丁九华，莫 晔

（沈阳大学a.机械工程学院，b.信息工程学院，辽宁 沈阳 110044）

并联机器人以多闭环机构为主体结构，具有结构刚度大、稳定性好和承载能力强等显著特点，并且其末端的运动误差不是所有关节的误差累积，从而提高了运动精度.除此之外，它还易于实现机器人的冗余驱动等.正因为如此，并联机器人在高精度、高速度、重载等工作领域有较高的应用价值.

并联机器人的应用研究领域主要包括装配生产线、并联机器人机床、飞行模拟器、空间飞行器对接机构及其地面试验设备、卫星天线换向装置、海军舰艇观测台、天文望远镜跟踪定位系统以及动感娱乐平台等.其中，对并联机器人机床的研究一直以来是研究重点.

然而，随着机器人技术的发展，尤其是向高速高精度应用领域的拓展，对并联机器人的速度和加速度的要求不断提高，要求并联机器人更加精密化和轻型化.而并联机器人结构的轻型化导致构件的柔性加大，结构固有频率下降；高速化导致惯性力；激振频率升高导致系统容易产生较大的弹性振动和运动误差.因此，并联机器人连杆的结构柔性是影响高速高精度机器人动态性能的主要因素.

由于柔性并联机器人是一个多闭环、多柔体与刚体混合的非线性动力学系统，其建模方法远比刚性并联机器人和柔性串联机器人复杂［1］.目前，这方面的研究在国际上尚处于起步阶段，相应的理论和实验研究还很不成熟.而在传统的设计方法中，多将机械系统中的构件考虑成刚体，在构件运动的过程中没有考虑结构的弹性变形.因此不能反映出构件刚体运动与弹性变形之间的耦合关系，也就不能反映出构件真实的力学性能.而多柔体系统动力学研究了刚体运动与物体变形的相互作用或耦合，以及这种耦合所导致的独特的动力学效应［2］.应用多柔体系统动力学的建模理论和分析方法，可以实现精确建模、虚拟设计、性能优化、系统匹配、整机性能预测等.

高速运动的3-RPS型并联机器人大多是在循环变化的载荷下工作的，而载荷的循环变化会导致机械手爪末端运动的周期波动，这种现象的产生会对机器人的工作性能和操作精度产生恶劣的影响.有时可能会发生一系列低阶谐振或共振现象，构件承受的动应力值较高并呈现剧烈的往复振荡变化，从而容易导致构件的疲劳破坏［3］.若构件的最大动应力超过材料的许用应力，则会造成构件的失效破坏.因此，研究柔性并联机器人构件的动应力是非常必要的，分析构件的动应力也是了解柔性并联机器人系统的失效形式和疲劳寿命的基础，对柔性并联机器人的机构设计和控制策略的制订等都具有重要的意义.

本文主要利用ANSYS软件生成了3-RPS型并联机器人各条支链的上下连杆包含柔性体质量、质心、惯量、频率及振型等信息的模态中性文件（.mnf文件），借助于多体系统动力学软件ADAMS，将上下连杆的刚性体用柔性体来替换并进行仿真分析，进而得到了机械手末端的位移变化和各柔性连杆的应力变化结果.通过与机器人的全刚体系统模型进行对比，发现此种方法所建立的刚柔耦合多体系统能够更加准确地模拟3-RPS机器人在带载运动过程中的动力学特性.能够精确地考虑由机器人运动过程中各连杆的惯性和弹性形变而导致加工轨迹的误差，并获得各支杆的受力状态.该种方法直观而有效，为3-RPS并联机器人的综合性能评估和后续的结构力学优化奠定了良好的基础.

1 柔性体计算模型的建立

多体系统的动力学建模，可以应用各种力学原理来实现，包括能量守恒定律、牛顿-欧拉方程、拉格朗日方程、哈米尔顿原理、凯恩方程等.其中，拉格朗日方程是基于能量的观点来建立的，优点是便于程序化，对正逆动力学问题都容易建立模型，并且可以实现递推形式的建模，还可以方便地加入控制反馈.采用拉格朗日方程建模的方法较为成熟，许多多体系统分析软件采用的就是拉格朗日方程建模方法［4］.

