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(扬州中学 江苏扬州 225000)

一道最值题的研究

●戚有建

(扬州中学 江苏扬州 225000)

很多高考题、模考题看起来很平常，实际上却丰富多彩，有很大的研究空间和教学价值.本文从一道最值题出发，首先分析错误解法的原因，然后探讨多种正确解法，最后揭示题目的深刻背景．

1 题目展示

题目已知实数a,c满足a2+c2-ac=3，求2a+c的最大值．

2 错解原因研究

由已知条件中a2+c2-ac=3的结构特征容易联想到基本不等式，因此很多学生想用基本不等式来求最值.因为

a2+c2-ac=3,

所以由基本不等式得

a2+c2=3+ac≥2ac，

解得

ac≤3，

从而

3 正确解法研究

本题入口较宽，解法灵活多样，可以从不同的角度切入，极具思维价值．

分析1已知条件a2+c2-ac=3可以看作二次方程，只不过有2个变量，我们可以将其中一个看作主元，然后从一元二次方程的角度来考虑．

解法1令2a+c=m，则

c=m-2a，

代入a2+c2-ac=3得

7a2-5ma+m2-3=0.

因为此方程有解，所以Δ≥0，即

(5m)2-28(m2-3)≥0，

解得

分析2观察已知式和目标式的次数特征，可以考虑比值换元．

a2(k2-k+1)=3，

即

点评上面的解法中通过比值换元引入参数k，将二元化归为一元，成功实现了减元，从而使得问题变得容易处理．

分析3观察已知条件a2+c2-ac=3的结构特征，可以联想到余弦定理，问题转化为三角函数的最值问题．

a=2sinA,c=2sinC,

从而 2a+c= 4sinA+2sinC=

分析4观察已知条件a2+c2-ac=3的结构特征，发现可以先配方然后用三角换元处理．

解法4由a2+c2-ac=3得

分析5观察已知条件a2+c2-ac=3的结构特征，发现可以先配方然后用代数换元处理．

解法5由a2+c2-ac=3得

此时

2a+c=2x+4y，

点评解法5中通过换元将问题转化为圆锥曲线中的最值问题，这引起了我们的反思:二次方程a2+c2-ac=3表示什么曲线呢？是否就是椭圆？

4 背景研究

图1

笔者借助几何画板画出了方程x2+y2-xy=3表示的曲线，图像如图1所示，发现很像椭圆，只不过将标准状态下的椭圆进行了旋转而已．

那么将此曲线旋转回标准状态，方程是什么？是椭圆吗？

设点P(x,y)是旋转前曲线上任一点，顺时针旋转45°后的坐标为P′(x′,y′)，则根据旋转公式得

代入原方程x2+y2-xy=3，得

此时