高 岩

(哈尔滨师范大学)

0 引言

Baxter代数由Baxter于1960年提出，源于Glen Baxter概率论中波动理论积分方程［1］.Rota在90年代对Baxter算子进行了更深入的研究.［2］近年来，Baxter代数在理论物理和数学物理方面得到了广泛而显著的应用，许多学者刻画了低维代数上的Rota-Baxter算子.例如，文献［3］给出了维数小于等于3时权0的结合代数上的Rota-Baxter算子，文献［4］给出了维数小于等于3时权1的Rota-Baxter算子，而文献［5］对权0的二阶矩阵构成的四维结合代数上的Rota-Baxter算子进行了研究.代数闭域F上权0的Rota-Baxter算子称为Yang-Baxter方程.该文刻画了三维单李代数sl(2，F)上的Yang-Baxter方程.

1 基本概念

该文规定F为特征p≠2的代数闭域，L是域F上的李代数，用［，］表示李乘.

定义1［6］设L是域F上的一个李代数，若R是L×L→L的线性算子，满足

则称R是一个权为λ的Rota-Baxter算子，L是一个权为λ的Rota-Baxter代数，当λ=0时称上式为Yang-Baxter方程.

令{e1，…，en}是李代数L的一组固定基，设，其中∈F.L上的任意Rota-Baxter算子R都可以写成矩阵(rij)形式，其中rij由唯一确定，易见rij满足如下方程(λ=0):

2 Yang-Baxter方程

记L=sl(2，F)是域F上的一个三维单李代数，其中L的标准基为:

规定基元素间的乘法表:［x，y］=h，［h，x］=2x，［h，y］=-2y.

命题1 三维单李代数L上Yang-Baxter方程的解共有9个(任何参数属于代数闭域F，且 a，b≠0):

证明 由定义可知三维单李代数L上Yang-Baxter方程的解即为权0时的Rota-Baxter算子.

根据L的标准基，则L上任意Rota-Baxter算子R能够由矩阵(rij)表示，

且 R(x)，R(y)，R(h)满足(1)式，由 L的基的乘法表可以得到以下9个等式:

则上述命题的证明能够分成以下六种情况:

则在以下的六个引理中分别考虑这些情况.

引理1 当r32=0，r12=0，r23≠0时，L上的Yang-Baxter方程的解由上述命题中的R1与R2给出.

证明 由(13)推出r22=0，由(11)对r13=0进行分类讨论:(i)当r13=0时，通……