1.1 柔性体的广义坐标

为了计算构件弹性变形对其大范围运动的影响，人们提出用混合坐标来描述柔性体位形.首先，对柔性构件建立浮动坐标系，将构件的位形认为是浮动坐标系的大范围运动与相对于该坐标系的变形的叠加.提出了用大范围浮动系的刚体坐标与柔性体的节点坐标（或模态坐标）建立动力学模型.在具体的建模过程中，先将构件的浮动坐标系固化，弹性变形按某种理想边界条件下的结构动力学有限元进行离散，然后仿照多刚体系统动力学的方法建立离散系统数学模型.

柔性体可看作有限元模型节点的集合，其变形可视为模态振型的线性叠加，如图1所示.图1中，点P为柔性体上一节点，P′为柔性体在运动过程中发生变形后的位置，B为柔性体坐标系，G为基坐标系.

物体坐标系B在基坐标系G中的位置为x＝（x，y，z），而方向用欧拉角表示为ψ＝（φ，θ，ψ），模态坐标q＝｛q1，q2，...，qM｝T（M 为模态坐标数），则柔性体的广义坐标为

式中，i＝1，2，…，M.

图1 柔性体上节点P的运动示意图Fig.1 Moving schematic of flexible-body on node P

1.2 柔性体的运动微分方程

柔性体上节点P的位置向量可表示为

式中，波浪符号表示位置矢量为非对称矩阵；矩阵B定义为将欧拉角对时间求一阶导数变为角速度的转换矩阵.从而可以得到动能和势能的表达式为

运用拉格朗日乘子法建立柔性体的运动微分方程：

式中，K为模态刚度矩阵；D为模态阻尼矩阵；fg代表广义重力；Q为广义外力；λ为约束方程的拉格朗日乘子和为柔性体的广义坐标及其时间导数；M 和为柔性体的质量矩阵及其对时间的导数为质量矩阵对柔性体广义坐标的偏导数，它是一个（M＋6）×（M＋6）×（M＋6）维张量，M 为 模态的维数.

2 并联机器人刚柔耦合动力学模型的建立

本文所研究的3-RPS并联机器人的三维模型如图2所示.它由一个动平台S1-S2-S3、三条支链Ri-Pi-Si（i＝1，2，3）和一个静平台R1-R2-R3组成.其中，动平台通过球面副（S副）与各支链的上连杆相连接，静平台通过转动副（R副）与各支链的下连杆相连接，各支链上下连杆之间通过移动副（P副）连接在一起.通过驱动三根上连杆，使它们改变与下连杆的接触长度，从而改变动平台在空间的位姿.该并联机器人的动平台可以实现空间两个转动自由度和一个移动自由度共3个自由度的运动.

图2 3-RPS并联机器人三维模型Fig.2 Three dimentional model of 3-RPS parallel robot

在有限元分析软件ANSYS中，对机器人的各条支链连杆进行柔性化.指定材料属性，选择单元类型、单元属性、网格参数进行网格划分.根据各条支链连杆在ADAMS环境中与其他部件的约束关系，分别定义了外联点，外联点可以使柔性体在此处与模型中的其他构件建立起正确的连接关系［5］.利用ANSYS软件生成柔性体的刚柔耦合仿真流程如图3所示.

图3 刚柔耦合系统仿真流程Fig.3 Simulation procedure of rigid-flexible system

外联点定义好后，需要编制ANSYS循环命令，利用beam 4单元，将承载区域进行刚化，然后利用ADAMS与ANSYS的接口就可以生成模态中性文件（.mnf文件）.在ADAMS／View中读入ANSYS中生成的模态中性文件，将多刚体动力学模型中的上下连杆替换为柔性体，即生成了3-RPS并联机器人的刚柔耦合动力学模型［6］.

3 并联机器人刚柔耦合动力学仿真分析

3.1 手爪末端测点的位移变化

本文选取并联机器人的螺纹加工工况为例，对其整机的作业过程进行完整的动力学分析.由于并联机器人运动学逆解求解简单，正解求解复杂，因此这里采用了在机器人手爪末端施加点驱动的方式来迫使其进行螺旋运动［7］.在此基础上，测出各条支链上下连杆之间相对位移变化曲线.而这些测得的曲线恰好是该并联机器人进行螺旋运动所需的各个移动副的输入条件.接下来，通过把所测得的曲线转换成样条曲线的方式，将其作为各条支链上移动副的驱动，就实现了该并联机器人的正解过程.

并联机器人动力学模型的建立还需要对其本体施加符合实际工况的负载.而其在进行螺纹加工的过程中所承受的载荷主要是与机械手速度切线方向相反的作用力，大小为3 000N.这里利用ADAMS的函数工具在机器人的手爪末端点施加如式（7）～式（9）所示的三个方向的作用力.其中，MARKER＿P为机器人手爪的末端测点，MARKER＿G为位于静平台圆心位置的接地点.通过将机器人手爪末端测点的速度进行分解进而可以得到在全局坐标系下机器人工作过程中所受到的作用力.

