令结构的初始状态为零，或者仅仅将结构初始状态的静力分析结果与非线性动力分析结果进行叠加［9－10］。实际上，由于结构初始状态承受的荷载均为静荷载，如果将其直接参与到结构的非线性动力计算中，则会由于动力时程分析中的积分作用而将静荷载的作用放大。分析过程不能收敛，或分析结果与实际结果偏差过大。笔者在此通过以下方法进行考虑。

1）将结构初始状态的荷载施加在结构上进行非线性时程分析，此时将非线性时程分析的持时加大（具体数值需经过试算确定），直至结构初始状态荷载的动力作用被削弱为静力作用，这可从结构非线性动力响应的时程曲线观察判别。如图5所示，结构初始状态非线性动力分析时选取的持时为40s，可以看到结构的位移、杆件应力和拉索应力时程曲线在20s左右就已经稳定下来，表明此时荷载的动力作用被削弱为静力作用，已经趋于稳定。

2）在第1步的基础上，将地震波荷载施加在结构上，此时仍然保留已经施加在结构上的结构初始状态荷载，由此进行非线性时程分析。非线性地震响应分析是在结构初始状态的基础上进行，考虑了结构初始状态的影响。

图5 结构初始状态响应时程曲线

4 地震响应分析

结构的节点和杆件编号示意图如图1所示。在此假定结构阻尼比为0.02，依据Rayleigh阻尼（又称为比例阻尼）理论确定阻尼矩阵，采用最常用的EL Centro波作为输入地震波。考虑地震波输入方向为竖向，最大加速度按8度罕遇地震进行调整。考虑无杆件初始弯曲和杆件初始弯曲两种情况，初始弯曲Vm0／L的取值考虑加工制作与预应力张拉阶段误差叠加偏安全地取值为0.01［12－13］，杆件初始弯曲的模拟方法采用文献［14］中的初始弯曲杆单元。分析结果如图6～8所示。

图6 D1～D3节点位移时程

图7 杆件G1～G3应力时程

图8 拉索S应力时程

由分析结果可以看到，在扣除初始状态位移后，结构的最大竖向位移为29mm，发生在跨中节点D2，位移较小，其原因在于弦支穹顶结构在上部网壳自身刚度的基础上，通过下部预应力弦支体系提供了较大的附加刚度，使得整个结构在地震作用下具有较强的刚度。地震引起的网壳杆件最大应力增幅为50MPa，发生在靠近支座的G1杆，这主要是G1杆的竖向倾角最大，对于抵抗竖向地震的贡献也相应最大。拉索在地震激励下存在一定的应力波动，最大幅度为40MPa。整体而言，整个结构在地震激励下的位移、应力和索力变化均较小，表明弦支穹顶结构具有良好的抗震性能。

此外，当考虑结构初始态影响时，由于初始弯曲的影响，无初始弯曲和有杆件初始弯曲时的结构初始状态存在差异，不过由于杆件轴力较小，因此初始弯曲的影响也较小。将非线性动力分析结果扣除掉结构初始状态的影响，得到了地震作用产生的结构响应时程。可以看到，在有初始弯曲时，结构的最大响应有所增加，但是增加的幅度很小，这是由于结构杆件的轴力响应较小，而初始弯曲的影响只有在轴力较大的时候才会产生比较明显的影响。这种影响的程度与杆件的截面积、抗弯刚度、杆件长度、初始弯曲数值以及杆件轴力等因素有关。对于本研究中的弦支穹顶结构，初始弯曲对结构地震响应的影响很小，其位移响应、杆件轴力和最大索力等最大误差均不超过5%。

5 结 论

1）常州市体育中心体育馆大跨椭球形弦支穹顶结构的自振频率比较密集，一阶自振频率为2.041 8，一阶振型为结构沿短轴方向的反对称振动。相对于其跨度而言基频较高，表明该大跨穹顶结构在较高矢跨比和索杆弦支体系的双重影响下具有较高的整体刚度。

2）在进行结构的非线性动力分析时，结构构件的内力大小会影响构件的刚度矩阵，进而影响到整体结构的非线性动力响应；因此需要采取合适的方法考虑结构的初始状态（包括结构自重和屋面恒载）。

