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(城南中学 浙江江山 324100) (莲都区花园中学 浙江丽水 323000)

初中数学课堂拓展提升的若干对策

●范达江●刘新华

(城南中学 浙江江山 324100) (莲都区花园中学 浙江丽水 323000)

数学教学的实施是理解教材、用好教材的过程，通过教材的学习来达成相关的教学目标.教材是重要知识点的简约化，往往言简意赅，有的限于篇幅，相关的一些内容、方法并没有一一列举，常常导致学生产生困惑.教师要充当教材与学生联系的桥梁，要认真解读、深度理解教材，挖掘教材中隐性的知识、思想、方法，科学高效地实施拓展提升，借以弥补教材的局限性，充分发挥教材应有的功能，提升教师解读、处理教材的能力和水平.那么常见的拓展提升策略有哪些呢？

1 拓展提升的策略

拓展提升的实施有利于教师、学生的发展，有利于教材功能的充分发挥，然而课堂中如何实施拓展提升？笔者将结合教学实践中的案例，从新旧知识的比较、变式教学、跨学科的综合、数学学习中的错误分析、联系生活实际等5个方面谈谈拓展提升之若干策略.

1.1 在新旧知识的比较中拓展提升

学习新知识时，常将新知识与相关的旧知识进行对照和比较，从而达到对新知识的掌握.这就是数学学习中的类比迁移.

案例1在上浙教版九年级上册第1.2节“反比例函数的图像与性质”这一课时，课前笔者出示如下问题：

(1)下列函数分别叫什么函数？你能画出它们的图像吗?

(2)一次函数的一般形式是什么？反比例函数的一般形式是什么?

(3)前面我们是怎样研究一次函数的图像和性质的？研究的方法是什么？研究的内容是什么？可以用同样的方法来研究反比例函数的图像和性质吗？

设计意图问题(1)是创设情境，让学生去思考、比较新旧知识，面对新知识:反比例函数图像，学生立即陷入思维盲点，产生认知冲突，激起学生强烈的求知欲.问题(2)是让学生从函数解析式来比较新旧知识，为下一步进行类比研究它们的图像和性质作好铺垫.问题(3)是通过学生回忆、思考一次函数的图像和性质，使学生类比得到反比例函数图像和性质的研究方法，让学生感到学习新知识与学习旧知识同出一辙.

这样的问题设计，基于学生已有的知识经验，做好学前的先行组织，把学习旧知识的方法自然流畅地迁移到学习新知识中来，符合学生的认知规律.

在完成反比例函数图像和性质的探究后，再出示问题：比较一次函数与反比例函数的图像和性质，你发现它们有什么异同点？从画法、形状、性质等方面引导学生合作交流，然后师生互动、共同归纳出它们的异同点.

点评通过对该问题的思考，学生对新旧知识的进一步比较，深化对反比例函数的图像和性质的理解和掌握.这样的拓展，更侧重于学生学习能力、数学思想的培养.

1.2 在变式教学中拓展提升

通过对例题、习题的变式训练，提升学生的开放意识和发散思维.

图1

案例2浙教版八年级上册教材第47页作业题第2题：如图1，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，P是BD上一点，且AP=PC，AP⊥PC，则△ABP≌△PDC.试说明理由.

教学中，笔者对该题作如下变式：

1.如图2，点E是线段BC的中点，分别以B,C为直角顶点的△EAB和△EDC均是等腰直角三角形，且在BC的同侧.

(1)AE和ED的数量关系为______，AE和ED的位置关系为______；

(2)在图3中，△EGF是△EAB经过相似变换得到，相似比是1∶2，H是EC的中点.求证：GH=HD，GH⊥HD.

(2012年河北省数学中考试题)

2.如图4，已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的3条直线a,b,c上，且a和b之间的距离为2，b和c之间的距离为3，则AC的长是______.

图4 图5

3.如图5，在矩形ABCD中，AB=2AD,E为AD的中点，EF⊥EC交AB于点F，联结FC.