机器人在带载工作过程中由于载荷的作用会使各条支链上的连杆产生变形，变形量的大小对于并联机器人的加工精度有着决定性的影响［8］.通过对全刚性体模型和刚柔耦合模型进行仿真分析，可以得到点焊机器人两种模型在竖直方向上末端测点的位移曲线及其变形量，如图4所示.

图4 末端测点在竖直方向上的位移及其误差Fig.4 Displacement and error of measuring point along the vertical direction

从图4a可以看出，在相同的运动规律和载荷工况作用下，两种模型的仿真曲线存在着一定的误差.该误差正是各支链上的柔性连杆所导致的末端测点位移的变化量.并且对应于不同的时刻，变化量的大小有正负之分.图4b是机器人末端测点在两种模型仿真下的误差曲线.结合图4可以得到如下结果：

（1）从位移变化曲线可以发现，考虑了柔性体的刚柔耦合系统所测得的末端手爪的位移曲线与多刚体系统相比波动现象明显，但总体趋势仍能保持在多刚体系统所测得的位移曲线附近；

（2）从误差变化曲线可以看出，在机器人的起始运行阶段振动相对剧烈，随着运动趋于平稳，手爪末端在竖直方向上的位移误差呈现周期变化，周期约为4.2s；

（3）在机器人的整个工作过程中，柔性连杆所导致的手爪末端在竖直方向上的最大位移误差约为0.2mm，并在零线附近上下振荡.

表1分别给出了三种不同时刻末端测点的坐标值及其在竖直方向上的误差值.

表1 三种不同时刻末端测点在竖直方向上的坐标和误差Table 1 Coordinate and error of measuring point along the vertical direction under three different times

3.2 各支链上下连杆的应力

用各支链的柔性体连杆模型进行并联机器人系统的刚柔耦合动力学仿真，得到机器人各连杆在整个工作过程中的最大应力.机器人相应的时刻及其最大应力点的变化曲线如图5所示.

从图5a可以看出，最大应力值发生在各条支链下连杆的根部，此时对应于1.8s时机器人的构型，最大Von Mises应力约为202.64MPa，小于连杆材料碳钢的屈服极限282MPa，可知下连杆是安全的.图5b是下连杆根部受力最大位置1 732号节点的应力变化曲线.从图中可以看出，在并联机器人的整个作业过程中，该节点的应力波动范围在70～200MPa之间，平均应力值在135MPa左右.

图5 机器人连杆的应力分布及变化曲线Fig.5 Stress distribution and variation curve of connecting rods

通过仿真发现，目前的设计强度是足够的，但同时应当注意的是，通过观察动力学仿真过程，发现随着并联机器人位姿的变化，下连杆的受力方向相应地发生改变，但最大应力位置仍发生在各条支链下连杆的根部.由于下连杆所承受的动应力值较高并呈现剧烈的往复振荡变化，这会致使该位置的应力能不断积累，久而久之就会导致连杆结构的疲劳破坏.因此，需要对下连杆根部进行进一步的疲劳试验和分析，来校核是否有必要对其进行结构改进来改善由这种脉动循环载荷所导致的零件疲劳失效.

4 结 语

本文将工程仿真中常用的两个软件ADAMS和ANSYS相结合，运用联合仿真的方法对3-RPS并联机器人的刚柔耦合动力学模型进行了系统建模和仿真分析.结合两个软件的优势，克服了它们单独使用时的局限性，从而大大提高了分析效率和仿真精度.得到的结论如下.

（1）通过刚柔耦合动力学仿真，得到了3-RPS并联机器人手爪末端测点在竖直方向上的位移曲线和误差变化曲线.其中，位移误差呈现周期变化，周期为4.2s，最大误差值为0.2mm.

（2）得到了机器人下连杆在整个工作过程中发生最大应力的位置以及最大应力点的变化曲线，结果表明，最大Von Mises应力发生于连杆根部，值约为202.64MPa，小于材料的屈服强度282MPa.但是应力的往复振荡变化会导致结构的疲劳失效.

（3）利用刚柔耦合的方法对多体系统进行动力学分析，提高了对于在动载作用下零件动态响应分析的准确性，能够更加直观、准确地模拟并联机器人的实际工作情况.

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