谈爱清 吴文娟

[摘要]波利亚《怎样解题》一书将解题分为理解题目、拟订方案、执行方案、回顾四个步骤，其中理解题目是我们首先必须要做的事，它是正确解题的前提。实际教学中教师将解决问题的重点放在分析数量关系上，而忽视了学生审题能力的培养，学生既缺乏理解题目的方法，也没有养成理解题目的好习惯，已成为影响正确解题的障碍。本文想从复述题意、分解题目、图表再现、重新叙述、反思条件五个方面，列举一些在小学数学教学中培养审题能力的方法。

[关键词]理解题目 复述 分解 图表 重叙 反思

理解题目就是我们通常说的审题，它是正确解题的前提。“对你所不理解的问题做出答复是愚蠢的，为你所不希望的目标工作是悲哀的。”但这种愚蠢和悲哀的事情在我们学校内却经常发生：课堂上教师一出示题目就小手林立，其实部分学生还没有读完题目；练习卷一发下去就有学生捶胸顿足，连呼看错了题；分析错题时，老师画了一个简单的示意图，学生就恍然大悟，而自己却从来没把画图作为一种好方法……种种在理解题目方面表现出来的不足导致学生在一开始解题就认错了方向，花费了很多心血却徒劳无功。老师们也常常抱怨：自己也经常提醒学生要认真审题，要多读几遍题，要理解了再动手做，怎么还会出现这些问题？回想自己的课堂教学，也常会这样唠叨，但细细想想，学生需要你的唠叨吗，还是更需要你教给他们理解题目的方法？今天细细研读波利亚《怎样解题》一书，让我豁然开朗，理题题意需要一定的知识储备和语言文字的理解能力，但也有章可循。本文想结合自己的读书心得来谈谈其中的第一步：理解题目。以下所说的首先是建立在学生能“把题目流利地、有理解地读出来”的前提下。

一、复述题意，激起兴趣

复述是语文课常用的方式，它能促进学生对文字意义的理解，现在将它移植到数学课中。如果学生读题前就对他提出复述的要求，能促使学生更专注于题目，更认真地读题。具体做法是：教师可以用投影或小黑板出示题目，在默读后，拿掉题目，请学生复述，不要求学生一字不漏，但要求重要信息及问题能说清楚。学生不愿意深入去理解一道题，有时和题目的无趣有关，我们除了要精心选择有趣、符合学生水平的题目外，有趣地复述题目也不失为一种激起研究兴趣的好方法。

1.情境式复述。

现行的教材呈现内容形式很多，其中有很多图文式的对话。在低年级时，可以先让学生初步理解题意后，指名学生分角色来复述对话，就如在表演课本剧，再由旁白的同学揭示要研究的问题。这种情境式的复述，使学生身临其境，更容易理解题目的意义。

2.陈述式复述。

图文式问题，如果在中高年级，可以在学生初步理解题意后，请学生将图意直接转换成陈述性语言，将图中分散的信息集中起来表达，便于关健性语句的理解。例1：五年级下册方程中的例7，学生可以用陈述性语言表述为：小刚跳高成绩是1.39米，比小军少0.06米，小军的跳高成绩是多少米？这样表述后，便于揭示出小军和小刚之间的等量关系。

3.故事性复述

有些题目学生像讲故事一样复述，会觉得饶有趣味，印象深刻。例2：四年级下册第38页的第6题（如图）。学生就复述为：果园里苹果成熟了，工人叔叔正用卡车运苹果。每辆卡车运的一样多，3辆卡车共可以运480箱苹果，还有很多苹果没有运走，再派2辆卡车，你能算算一共可以运走多少箱苹果？这个复述的小女孩在“每辆卡车运的一样多”，“一共可以运走”等词上尤其讲得声情并茂。故事性复述并非罗罗嗦嗦讲很多，而是把一些重点、关键讲得有趣而印象深刻。

二、分解题目，深入理解

对于简单的常规题，也许复述后甚至读一遍题就知道怎样解决了，但对于较难的题目，我们还要进一步深入理解，才能找到解决的途径。波利亚解题表中就提醒老师们在帮助学生理解题目时下面两个问题一定要问：