(1)求证：△AEF∽△DCE;

(2)求tan∠ECF的值.

(2012年四川省南充市数学中考试题)

图6

(2011年四川省内江市数学中考试题)

点评变式1是变换背景，把原题的条件强化，再作等价变换重新回到原题的“K”字形特征中，几何模型为全等三角形；变式2抓住“K”字形的特征，利用条件，添加辅助线，构造“K”字形；变式3弱化条件，丰富“K”字形的特征，几何模型由全等三角形变成相似三角形；变式4是继续弱化条件，把“K”字形特征变成一般情形，几何模型仍是相似三角形.

从变式1至变式4始终体现“K”字形解决问题，“K”字形的结构以及所用几何模型由简单到复杂，从特殊到一般，由2个全等直角三角形到2个相似三角形，最后变成2个普通三角形相似，问题所用背景也逐步由简单到复杂，知识点的横、纵向的联系逐步加强.整个教学设计中特殊到一般、转化的数学思想得到了充分体现，教学问题梯度明显，层次分明，学生思维训练呈螺旋式上升.

1.3 在跨学科知识的综合中拓展提升

发挥数学基础学科的作用，与横向学科的联系，实现跨学科的综合.

图7

案例3在复习一次函数及其图像时，教师出示一道科学题：如图7，画出质量相等的甲、乙2种固态物质在相同热源时温度随时间变化的图像，根据图像分析下面说法，正确的是：

A.甲、乙在熔化时吸热相等

B.甲、乙的熔点相同

C．甲、乙在固态时升高相同的温度，甲吸热多

D．甲、乙在液态时升高相同的温度，甲吸热多

点评该题是笔者所任教学校九年级2013年5月的一个中考模拟题.据科学教师反映，该题的得分率很低，主要是学生看不懂函数图像.该题虽是一道科学题，其实用到的都是数学知识，只要学生结合函数图像认真读题，并思考解决如下问题：你能讲出甲、乙图像中的3段分别表示什么物质状态?图像中直线倾斜角正切的大小与比热的大小有关系吗?有怎样的关系？物质吸热的大小与哪些量有关?公式能写出来吗？在本题中，物质吸热与比热成什么函数关系？通过学生独立思考，合作交流，师生互动交流，许多学生很快就得出答案是D.课后，许多学生感觉到科学题放在数学课堂上会很轻松.原因何在呢？主要是因为用数学的视角审视科学问题，自觉地运用数学知识以及数形结合、分类讨论、转化、方程、函数等思想方法解决科学问题，让数学与科学学科之间的联系更为紧密，数学与科学之间达到你中有我、我中有你的融合局面，显然会让我们的学习事半功倍.

1.4 在数学学习的错误分析中拓展提升

课堂中学生出现这样或那样的错误是正常的，教师要善于把它当作一种教学资源来挖掘.

(1)从学生的错误开始分析，追根溯源，找到错误症结所在，暴露学生错误的思维过程.

案例4某工厂在生产某产品时，产品的累计产量与月份x满足y=ax2+bx的函数关系，已知1月份的产量为3万吨，2月份的产量为5万吨.

(1)求该函数解析式;

(2)问3月份的产量是多少万吨？

大多数学生都把x=1,y=3和x=2,y=5分别代入解析式，然后求出a和b的值，直接把x=3代入解析式得到的值即当作3月份的产量.当教师指出学生的解法错误时，许多学生再次仔细检查原方程组的解，并坚持他们的解法是对的，然后笔者要求学生认真再次读题，强调题中的关键词“累计”，这时一部分学生马上知道自己的错误了，趁热打铁，教师马上让学生互相交流错误的症结之所在，最后学生们才“心悦诚服”.

点评不怕学生的错误，给学生以空间，让学生错误的思维过程能得到暴露，让学生自己去审题，自己发现错误思维的症结，是标本兼治的极好的纠错方式.

(2)分析学生的错误方法,得出用错误方法可以做的新问题.