3）结构在8度罕遇地震作用下的最大竖向位移为29mm，网壳杆件最大应力增幅为50MPa，拉索应力最大幅度为40MPa。整体而言，整个结构在地震激励下的位移、应力和索力变化均较小，表明常州市体育中心体育馆弦支穹顶结构具有良好的抗震性能。

4）结构在无初始弯曲和有杆件初始弯曲（Vm0／L为0.01）两种情况下的初始状态存在差异，但由于杆件轴力不大，因此初始弯曲对常州市体育中心体育馆弦支穹顶结构的影响也较小。其最大位移响应、最大杆件轴应力响应以及最大拉索应力响应等最大误差均不超过5%。

［1］ 张营营，张其林，陈鲁，等.连云港体育馆弦支穹顶结构预应力施工监测［J］.振动、测试与诊断，2010，31（2）：181－183.Zhang Yingying，Zhang Qilin，Chen Lu，et al.Structural prestress monitoring of Lianyungang gymnasium suspen－dome［J］.Journal of Vibration，Measurement＆ Diagnosis，2010，31（2）：181－183.（in Chinese）

［2］ Kitipornchai S，Kang W J，Lam H F，et al.Factors affecting the design and construction of Lamella suspen－dome systems［J］.Journal of Constructional Steel Research，2005，61（6）：764－785.

［3］ Mamoru K，Masaru A，Ikuo T.Design，tests and realization of suspend－dome system［J］.Journal of International Association of Shell and Space Structures，1999，40（131）：179－192.

［4］ Mamoru K，Masaru A，Hatato T，et al.Structural tests on a full－size suspend－dome structure［C］∥Proceedings of IASS Symposium.Atlanta：［s.n.］，1994：383－392.

［5］ Mamoru K，Ikuo T，Chen P.Optimum shapes of a cable dome structure［J］.Engineering Structures，1999，21（8）：719－725.

［6］ Liu H B，Chen Z H.Structural behavior of the suspen－dome structures and the cable dome structures with sliding cable joints［J］.Structural Engineering and Mechanics，2012，43（1）：53－70.

［7］ Guo J M，Dong S L，Yuan X F.Research on static property of suspen－dome structure under heap load［J］.Advanced Steel Construction，2012，8（2）：137－152.

［8］ Zhou Zhen，Feng Yulong，Meng Shaoping，et al.Form analysis of suspen－dome structures considering construction process［C］∥ Proceedings of Seventh International Conference on Advances in Steel Structures.Nanjing：［s.n.］，2012：1322－1330.

［9］ 崔晓强，郭彦林.弦支穹顶结构的抗震性能研究［J］.地震工程与工程振动，2005，25（1）：67－75.Cui Xiaoqiang，Guo Yanlin.Seismic behaviors of suspen－dome structure［J］.Earthquake Engineering and Engineering Vibration，2005，25（1）：67－75.（in Chinese）

［10］张志宏，张明山，董石麟.弦支穹顶结构动力分析［J］.计算力学学报，2005，22（6）：646－650.Zhang Zhihong，Zhang Mingshan，Dong Shilin.Dynamic analysis of suspend－dome［J］.Chinese Journal of Computational Mechanics，2005，22（6）：646－650.（in Chinese）

［11］（美）乔普拉.结构动力学－理论及其在地震工程中的应用［M］.3版.谢礼立，吕大刚，译.北京：高等教育出版社，2009：300.

［12］Zhou Zhen，Meng Shaoping，Wu Jing.Stability analysis of prestressed space truss structures based on the imperfect truss element［J］.International Journal of Steel Structures，2009，9（3）：253－260.

［13］周臻.预应力空间网格结构的分析理论与优化设计［D］.南京：东南大学，2007.

［14］周臻，吴京，孟少平.基于初弯曲单元的某弦支穹顶非线性稳定承载力分析［J］.计算力学学报，2010，27（4）：721－726.Zhou Zhen，Wu Jing，Meng Shaoping.Nonlinear stability bearing capacity analysis for suspend dome based on the initial curvature elements［J］.Chinese Computational Mechanics，2010，27（4）：721－726.（in Chinese）