1.未知量是什么？已知数据是什么？条件是什么？这些问题我们在课堂中也会问，可能提问的说法不同而已，也可能会把已知数据和条件放在一起提问成：已知哪些信息？把已知数据或条件说成“信息”是新课改以来的流行说法，但是否对解题有帮助，并不清楚。但很多学生在回答这三个问题时又会回到题目重读一遍，而不是将主要的部分摘录出来重点考察。如例2中，未知量是什么？一共可以运多少箱？已知数据是什么？3辆卡车共运480箱，再增加2辆卡车。条件是什么？每辆卡车运的箱数同样多。用简洁的数学语言把握题目中的重要部分是深入其中的关键。

2.将条件的不同部分分开。你能把它们写出来吗？对于有些复杂的题目，区分未知量、已知量、条件还不够，条件若是庞杂，还要将条件分开，逐一深入到细节考虑。例3：一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小1，十位上的数字与个位上的数字和是这个两个数的 ，求这个两位数。如果我们把条件的不同部分分开来考查：

十位上的数 x

个位上的数 x+1

十位上的数与个位上数字的和 x+x+1

这个两位数 10x+（x+1）

和是这个两个数的 x+x+1= （10x+x+1）

当我们把条件的各部分分开考查，研究每个数据，每个短句，我们就逐步将复杂的题目分解了，难题也迎刃而解。

三、图表再现，推动思维

说起画图和列表在数学解题中的作用，相信任何一个数学爱好者都会不容置疑。借助图既可以提高审题的精确性，也是推动积极思维的手段。“我们可能不用任何文字而只是看着几何图形或者运用代数符号进行一项相当费力的思考。图形和符号与数学思维紧密联系，它们的使用有助于思维。”波利亚老师的话使我们更坚信在解题中培养画图和列表能力的重要性。小学教材中把画图和列表作为一种解决问题的策略，而学生也只是把它们作为学习的一项内容，要求画图或列表的，就照做，而不要求的，宁可对着题目干着急，也不动动手画一张图，说明画图和列表还未成为学生的一种数学素养。首先，教师对不同的题画不同的图要多示范，多比较画图、列表理解题意的优越性、巧妙性，还要适时多提醒学生运用这种策略。

有些题适合画线段图。例4：暑假里，大伟兴致勃勃地读《西游记》这部古典文学名著，第一天读了83页，第二天读了74页，第三天读了71页，第四天读了64页，第五天读的页数比五天中平均读的页数还多3.2页，第五天读了多少页？这一题用求平均数的一般方法：总数÷总份数=平均数及其变化解答有困难，不妨先画图试试。如下图：

这幅图清楚地展示了平均数“移多补少”的本质，也使此题变得显而易见。

有些题适合画几何图。例5：64名小学生都订了数学、语文、科技报纸中的至少一种。其中订数学报的有28人，订语文报的有41人，订科技报的有20人，同时订数学、语文报的有10人，同时订数学、科技报的有12人，同时订语文、科技报的有12人。问：三种报都订的有多少人？这一题我们可以通过画集合圈来表示订三种报纸学生的关系，用A圈、B圈、C圈分别表示订数学、语文、科技报的同学人数。画图如右边：

有些题适合列表整理数据。例6：甲、乙、丙各有球若干个，甲给乙的球如乙现存的那么多球，甲也给丙如丙现存的那么多球，然后乙也按甲和丙手中球数分别给甲、丙添球，最后丙也按甲和乙手中的球数分别给甲、乙添球，此时三人都各有16个球，问开始时三人各有多少个球？这是一题典型的可以运用还原策略解决的问题，但即使知道用什么策略，复杂的变化也让学生觉得一头雾水，如何理清题中多次的变化呢？我们可以根据题意整理成下表：

画出何种图或表格要根据题目来灵活选择，但用画图或列表表示题意要注意以下几点：1、明确画精确的图还是近似图。一般情况，画图只是有助于逻辑推理，并非真正的解答，只要画近似图，但也不能太离谱，会影响思维的准确性。2、图表中尽可能要表示出题中的所有已知数据、未知数据及相互关系，使得我们脱离原题也能进行思考。3、不能对图进行特殊化处理，如只要求画一个一般三角形，就不能画成等边或等腰的特殊三角形。4、图形尽量用不同的符号、线型表示不同的意思，不要混淆。