案例5在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则BC的长等于多少？

点评这样的拓展，让学生明确在学习数学时一定要知其然，更要知其所以然，不能只知大概，就生搬硬套，而要真正从数学的本质上去把握.

(3)采取类比改编习题，尝试训练纠错的方式，通过若干同类问题的解答，达到纠错之目的.

教师可从学生的错误中得到启发，进行辨析、比较，从而产生新的方法、最佳的方法或新的注意点等，这也是获取拓展提升时机的重要方式.

案例6如图8，已知AB=AC,∠EAB=∠DAC，∠C=∠B，请说明AD=AE.

解答该题时，许多学生在证明△EAC≌△DAB时，把∠EAB=∠DAC这个条件直接作为角相等的条件，对于初学几何的人来说这种错误较为普遍，屡教不改，实在让人头疼.教师采取类比改编习题、尝试训练的方式出了以下几道题：

1.如图8，已知AE=AD,EC=BD,∠E=∠D,请说明∠EAB=∠DAC;

2.如图9，已知AB=DE,BC=EF,AF=DC，则∠EFD=∠BCA,请说明理由;

3.如图10，D,F是线段BC上的2个点，AB=CE，AF=DE，BF=CD,请说明△ABF≌△ECD.

图8 图9 图10

点评这些题目都有共同的特点，不能直接用作全等的条件,经过等式的性质变化后，可以使全等三角形的对应边或对应角相等.通过这样的类比训练，自然让学生明白了错误的原因，从而大大减少了学生的出错率.面对错误，重要的是采取积极的态度，站在一个新的角度对其进行整理，设计类似的练习，将有很好的纠错效果.把学习错误改变为学生纠错训练的方法，不仅纠正了学生的学习错误，而且拓展了课堂教学资源.

1.5 在联系生活实际中拓展提升

数学来源于生活而又服务于生活，我们的身边处处有数学.

案例7随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭，成为居民消费新的增长点.据交通部门统计，2010年底衢州城区小汽车拥有量为40 000辆，而截止到2012年，全市的汽车拥有量已达48 400辆.

(1)求2010年底至2012年底衢州市汽车拥有量的年增长率.

(2)为了保护环境，缓解汽车拥堵状况，从2013年起，衢州市交通部门拟控制汽车总量，要求到2014年底全市汽车拥有量不超过62 004辆；另据统计，衢州市从2013年起每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%.假定在这种情况下每年新增汽车数量相同，请你计算出衢州市每年新增汽车数量最多不能超过多少辆.

点评该题是一道学生身边的较为实用的题，它让学生感觉到数学与生活实际是密切相关的.解答该题需用到方程、不等式等数学模型，学生只有具备较强的数学建模能力，才能顺利解决问题.在联系生活实际中拓展，让学生感觉到数学来源于实际生活，而又服务于实际生活，提升学生用数学的意识.

2 小结

实践证明：拓展提升是构建高效课堂的重要抓手.课堂上科学地实施拓展提升，尊重知识的发生发展规律，尊重学生的身心发展规律和认知发展规律，相信我们的数学课堂会富有内涵，富有数学味.

教学中实施拓展提升，学习数学由课内向课外延伸，开阔学生的知识视野，拓宽学生的思路，让学生在探求知识的过程中培养创造意识和实践能力.把课堂与实际生活、横向学科结合起来，突出数学的基础地位和培养学生用数学的意识.对于数学教材的多角度适度拓展、变式，可以开发学生智力，加深学生对知识的理解，增强学生探究的热情和兴趣，培养学生发散性思维和开放性意识，提升学生的问题意识和解决问题的能力.

[1] 教育部.义务教育数学课程标准[M].北京：北京师范大学出版社，2011：8-10.

[2] 杨光伟.中学数学教学案例教学论[M].杭州：浙江教育出版社，2004.

[3] 周立志.巧用课堂中的典型错误提升课堂效率的若干策略[J].中学教研(数学)，2013(4)：9-11.

[4] 邹振兴.一道错题引发的一段心路历程[J].中学数学教学参考，2013(3)：72.