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(湖州市第五中学 浙江湖州 313000)

一道简洁优美赛题的多解与引申

●计惠方李明妍

(湖州市第五中学 浙江湖州 313000)

2013年浙江省高中数学竞赛有这样一道简洁优美的试题：

1 一般情形

2 多种证法

赛题除参考答案提供的常规证法外，还有如下简便易行的证法：

分析1由于直线PQ的斜率可以不存在但不为0，为避免对斜率进行讨论，设直线为x=ky+m．

证法1设直线PQ的方程为

x=ky+m,P(x1,y1),Q(x2,y2)．

y2-2pky-2pm=0,

于是

y1+y2=2pk,y1y2=-2pm.

证法2设直线PQ的参数方程为

其中t为参数，θ为直线的倾斜角，此时θ∈(0,π)，且点P,Q对应的参数为t1,t2.将直线PQ的参数方程代入抛物线y2=2px(p≠0),得

sin2θ·t2-2pcosθ·t-2mp=0(sinθ≠0),

则

又当点P→O时，

|KP|→|KO|=m,|KQ|→+∞,

从而

证法3设直线PQ的方程为

x=ky+p,P(x1,y1),Q(x2,y2)．

y2-2pky-2p2=0,

则

Δ=4p2k2+8p2>0,

y1+y2=2pk,y1y2=-2p2.

又

3 变化引申

当PQ⊥x轴时，设P(m,n),则Q(m,-n).因为点P,Q在椭圆上，所以

即

于是

当PQ与x轴重合时,

根据假设有

解得

证明当直线PQ与x轴不重合时，设直线PQ的方程为

P(x1,y1),Q(x2,y2).

(b2k2+a2)y2+2mkb2+b2m2-a2b2=0,

从而 (y1+y2)2-2y1y2=

证明可仿引申1.

当PQ⊥x轴时，设P(m,n),则Q(m,-n).因为点P,Q在双曲线上，所以

即

于是

当PQ与x轴重合时，

根据假设有

解得

证明可由感兴趣的读者完成.

[1] 计惠方.例谈课本知识与高考试题的对接[J].中学教研(数学),2012(1)：45-47.

[2] 计惠方，蔡颖.聚焦由直线系产生的定值问题[J].中学生数学(上),2013(1)：24-25.