四、重新叙述，由难趋简

有些复杂的题目，如果仅按字面意思理解，深入进去也毫无头绪，那我们不妨试试重新叙述，找出与题面意思一样的另一层含义，也许柳暗花明又一村。

1.等量转换。例7：在祖父的文件中发现了一张账单：72只火鸡 _67.9_元，表示火鸡总价的第一位和最后一位数码已经褪色了，难以辨认，因此这里用下划线代替。这两个褪色的数码是什么？每只火鸡的价格是多少？面对这题，也许用尽我们前面审题的办法似乎也毫无头绪，如果换一种叙述：72只火鸡 _679_分的话，也就是说_679_应该能被72整除，这个问题就简单多了。

2.挖掘本质。例8：某班买来单价0.5元的练习本若干，如将这些练习本只分给女生，平均每人可得15本；如果将这些练习本只分给男生，平均每人可得10本。那么，将这些练习本平均分给全班同学，每人应付多少钱？因为这个班的男生、女生均不知道，造成了解题时的障碍。但如果将“这些练习本只分给女生，平均每人可得15本；如果将这些练习本只分给男生，平均每人可得10本。”重新叙述成“本子的数量是15和10的公倍数”，那难题的关键就解决了。如果在审题时能透过显性的条件发现隐藏在背后的本质，难题往往也变容易了。

3.等式代换。有些文字叙述的题目如果能将它转换成数学的等式，更有利于数学思考。例9：甲、乙、丙、丁四个数，每次去掉一个数，将其余三个数求平均数，这样算了四次，得到以下四个数：45、60、65、70。求甲、乙、丙、丁四个数的平均数。将题目转述成：甲+乙+丙=45×3，甲+乙+丁=60×3，甲+丁+丙=65×3，丁+乙+丙=70×3，简洁明了。

当然重新叙述题目必须借助深厚的知识储备，没有一成不变的办法，灵活应对才是真理。

五、反思条件，猜测解答

波利亚解题表中关于理解题目有一条重要的建议：“条件有可能满足吗？条件是否足以确定未知量？或者它不够充分？或者多余？或者矛盾？”看到这条建议我开始觉得不理解，要解的题，当然条件满足啦，还要思考这么多问题吗？思考怎样解才是正道呀！有一个事例可能能说明反思条件的重要性：在一艘船上，有71头牛，28头羊，请问船长今年多少岁？教育研究者拿这道题来测试中国的中小学生。抽样结果显示，回答43岁及其它五花八门答案的学生占了很大的比例，却少有人提出此题条件不充分，无解。这有名的“船长年龄”问题笑话正是对我们现行数学教育的嘲弄，作为数学教师的一员，我也感觉非常汗颜。为什么会这样呢？因为我们给学生解的题都有答案，甚至总是唯一的，我们只要求学生得到答案，而从来没有教过学生要反思题目、要质疑出题者。所以不仅学生连老师也不曾思考过以上问题。正是这样将解题作为纯粹的数学活动，作为巩固双基的手段，而脱离实际的埋头训练，使学生不会反思，不会质疑，唯信书、唯信教师。不久前我因为没对一道出错的题好好把握，而失去了一次培养学生反思题目的机会。我在试做练习时发现这样一题：例10，如图AE=ED，AF=FC，已知△ABC的面积为100平方厘米，求阴影部分的面积。稍有初等数学经验的人就不难发现：既然E、F分别是AD、AC的中点，那EF就要平行于BC，这样B、E、F就不会在一直线上，而如果是书上给出的图有错，我们自己画出准确的图来，又会发现条件不充分，不能求出阴影部分的面积。当我发现此题的错误时，就立刻请学生跳过这题，告之是题目出错了。其实我不妨将错题抛给学生，学生虽会寻觅无果，却可以引导他们补充条件或思考新的问题。我们解题不仅是为了得到一个正确的结果，更重要的是得到思维的训练和创新能力的培养，而即使是一道错题这个作用并未消退，反而会得到许多副加的收获。如：一个新的结论或发现；不尽信书的批判精神；从书本回归现实的应用意识，因为现实中的实际问题并不会像书上的题那样总有充足的条件，并总能得到唯一的答案。这就提醒我们教师在出题时不要总是条件正好不多不少，答案也正好一个，偶尔的错题、或多余条件、或条件不足、或答案不唯一也是对学生思维的极好挑战。

波利亚的《怎样解题》一书内涵丰富，值得我们数学教师认真阅读，其中有关理解题目的内容虽然篇幅较少，但值得我们去反复咀嚼，深入实践。教给学生良好的理解题目的方法，培养良好的审题习惯，我们还有许多值得去探索的地方。

[参考资料]

[1]波利亚《怎样解题》

（作者单位：江苏省宜兴市第二实验小学）